Kurs:Lineare Algebra/Teil I/18/Klausur/kontrolle
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | |
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Punkte | 3 | 3 | 2 | 3 | 3 | 4 | 5 | 10 | 4 | 3 | 5 | 3 | 3 | 5 | 8 | 64 |
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Heinz Ngolo und Mustafa Müller wollen wissen, wie viele Kaulquappen sich im Teich im Wald befinden. Der Teich ist einen Meter tief und ist quadratisch mit einer Seitenlänge von zehn Metern, die Kaulquappen sind darin gleichmäßig verteilt. Heinz hat eine Teekanne dabei, in die ein halber Liter Wasser hineinpasst. Sie trinken den Tee leer und füllen die Kanne mit Teichwasser. Sie zählen, dass in der Kanne genau Kaulquappen sind und schütten alles zurück. Wie viele Kaulquappen befinden sich im Teich?
Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)Referenznummer erstellen
Die Funktionen
seien durch
und
gegeben.
- Berechne .
- Berechne .
- Berechne auf zwei unterschiedliche Arten.
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Man gebe ein Beispiel für einen Körper , eine kommutative Gruppe und eine Abbildung
derart, dass diese Struktur alle Vektorraumaxiome außer
erfüllt.
Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Beweise den Satz über die Existenz von Basen in einem endlich erzeugten - Vektorraum .
Aufgabe * (5 (1+1+1+1+1) Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine Basis eines - Vektorraumes . Es seien von verschiedene Elemente.
a) Zeige, dass ebenfalls eine Basis von ist.
b) Bestimme die Übergangsmatrix .
c) Bestimme die Übergangsmatrix .
d) Berechne die Koordinaten bezüglich der Basis für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis die Koordinaten besitzt.
e) Berechne die Koordinaten bezüglich der Basis für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis die Koordinaten besitzt.
Aufgabe * (10 (1+3+1+2+1+2) Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei und es sei der reelle Vektorraum aller - Matrizen.
a) Zeige, dass die Menge der symmetrischen -Matrizen ein Untervektorraum von ist.
b) Bestimme die Dimension von .
c) Zeige, dass die Menge der antisymmetrischen -Matrizen ein Untervektorraum von ist.
d) Bestimme die Dimension von .
e) Schreibe die Matrix
als Summe einer symmetrischen und einer antisymmetrischen Matrix.
f) Zeige, dass die direkte Summe aus und ist.
Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)Referenznummer erstellen
Wir betrachten die lineare Abbildung , die durch die Matrix gegeben ist.
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Man gebe ein Beispiel für einen - Vektorraum und eine lineare Abbildung , die injektiv, aber nicht surjektiv ist.
Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Beweise die Cramersche Regel zur Lösung eines linearen Gleichungssystems.
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Führe in die Division mit Rest „ durch “ für die beiden Polynome und durch.
Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei das charakteristische Polynom zu einer linearen Abbildung
auf einem reellen Vektorraum endlicher Dimension. Kann man daraus das charakteristische Polynom zu den Hintereinanderschaltungen bestimmen?
Aufgabe * (8 Punkte)Referenznummer erstellen
Beweise den Satz über die Dimension der Haupträume.