Kurs:Lineare Algebra/Teil I/26/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 5 }
\renewcommand{\avier}{ 1 }
\renewcommand{\afuenf}{ 4 }
\renewcommand{\asechs}{ 2 }
\renewcommand{\asieben}{ 3 }
\renewcommand{\aacht}{ 7 }
\renewcommand{\aneun}{ 3 }
\renewcommand{\azehn}{ 3 }
\renewcommand{\aelf}{ 1 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 5 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 1 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 2 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 6 }
\renewcommand{\azwanzig}{ 2 }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ 64 }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellezwanzig
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die \stichwort {Hintereinanderschaltung} {} der Abbildungen \maabbdisp {F} {L} {M } {} und \maabbdisp {G} {M} {N } {.}
}{Ein \stichwort {Isomorphismus} {} zwischen $K$-\definitionsverweis {Vektorräumen}{}{} \mathkor {} {V} {und} {W} {.}
}{\stichwort {Elementare Zeilenumformungen} {} an einer $m\times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} $M$ über einem Körper $K$.
}{Eine \stichwort {Transposition} {} auf einer endlichen Menge $M$.
}{Die \stichwort {adjungierte Matrix} {} zu einer
\definitionsverweis {quadratischen Matrix}{}{}
\mathl{M \in \operatorname{Mat}_{ n } (K)}{.}
}{Eine \stichwort {Fahne} {} in einem $n$-\definitionsverweis {dimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$. }
}
{
\aufzaehlungsechs{Die Abbildung
\maabbeledisp {G \circ F} {L} {N
} {x} {G(F(x))
} {,}
heißt die Hintereinanderschaltung der Abbildungen
\mathkor {} {F} {und} {G} {.}
}{Ein Isomorphismus zwischen
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
ist eine bijektive lineare Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {.}
}{Unter den elementaren Zeilenumformungen versteht man die Manipulationen:
\aufzaehlungdrei{Vertauschung von zwei Zeilen.
}{Multiplikation einer Zeile mit
\mathl{s \neq 0}{.}
}{Addition des $a$-fachen einer Zeile zu einer anderen Zeile.
}
}{Eine Transposition auf $M$ ist eine
\definitionsverweis {Permutation}{}{}
auf $M$, die genau zwei Elemente miteinander vertauscht und alle anderen Elemente unverändert lässt.
}{Die Matrix
\mathdisp {M^{ \operatorname{adj} } = ( b_{ij} ) \text{ mit } b_{ij} = (-1)^{i+j} \det M_{ji}} { , }
wobei
\mathl{M_{ji}}{} die Restmatrix zur $j$-ten Zeile und zur $i$-ten Spalte ist, heißt die adjungierte Matrix von $M$.
}{Eine Kette von
\definitionsverweis {Untervektorräumen}{}{}
\mathdisp {0=V_0 \subset V_1 \subset \ldots \subset V_{n-1} \subset V_n=V} { }
heißt eine Fahne in $V$.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Das
\stichwort {Basisaustauschlemma} {.}}{Die Formel für die Determinante für eine obere Dreiecksmatrix.}{Der Satz über Ideale in einem Polynomring
\mathl{K[X]}{} in einer Variablen über einem Körper $K$.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum mit einer Basis
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{.} Es sei
\mathl{w \in V}{} ein Vektor mit einer Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{w
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n s_i v_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei
\mathl{s_k \neq 0}{} sei für ein bestimmtes $k$. Dann ist auch die Familie
\mathdisp {v_1 , \ldots , v_{k-1} , w, v_{k+1} , \ldots , v_n} { }
eine Basis von $V$.}{Für eine obere Dreiecksmatrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} {\begin{pmatrix} b_1 & \ast & \cdots & \cdots & \ast \\ 0 & b_2 & \ast & \cdots & \ast \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & b_{ n-1} & \ast \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & b_{ n } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det M
}
{ =} { b_1b_2 { \cdots } b_{n-1} b_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}{In einem
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
ist jedes
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
ein
\definitionsverweis {Hauptideal}{}{.}}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5 (1+1+1+2)}
{
Ein Zug ist $500$ Meter lang \zusatzklammer {ohne Lokomotive} {} {} und bewegt sich mit $180$ Stundenkilometer. Lucy Sonnenschein hat ihr Fahrrad mit in den Zug genommen und fährt mit einer Geschwindigkeit von $20$ Metern pro Sekunde von ganz hinten nach ganz vorne. \aufzaehlungvier{Wie viele Sekunden benötigt Lucy für die gesamte Zuglänge? }{Welche Geschwindigkeit \zusatzklammer {in Meter pro Sekunde} {} {} hat Lucy bezogen auf die Umgebung? }{Welche Entfernung \zusatzklammer {in Meter} {} {} legt der Zug während der Fahrradfahrt zurück? }{Berechne auf zwei verschiedene Arten, welche Entfernung Lucy währ\-end ihrer Fahrradfahrt bezogen auf die Umgebung zurücklegt. }
}
{
\aufzaehlungvier{Lucy benötigt $25$ Sekunden für den $500$ Meter langen Zug.
}{In Meter pro Sekunde hat der Zug eine Geschwindigkeit von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 180 000 }{ 3600 } }
}
{ =} {{ \frac{ 180 0 }{ 36 } }
}
{ =} { 50
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da die beiden Bewegungen sich überlagern, ist die Gesamtgeschwindigkeit von Lucy gleich $70$ Meter pro Sekunde.
}{In den $25$ Sekunden legt der Zug
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{25 \cdot 50
}
{ =} { 1250
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Meter zurück.
}{Man kann die vom Zug und die von Lucy im Zug zurückgelegte Strecke addieren, dies ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1250 +500
}
{ =} { 1750
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Meter. Ebenso kann man mit ihrer Geschwindigkeit bezogen auf die Umgebung rechnen, und erhält ebenfalls
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 25 \cdot 70
}
{ =} { 1750
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Meter.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{1}
{
Bestimme die Lösungsmenge des Ungleichungssystems
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2x
}
{ \geq} {7
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{5x
}
{ \leq} { 12
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über $\Q$.
}
{
Es soll einerseits
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ \geq} { { \frac{ 7 }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und andererseits
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ \leq} { { \frac{ 12 }{ 5 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
sein. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 7 }{ 2 } }
}
{ >} { { \frac{ 12 }{ 5 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist das nicht gleichzeitig erfüllbar, die Lösungsmenge ist also leer.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Löse das
\definitionsverweis {inhomogene Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix} 5 x &
+2 y &
+ z &
-7 w & = & 3 \\ 6 x &
+ y &
+2 z &
\, \, \, \, \, \, \, \, & = & 1 \\ x &
+ y &
\, \, \, \, - z &
\, \, \, \, \, \, \, \, & = & 0 \\ 3 x &
+5 y &
-7 z &
+14 w & = & 1 \, . \end{matrix}} { }
}
{
Wir eliminieren zuerst die Variable $w$, indem wir die erste Gleichung zweimal auf die vierte addieren . Dies führt auf
\mathdisp {\begin{matrix}
6 x &
+ y &
+2 z &
\, \, \, \, \, \, \, \, & = & 1 \\
x &
+ y &
\, \, \, \, - z &
\, \, \, \, \, \, \, \, & = & 0 \\
13 x &
+9 y &
-5 z &
\, \, \, \, \, \, \, \, & = & 7 \, .
\end{matrix}} { }
Nun eliminieren wir die Variable $y$, indem wir
\zusatzklammer {bezogen auf das vorhergehende System} {} {}
\mathl{-II+I}{} und
\mathl{-9II+III}{} ausrechnen. Dies führt auf
\mathdisp {\begin{matrix}
5 x &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
+3 z &
\, \, \, \, \, \, \, \, & = & 1 \\
4 x &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
+4 z &
\, \, \, \, \, \, \, \, & = & 7 \, .
\end{matrix}} { }
Es ergibt sich nun wenn man die erste Gleichung mit 4 multipliziert und 3 mal die zweite subtrahiert
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 8 x
}
{ =} {-17
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} { - { \frac{ 17 }{ 8 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Rückwärts gelesen ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z
}
{ =} { { \frac{ 31 }{ 8 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y
}
{ =} { 6
}
{ } {
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ w
}
{ =} { { \frac{ 9 }{ 28 } }
}
{ } {
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2 (1+1)}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
Wir betrachten die
\definitionsverweis {Untervektorräume}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U, V
}
{ \subseteq }{ \operatorname{Mat}_{ 3 } (K)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U
}
{ =} { { \left\{ M = { \left( a_{ij} \right) } \in \operatorname{Mat}_{ 3 } (K) \mid a_{31} = 0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bzw.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} { { \left\{ M = { \left( a_{ij} \right) } \in \operatorname{Mat}_{ 3 } (K) \mid a_{21} = 0 \text{ und } a_{31} = 0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben sind.
\aufzaehlungzwei {Ist $U$ abgeschlossen unter der Matrizenmultiplikation?
} {Ist $V$ abgeschlossen unter der Matrizenmultiplikation?
}
}
{
\aufzaehlungzwei {$U$ ist nicht abgeschlossen unter der Matrizenmultiplikation, da beispielsweise
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 1 & * & * \\ 1 & * & * \\0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & * & * \\ 1 & * & * \\0 & 1 & 1 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} * & * & * \\ * & * & * \\1 & * & * \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
} {$V$ ist abgeschlossen unter der Matrizenmultiplikation. Es ist ja
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} * & * & * \\ 0 & * & * \\0 & * & * \end{pmatrix} \begin{pmatrix} * & * & * \\ 0 & * & * \\0 & * & * \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} * & * & * \\ 0 & * & * \\0 & * & * \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist, da, wenn man die zweite oder dritte Zeile links mit der ersten Spalte rechts multipliziert, in jedem Summanden eine Null beteiligt ist.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit endlicher
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
\mathl{n= \operatorname{dim}_{ } { \left( V \right) }}{.} Es seien $n$ Vektoren
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} in $V$ gegeben. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.
\aufzaehlungdrei{
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} bilden eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$.
}{
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} bilden ein
\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{}
von $V$.
}{
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} sind
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{.}
}
}
{
Eine Basis ist insbesondere ein Erzeugendensystem und linear unabhängig, deshalb folgt sowohl (2) als auch (3) aus (1). Es sei (2) erfüllt, d.h.
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} ist ein Erzeugendensystem. Wenn es keine Basis wäre, so wäre dieses System nach
Satz 7.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018))
kein minimales Erzeugendensystem und man könnte Vektoren herausnehmen, und es würde ein Erzeugendensystem bleiben. Dies widerspricht der Wohldefiniertheit der Dimension. Es sei (3) erfüllt, d.h.
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} ist ein System aus linear unabhängigen Vektoren. Wenn es keine Basis wäre, so wäre es nach
Satz 7.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018))
nicht maximal linear unabhängig, und man könnte es durch Hinzunahme von einem Vektor zu einem größeren linear unabhängigen System vergrößern. Auch dies wiederspricht der Wohldefiniertheit der Dimension.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{7}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und es seien
\mathkor {} {V, Q} {und} {W} {}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über $K$. Es sei
\maabb {\varphi} {V} { W
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
und
\maabb {\psi} {V} {Q
} {}
eine
\definitionsverweis {surjektive}{}{}
lineare Abbildung. Es sei vorausgesetzt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \psi
}
{ \subseteq} { \operatorname{kern} \varphi
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist. Zeige, dass es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung
\maabbdisp {\tilde{\varphi}} { Q } { W
} {}
derart gibt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi
}
{ = }{ \tilde{\varphi} \circ \psi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{
Es kann maximal nur eine solche Abbildung
\maabbdisp {\tilde{\varphi}} { Q} {W
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi
}
{ = }{ \tilde{\varphi} \circ \psi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
geben, da es zu jedem
\mathl{u \in Q}{} ein
\mathl{v \in V}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\psi(v)
}
{ = }{ u
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt. Somit muss
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tilde{\varphi} (u)
}
{ =} { \tilde{\varphi} ( \psi (v) )
}
{ =} { \varphi (v)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gelten. Es sei
\mathl{u_1 , \ldots , u_k}{} eine Basis von $Q$. Für zwei Vektoren
\mathl{v,v'}{} aus der Urbildmenge zu einem $u_i$ unter $\psi$ ist die Differenz
\mathl{v-v'}{} ein Element von
\mathl{\operatorname{kern} \psi}{.} Wegen der Bedingung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \psi
}
{ \subseteq }{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
werden alle Elemente aus einer solchen Urbildmenge unter $\varphi$ auf ein einziges Element in $W$ abgebildet. Es sei $v_i$ ein Urbild von $u_i$. Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tilde{\varphi} (u_i)
}
{ \defeq} { \varphi(v_i)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und betrachten die dadurch mit dem Festlegungssatz gegebene lineare Abbildung
\maabbdisp {\tilde{\varphi}} { Q} {W
} {.}
Für jedes
\mathl{v \in V}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \psi(v)
}
{ =} { \sum_{i = 1 }^k a_i u_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ = }{ \sum_{i = 1 }^k a_i v_i + x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einem
\mathl{x \in \operatorname{kern} \psi}{.} Daher ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \tilde{\varphi} (\psi (v))
}
{ =} {\tilde{\varphi} { \left( \sum_{i = 1 }^k a_i u_i \right) }
}
{ =} { \sum_{i = 1 }^k a_i \tilde{\varphi} ( u_i )
}
{ =} { \sum_{i = 1 }^k a_i \varphi (v_i )
}
{ =} { \varphi { \left( \sum_{i = 1 }^k a_i \varphi (v_i ) \right) }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \varphi { \left( \sum_{i = 1 }^k a_i \varphi (v_i ) +x \right) }
}
{ =} { \varphi(v)
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
der
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}} { }
über dem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
mit $5$ Elementen.
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}^2
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}^3
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}^4
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}^8
}
{ =} { \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also ist die Ordnung gleich $8$.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei
\maabbdisp {\triangle} {V \times V \times V} {K
} {}
eine
\definitionsverweis {multilineare}{}{}
\definitionsverweis {Abbildung}{}{.}
Es seien $u,v,w,z \in V$. Ziehe in
\mathdisp {\triangle \begin{pmatrix} -4u+5w \\7v-3z\\ -6w-9z \end{pmatrix}} { }
Summen und Skalare nach außen.
}
{
Nach dem Distributivgesetz für multilineare Abbildungen muss man sämtliche Kombinationen der Vektoren durchgehen und die Koeffizienten miteinander multiplizieren. Dies ergibt
Es ist
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{ \triangle \begin{pmatrix} -4u+5w \\7v-3z\\ -6w-9z \end{pmatrix}
}
{ =} { 168 \triangle \begin{pmatrix} u \\v\\ w \end{pmatrix} +252 \triangle \begin{pmatrix} u \\v\\ z \end{pmatrix} -72 \triangle \begin{pmatrix} u \\z\\ w \end{pmatrix} - 108 \triangle \begin{pmatrix} u \\z\\ z \end{pmatrix} +210 \triangle \begin{pmatrix} w \\v\\ w \end{pmatrix} - 315 \triangle \begin{pmatrix} w \\v\\ z \end{pmatrix} + 90 \triangle \begin{pmatrix} w \\z\\ w \end{pmatrix} + 135 \triangle \begin{pmatrix} w \\z\\ z \end{pmatrix}
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{1}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
zur Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & 7 & 4 & 11 & 8 \\ 0 & 0 & 3 & 7 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}} { . }
}
{
Die Determinante ist $0$, da eine obere Dreiecksmatrix vorliegt, deren Hauptdiagonalelemente $0$ sind.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Bestimme die komplexen Zahlen $z$, für die die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2z & 0 & -z+1 \\ 1 & 1 & 3 \\z & 2 & -z \end{pmatrix}} { }
nicht invertierbar ist.
}
{
Die Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante $\neq 0$ ist. Wir müssen also die Nullstellen der Determinante bestimmen. Die Determinante ist
\zusatzklammer {nach der Regel von Sarrus} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ -2z^2 -2z +2-12z -z +z^2
}
{ =} { -z^2 -15 z +2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies ist gleich $0$ genau dann, wenn
\mathdisp {z^2+15z-2 =0} { }
ist. Durch quadratisches Ergänzen führt diese Gleichung auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( z+ { \frac{ 15 }{ 2 } } \right) }^2
}
{ =} {2 + { \frac{ 225 }{ 4 } }
}
{ =} { { \frac{ 233 }{ 4 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher sind
\mathdisp {z_1= { \frac{ \sqrt{233} }{ 2 } } + { \frac{ 15 }{ 2 } } = { \frac{ 15 + \sqrt{233} }{ 2 } } \text{ und } z_2 = - { \frac{ \sqrt{233} }{ 2 } } + { \frac{ 15 }{ 2 } } = { \frac{ 15 - \sqrt{233} }{ 2 } }} { }
die beiden einzigen Lösungen der quadratischen Gleichung. Diese zwei reellen Zahlen sind also die einzigen
\zusatzklammer {reellen oder komplexen} {} {}
Zahlen, für die die Matrix nicht invertierbar ist.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3 (1+1+1)}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {Permutation}{}{}
\wertetabellezehnausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {5} }
{\mazeileundfuenf {6} {7} {8} {9} {10
} }
{ $\sigma(x)$ }
{\mazeileundfuenf {4} {10} {1} {8} {7} }
{\mazeileundfuenf {2} {9} {6} {5} {3} }
\aufzaehlungdrei{Berechne $\sigma^2$.
}{Bestimme die Zykelzerlegung von $\sigma$.
}{Berechne das
\definitionsverweis {Vorzeichen}{}{}
von $\sigma$.
}
}
{
\aufzaehlungdrei{$\sigma^2$ wird durch die Wertetabelle
\wertetabellezehnausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {5} }
{\mazeileundfuenf {6} {7} {8} {9} {10
} }
{ $\sigma(x)$ }
{\mazeileundfuenf {8} {3} {4} {6} {9} }
{\mazeileundfuenf {10} {5} {2} {7} {1} }
beschrieben.
}{Es ist
\mathdisp {1 \mapsto 4 \mapsto 8 \mapsto 6 \mapsto 2 \mapsto 10 \mapsto 3 \mapsto 1, \, 5 \mapsto 7 \mapsto 9 \mapsto 5} { . }
Die Zykelzerlegung ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\sigma
}
{ =} { (1,4,8,6,2,10,3) (5,7,9)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Die beiden beteiligten Zykel haben ungerade Länge, somit ist ihr Signum jeweils $1$. Wegen der Multiplikativität des Signums ist somit auch das Signum
von $\sigma$ gleich $1$.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Bestimme die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen der beiden reellen Polynome
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} {X^3+4X^2-7X+1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Q
}
{ =} {X^3-2X^2+5X+3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Ein Schnittpunkt liegt genau dann an den Stellen $x$ vor, die eine Nullstelle von
\mathl{P-Q}{} sind. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P-Q
}
{ =} {X^3+4X^2-7X+1- { \left( X^3-2X^2+5X+3 \right) }
}
{ =} { 6X^2-12X-2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir normieren dieses quadratische Polynom und erhalten die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^2- 2X- { \frac{ 1 }{ 3 } }
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Lösungen dafür sind
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{x_{1,2}
}
{ =} { { \frac{ 2 \pm \sqrt{ 4+ { \frac{ 4 }{ 3 } } } }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ 2 \pm \sqrt{ { \frac{ 16 }{ 3 } } } }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ 2 \pm 4 \sqrt{ { \frac{ 1 }{ 3 } } } }{ 2 } }
}
{ =} { 1 \pm 2\sqrt{ { \frac{ 1 }{ 3 } } }
}
}
{}
{}{.}
Dies sind die $x$-Koordinaten der beiden Schnittpunkte.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Man finde ein
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mathdisp {f=a+bX+cX^2} { }
mit $a,b,c \in \R$ derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.
\mathdisp {f(-2) =3,\, f(0) = 2,\, f(1) = 4} { . }
}
{
Die Bedingungen führen auf das lineare Gleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a-2b+4c
}
{ =} {3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a
}
{ =} {2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a+b+c
}
{ =} {4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\mathl{2III+I}{} führt auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3a+6c
}
{ =} {11
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c
}
{ =} { { \frac{ 5 }{ 6 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
In
\mathl{III}{} eingesetzt ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ b
}
{ =} { 4-2-{ \frac{ 5 }{ 6 } }
}
{ =} { { \frac{ 7 }{ 6 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Das gesuchte Polynom ist also
\mathdisp {2 + { \frac{ 7 }{ 6 } } X + { \frac{ 5 }{ 6 } } X^2} { . }
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ und es sei
\maabbdisp {f} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}
Zeige, dass das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
$\chi_{ f }$ und das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
\mathl{\mu_f}{} die gleichen Nullstellen besitzen.
}
{
Dass die Nullstellen des Minimalpolynoms auch Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind, folgt direkt aus
Cayley-Hamilton.
Umgekehrt sei
\mathl{\lambda \in K}{} eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms und sei
\mathl{v \in V}{} ein
\definitionsverweis {Eigenvektor}{}{}
von $f$ zum
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
$\lambda$, den es nach
Satz 23.2 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018))
gibt. Das Minimalpolynom schreiben wir als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\mu_f
}
{ =} { (X- \lambda_1)^{m_1} \cdots (X- \lambda_k)^{m_k} Q
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei $Q$ nullstellenfrei sei. Dann ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ 0
}
{ =} { \mu_f(f)
}
{ =} { { \left( (X- \lambda_1)^{m_1} \cdots (X- \lambda_k)^{m_k} Q \right) } (f)
}
{ =} { (f- \lambda_1
\operatorname{Id}_{ V } )^{m_1} \cdots (f - \lambda_k
\operatorname{Id}_{ V })^{m_k} Q(f)
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Wir wenden dies auf $v$ an. Nach
Lemma 24.4 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018))
bilden die Faktoren den Vektor $v$ auf
\mathl{(\lambda - \lambda_i)^{m_i} v}{} bzw. auf
\mathl{Q(\lambda) v}{} ab. Insgesamt wird somit $v$ auf
\mathdisp {( \lambda- \lambda_1)^{m_1} \cdots ( \lambda- \lambda_k)^{m_k} Q ( \lambda) v} { }
abgebildet. Da die Gesamtabbildung die Nullabbildung und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q(\lambda)
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, muss ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\lambda_i
}
{ = }{ \lambda
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sein.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{1}
{
Es sei
\maabb {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
auf einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
$\varphi$-\definitionsverweis {invarianter Untervektorraum}{}{.}
Zeige, dass
\mathl{U}{} zu jedem
\mathl{\lambda \in K}{} invariant bezüglich
\mathl{\varphi - \lambda
\operatorname{Id}_{ V }}{} ist.
}
{
Es sei
\mathl{v \in U}{.} Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (\varphi - \lambda
\operatorname{Id}_{ V } )(v)
}
{ =} { \varphi (v) - \lambda v
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mathl{\varphi(v) \in U}{} und
\mathl{\lambda v \in U}{} gehört auch dieses Element zu $U$.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Ist die Menge der
\definitionsverweis {nilpotenten}{}{}
$2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{}
ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
des Matrizenraums
\mathl{\operatorname{Mat}_{ 2 } (\R)}{?}
}
{
Die Matrizen
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \text{ und } \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}} { }
sind beide nilpotent. Ihre Summe ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Diese ist invertierbar und insbesondere nicht nilpotent. Somit sind die nilpotenten Matrizen nicht abgeschlossen unter der Addition und bilden insbesondere keinen Untervektorraum.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{6}
{
Beweise den Satz von der kanonischen additiven Zerlegung für eine trigonalisierbare Abbildung.
}
{
Nach
Satz 26.14 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018))
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} {H_1 \oplus \cdots \oplus H_m
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei die $H_i$ die
\definitionsverweis {Haupträume}{}{}
zu den
\definitionsverweis {Eigenwerten}{}{}
$\lambda_i$ seien, und es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi
}
{ =} {\varphi_1 \oplus \cdots \oplus \varphi_m
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi_i
}
{ = }{ \varphi{{|}}_{H_i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {p_i} {V} {V
} {}
die Hintereinanderschaltung
\mathl{V \rightarrow H_i \rightarrow V}{,} d.h. $p_i$ ist insbesondere eine
\definitionsverweis {Projektion}{}{.}
Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi_{\rm diag}
}
{ \defeq} { \lambda_1 p_1 + \cdots + \lambda_m p_m
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Diese Abbildung ist offenbar diagonalisierbar, auf $H_i$ ist es die Multiplikation mit $\lambda_i$. Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi_{\rm nil}
}
{ \defeq} { \varphi- \varphi_{\rm diag}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Nilpotenz dieser Abbildung kann man auf den $H_i$ einzeln überprüfen, und dort ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \varphi- \varphi_{\rm diag} \right) } {{|}}_{H_i}
}
{ =} { \varphi_i-{ \left( \varphi_{\rm diag} \right) } {{|}}_{H_i}
}
{ =} { \varphi_i - \lambda_i
\operatorname{Id}_{ H_i }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also nilpotent. Ferner kommutieren
\mathkor {} {\varphi_j} {und} {p_i} {,}
da $p_i$ auf $H_i$ die Identität ist und auf
\mathbed {H_j} {}
{j \neq i} {}
{} {} {} {,}
die Nullabbildung. Damit kommutieren auch die direkten
\zusatzklammer {skalaren} {} {}
Summen davon und damit kommutieren
\mathkor {} {\varphi} {und} {\varphi_{\rm diag}} {,}
also auch
\mathkor {} {\varphi_{\rm diag}} {und} {\varphi - \varphi_{\rm diag} =\varphi_{\rm nil}} {.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Bestimme, ob im $\R^3$ der Ausdruck
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \begin{pmatrix} 2 \\7\\ 6 \end{pmatrix} + { \frac{ 3 }{ 7 } } \begin{pmatrix} 9 \\0\\ 9 \end{pmatrix} + { \frac{ 3 }{ 13 } } \begin{pmatrix} 5 \\5\\ 2 \end{pmatrix}} { }
eine
\definitionsverweis {baryzentrische Kombination}{}{}
ist.
}
{
Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ 3 } } + { \frac{ 3 }{ 7 } } + { \frac{ 3 }{ 13 } }
}
{ =} { { \frac{ 91+117+63 }{ 273 } }
}
{ =} {{ \frac{ 271 }{ 273 } }
}
{ \neq} {1
}
{ } {
}
}
{}{}{}
liegt keine baryzentrische Kombination vor.
}