Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Vorlesung 18/latex
\setcounter{section}{18}
\zwischenueberschrift{Kreisteilungskörper}
\inputdefinition
{}
{
Der $n$-te \definitionswort {Kreisteilungskörper}{} ist der
\definitionsverweis {Zerfällungskörper}{}{}
des Polynoms
\mathdisp {X^n-1} { }
über $\Q$.
}
Offenbar ist $1$ eine Nullstelle von
\mathl{X^n-1}{.} Daher kann man
\mathl{X^n-1}{} durch
\mathl{X-1}{} teilen und erhält, wie man schnell nachrechen kann,
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^n-1
}
{ =} {(X-1) (X^{n-1} +X^{n-2} + \cdots + X+1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mathl{1 \in \Q}{} ist daher der $n$-te Kreisteilungskörper auch der Zerfällungskörper von
\mathdisp {X^{n-1} +X^{n-2} + \cdots + X+1} { . }
Es gibt auch Kreisteilungskörper über anderen Körpern, da es ja stets Zerfäl\-lungskörper gibt. Wir beschränken uns aber weitgehend auf die Kreisteilungskörper über $\Q$, die wir auch mit
\mathl{K_n}{} bezeichnen. Da
\mathl{X^n-1}{} auf die in der zweiten Vorlesung beschriebenen Art über ${\mathbb C}$ in Linearfaktoren zerfällt, kann man $K_n$ als Unterkörper von ${\mathbb C}$ realisieren, und zwar ist $K_n$ der von allen $n$-ten Einheitswurzeln erzeugte Unterkörper von ${\mathbb C}$. Dieser wird sogar schon von einer einzigen primitiven Einheitswurzel erzeugt.
\inputfaktbeweis
{Kreisteilungskörper/Q/Erzeugt durch explizite Nullstellen/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktvoraussetzung {Dann wird der $n$-te
\definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{}
über $\Q$}
\faktfolgerung {von
\mathl{e^{2 \pi { \mathrm i} /n}}{} erzeugt.}
\faktzusatz {Der $n$-te Kreisteilungskörper ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K_n
}
{ =} {\Q { \left( e^{2 \pi { \mathrm i} /n} \right) }
}
{ =} { \Q[e^{2 \pi { \mathrm i} /n}]
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Insbesondere ist jeder Kreisteilungskörper eine
\definitionsverweis {einfache Körpererweiterung}{}{}
von $\Q$\zusatzfussnote {Dies ist natürlich auch klar aufgrund des Satzes vom primitiven Element} {.} {.}}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei $K_n$ der $n$-te Kreisteilungskörper über $\Q$. Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \left( e^{2 \pi { \mathrm i} /n} \right) }^n
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Q[ e^{2 \pi { \mathrm i} /n}]
}
{ \subseteq }{ K_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{{ \left( e^{2 \pi { \mathrm i} /n} \right) }^k
}
{ = }{e^{2 \pi { \mathrm i} k/n}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gehören auch alle anderen Einheitswurzeln zu
\mathl{\Q[ e^{2 \pi { \mathrm i} /n}]}{,} also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Q[ e^{2 \pi { \mathrm i} /n}]
}
{ = }{ K_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Statt
\mathl{e^{ \frac{2 \pi { \mathrm i} } { n } }}{} kann man auch jede andere $n$-te primitive Einheitswurzel aus ${\mathbb C}$ als Erzeuger nehmen.
\inputbeispiel{}
{
Wir bestimmen einige Kreisteilungskörper für kleine $n$. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder $2$ ist der Kreisteilungskörper gleich $\Q$. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^3-1
}
{ =} { (X-1) { \left( X^2+X+1 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und der zweite Faktor zerfällt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^2+X+1
}
{ =} { { \left( X + { \frac{ 1 }{ 2 } } - { \mathrm i} { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } \right) } { \left( X + { \frac{ 1 }{ 2 } } + { \mathrm i} { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist der dritte Kreisteilungskörper der von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sqrt{-3}
}
{ = }{ \sqrt{3} { \mathrm i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{}
}
{}{}{}
erzeugte Körper, es ist also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K_3
}
{ = }{ \Q[ \sqrt{-3}]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {quadratische Körpererweiterung}{}{}
der rationalen Zahlen.
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist natürlich
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ X^4-1
}
{ =} { { \left( X^2-1 \right) } { \left( X^2+1 \right) }
}
{ =} { (X-1)(X+1) { \left( X^2+1 \right) }
}
{ =} { (X-1)(X+1) (X- { \mathrm i} )(X+ { \mathrm i} )
}
{ } {}
}
{}
{}{.}
Der vierte Kreisteilungskörper ist somit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Q[ { \mathrm i} ]
}
{ \cong }{ \Q[X]/(X^2+1)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also ebenfalls eine quadratische Körpererweiterung von $\Q$.
}
\inputfaktbeweis
{Kreisteilungskörper/Q/Prim/Kreisteilungspolynom/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist der $p$-te
\definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{}
gleich
\mathdisp {\Q[X]/ { \left( X^{ p-1 } + X^{ p - 2} + \cdots + X^1 + 1 \right) }} { . }
}
\faktzusatz {Insbesondere besitzt der $p$-te Kreisteilungskörper den
\definitionsverweis {Grad}{}{}
\mathl{p-1}{} über $\Q$.}
\faktzusatz {}
}
{
Der $p$-te
\definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{}
wird nach
Lemma 18.2
von
\mathl{e^{2 \pi { \mathrm i} / p}}{} erzeugt, er ist also isomorph zu
\mathl{\Q[X]/(P)}{,} wobei $P$ das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
von
\mathl{e^{2 \pi { \mathrm i} / p}}{} bezeichnet. Als Einheitswurzel ist
\mathl{e^{2 \pi { \mathrm i} / p}}{} eine Nullstelle von
\mathl{X^p-1}{} und wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{e^{2 \pi { \mathrm i} / p}
}
{ \neq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mathl{e^{2 \pi { \mathrm i} / p}}{} eine Nullstelle von
\mathl{X^{ p-1 } + X^{ p - 2} + \cdots + X^1 + 1}{.} Das Polynom
\mathl{X^{ p-1 } + X^{ p - 2} + \cdots + X^1 + 1}{} ist irreduzibel nach
Aufgabe 17.11
und daher handelt es sich nach
Lemma 7.12 (2)
um das Minimalpolynom von
\mathl{e^{2 \pi { \mathrm i} / p}}{.}
Weiter unten werden wir für jedes $n$ die Minimalpolynome der primitiven $n$-ten Einheitswurzeln bestimmen.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Kreis5Teilung.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Kreis5Teilung.svg } {} {Exxu} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
\inputbeispiel{}
{
Der fünfte Kreisteilungskörper wird von der komplexen Zahl
\mathl{e^{2 \pi { \mathrm i} /5}}{} erzeugt. Er hat aufgrund von
Lemma 18.4
die Gestalt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K_5
}
{ \cong} { \Q[X]/{ \left( X^4+X^3+X^2+X+1 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei die Variable $X$ als
\mathl{e^{2 \pi { \mathrm i} /5}}{}
\zusatzklammer {oder eine andere
\definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{}} {} {}
zu interpretieren ist. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{ e^{2 \pi { \mathrm i} /5}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und setze
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ = }{ x-x^2-x^3+x^4
}
{ = }{ - { \left( 2x^3+2x^2+1 \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Aus Symmetriegründen muss dies eine reelle Zahl sein. Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{v^2
}
{ =} { 4x^6+4x^4+1+8x^5+4x^3+4x^2
}
{ =} { 4x+4x^4+1+8+4x^3+4x^2
}
{ =} { 5+4 { \left( x^4+x^3+x^2+x+1 \right) }
}
{ =} {5
}
}
{}
{}{.}
Es ist also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ = }{\sqrt{5}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {die positive Wurzel} {} {}
und somit haben wir eine Folge von quadratischen Körpererweiterungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Q
}
{ \subset} {\Q[\sqrt{5}]
}
{ \subset} {K_5
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputdefinition
{}
{
Zu einer natürlichen Zahl $n$ bezeichnet
\mathl{{\varphi (n)}}{} die Anzahl der Elemente von
\mathl{(\Z/(n))^{\times}}{.} Man nennt
\mathl{{\varphi (n)}}{} die \definitionswort {Eulersche Funktion}{.}
}
Die Zahl
\mathl{{\varphi (n)}}{} gibt also an, wie viele natürliche Zahlen
\mathbed {k} {}
{1 \leq k \leq n} {}
{} {} {} {,}
teilerfremd zu $n$ sind. In einem Körper, in dem es überhaupt eine $n$-te
\definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{}
gibt, gibt es genau
\mathl{{\varphi (n)}}{} primitive Einheitswurzeln, da dann die Gruppe der $n$-ten Einheitswurzeln isomorph zur zyklischen Gruppe der Ordnung $n$ ist.
\zwischenueberschrift{Kreisteilungspolynome}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{\N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und seien
\mathl{z_1 , \ldots , z_{\varphi (n)}}{} die
\definitionsverweis {primitiven}{}{}
komplexen Einheitswurzeln. Dann heißt das Polynom
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Phi_{n}
}
{ =} { \prod_{i = 1}^{\varphi (n)} (X- z_i)
}
{ \in} { {\mathbb C}[X]
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
das $n$-te \definitionswort {Kreisteilungspolynom}{.}
}
Nach Konstruktion hat das $n$-te Kreisteilungspolynom den Grad
\mathl{{\varphi (n)}}{.}
\inputfaktbeweis
{Kreisteilungspolynom/Produkt ist X^n-1/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gilt in
\mathl{{\mathbb C}[X]}{} die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^n-1
}
{ =} { \prod_{ d {{|}} n} \Phi_{d}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Jede der $n$ verschiedenen $n$-ten Einheitswurzeln besitzt eine
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
$d$, die ein Teiler von $n$ ist. Eine $n$-te Einheitswurzel der Ordnung $d$ ist eine
\definitionsverweis {primitive}{}{}
$d$-te Einheitswurzel. Die Aussage folgt daher aus
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{X^n-1
}
{ =} { \prod_{z \text{ ist } n\text{-te Einheitswurzel} } (X-z)
}
{ =} { \prod_{d {{|}} n } { \left( \prod_{z \text{ ist primitive } d\text{-te Einheitswurzel} } (X-z) \right) }
}
{ =} { \prod_{d {{|}} n } \Phi_{d}
}
{ } {}
}
{}
{}{.}
\inputfaktbeweis
{Kreisteilungspolynom/Koeffizienten in Z/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Die Koeffizienten der
\definitionsverweis {Kreisteilungspolynome}{}{}}
\faktfolgerung {liegen in $\Z$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Induktion über $n$. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Phi_{1}
}
{ = }{ X-1
}
{ \in }{ \Z[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.} Für beliebiges $n$ betrachten wir die in
Lemma 18.8
bewiesene Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^n-1
}
{ =} { \prod_{ d{{|}}n} \Phi_{d}
}
{ =} { { \left( \prod_{ d{{|}}n, \, d \neq n} \Phi_{d} \right) } \cdot \Phi_{n}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Der linke Faktor ist ein normiertes Polynom und er besitzt nach der Induktionsvoraussetzung Koeffizienten in $\Z$. Daraus folgt mit
Aufgabe 18.2,
dass auch $\Phi_{n}$ Koeffizienten in $\Z$ besitzt.
Grundlegend ist die folgende Aussage.
\inputfaktbeweis
{Kreisteilungspolynom/Irreduzibel/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {}
\faktfolgerung {Die
\definitionsverweis {Kreisteilungspolynome}{}{}
$\Phi_{n}$ sind
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
über $\Q$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nehmen wir an, dass $\Phi_{n}$ nicht irreduzibel über $\Q$ ist. Dann gibt es nach
Lemma 17.7
eine Zerlegung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Phi_{n}
}
{ = }{FG
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit normierten Polynomen
\mathl{F,G \in \Z[X]}{} von kleinerem Grad. Wir fixieren eine
\definitionsverweis {primitive}{}{}
$n$-te Einheitswurzel $\zeta$. Dann ist nach Definition der Kreisteilungspolynome
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Phi_{n}(\zeta)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und daher ist
\zusatzklammer {ohne Einschränkung} {} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F(\zeta)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir können annehmen, dass $F$ irreduzibel und normiert ist, also das Minimalpolynom von $\zeta$ ist.\teilbeweis {}{Wir werden zeigen, dass jede primitive $n$-te Einheitswurzel ebenfalls eine Nullstelle von $F$ ist. Dann folgt aus Gradgründen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\operatorname{grad} \, (F)
}
{ = }{ {\varphi (n)}
}
{ = }{ \operatorname{grad} \, (\Phi_{n})
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
im Widerspruch zur Reduzibilität.\leerzeichen{}}{}
{Jede primitive Einheitswurzel kann man als
\mathl{\zeta^k}{} mit einer zu $n$ teilerfremden Zahl $k$ schreiben. Es genügt dabei, den Fall
\mathl{\zeta^p}{} mit einer zu $n$ teilerfremden Primzahl $p$ zu betrachten, da sich jedes $\zeta^k$ sukzessive als $p$-Potenz von $\zeta$ erhalten lässt
\zusatzklammer {wobei man $\zeta$ sukzessive durch $\zeta^p$ ersetzt und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F { \left( \zeta^p \right) }
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
verwendet} {} {.} Nehmen wir also an, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F { \left( \zeta^p \right) }
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Dann muss
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G { \left( \zeta^p \right) }
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sein. Daher ist $\zeta$ eine Nullstelle des Polynoms
\mathl{G(X^p)}{} und daher gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{FH
}
{ = }{G { \left( X^p \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mathl{H \in \Q[X]}{,} da ja $F$ das Minimalpolynom von $\zeta$ ist. Wegen
Aufgabe 18.2
gehören die Koeffizienten von $H$ zu $\Z$. Wir betrachten nun die Polynome
\mathl{\Phi_{n}, F,G,H}{} modulo $p$, also als Polynome in
\mathl{\Z/(p)[X]}{,} wobei wir dafür
\mathl{\overline { \Phi_{n} }, \overline{F}}{} usw. schreiben. Aufgrund des Frobeniushomomorphismus in Charakteristik $p$ und wegen
des kleinen Fermat'schen Satzes
gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \overline{G}(X^p)
}
{ =} { { \left( \overline{G}(X) \right) }^p
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\overline{F} \overline{H}
}
{ =} {\overline{G}(X^p)
}
{ =} {(\overline{G}(X))^p
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}{.}
Es sei nun
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Z/(p)
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Zerfällungskörper von
\mathl{X^n-1}{} über
\mathl{\Z/(p)}{,} sodass über $L$ insbesondere auch
\mathl{\overline{ \Phi_{n} }}{} und damit auch $\overline{F}$ in Linearfaktoren zerfällt. Es sei
\mathl{u \in L}{} eine Nullstelle von $\overline{F}$. Dann ist $u$ wegen der obigen Teilbarkeitsbeziehung auch eine Nullstelle von $\overline{G}$. Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \overline{ \Phi_{n} }
}
{ = }{ \overline{F} \overline{G}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist dann $u$ eine mehrfache Nullstelle von $\overline{ \Phi_{n} }$. Damit besitzt auch
\mathl{X^n-1}{} eine mehrfache Nullstelle in $L$. Nach dem formalen Ableitungskriterium ist aber
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(X^n-1)'
}
{ = }{ (n \mod p) X^{n-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und dieser Koeffizient ist wegen der vorausgesetzten Teilerfremdheit nicht $0$. Also erzeugt das Polynom
\mathl{X^n-1}{} und seine Ableitung das Einheitsideal, sodass es nach
Aufgabe 11.19
keine mehrfache Nullstellen geben kann und wir einen Widerspruch erhalten.}
{}
\inputfaktbeweis
{Kreisteilungskörper/Q/Minimalpolynom/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {}
\faktfolgerung {Der $n$-te
\definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{}
$K_n$ über $\Q$ hat die Beschreibung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K_n
}
{ =} { \Q[X]/( \Phi_{n})
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei $\Phi_{n}$ das $n$-te
\definitionsverweis {Kreisteilungspolynom}{}{}
bezeichnet.}
\faktzusatz {Der Grad des $n$-ten Kreisteilungskörpers ist
\mathl{{\varphi (n)}}{.}}
\faktzusatz {}
}
{
Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K_n
}
{ = }{\Q[\zeta]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei $\zeta$ eine
\definitionsverweis {primitive}{}{}
$n$-te Einheitswurzel ist. Nach Definition des Kreisteilungspolynoms ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Phi_{n}(\zeta)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und nach
Satz 18.10
ist das Kreisteilungspolynom irreduzibel, sodass es sich um das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
von $\zeta$ handeln muss. Also ist nach
Satz 7.11
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K_n
}
{ \cong }{ \Q[X]/(\Phi_{n})
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
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