Kurs:Lineare Algebra/Teil I/26/Klausur mit Lösungen/latex

%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}


%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 5 }

\renewcommand{\avier}{ 1 }

\renewcommand{\afuenf}{ 4 }

\renewcommand{\asechs}{ 2 }

\renewcommand{\asieben}{ 3 }

\renewcommand{\aacht}{ 7 }

\renewcommand{\aneun}{ 3 }

\renewcommand{\azehn}{ 3 }

\renewcommand{\aelf}{ 1 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 5 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ 1 }

\renewcommand{\aachtzehn}{ 2 }

\renewcommand{\aneunzehn}{ 6 }

\renewcommand{\azwanzig}{ 2 }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ 64 }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabellezwanzig


\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die \stichwort {Potenzmenge} {} zu einer Menge $M$.

}{Ein \stichwort {Isomorphismus} {} zwischen $K$-\definitionsverweis {Vektorräumen}{}{} \mathkor {} {V} {und} {W} {.}

}{\stichwort {Elementare Zeilenumformungen} {} an einer $m\times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} $M$ über einem Körper $K$.

}{Eine \stichwort {Transposition} {} auf einer endlichen Menge $M$.

}{Die \stichwort {adjungierte Matrix} {} zu einer \definitionsverweis {quadratischen Matrix}{}{}
\mathl{M \in \operatorname{Mat}_{ n } (K)}{.}

}{Ein \stichwort {affiner Isomorphismus} {} \maabbdisp {\psi} {E} {F } {} zwischen den \definitionsverweis {affinen Räumen}{}{} \mathkor {} {E} {und} {F} {} über den $K$-\definitionsverweis {Vektorräumen}{}{}
\mathbed {V} {bzw.}
{W} {}
{} {} {} {.} }

}
{

\aufzaehlungsechs{Zu einer Menge $M$ nennt man die Menge aller Teilmengen von $M$ die Potenzmenge von $M$. }{Ein Isomorphismus zwischen \mathkor {} {V} {und} {W} {} ist eine bijektive lineare Abbildung \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {.} }{Unter den elementaren Zeilenumformungen versteht man die Manipulationen: \aufzaehlungdrei{Vertauschung von zwei Zeilen. }{Multiplikation einer Zeile mit
\mathl{s \neq 0}{.} }{Addition des $a$-fachen einer Zeile zu einer anderen Zeile. } }{Eine Transposition auf $M$ ist eine \definitionsverweis {Permutation}{}{} auf $M$, die genau zwei Elemente miteinander vertauscht und alle anderen Elemente unverändert lässt. }{Die Matrix
\mathdisp {M^{ \operatorname{adj} } = ( b_{ij} ) \text{ mit } b_{ij} = (-1)^{i+j} \det M_{ji}} { , }
wobei
\mathl{M_{ji}}{} die Restmatrix zur $j$-ten Zeile und zur $i$-ten Spalte ist, heißt die adjungierte Matrix von $M$. }{Eine \definitionsverweis {bijektive}{}{} \definitionsverweis {affine Abbildung}{}{} \maabbdisp {\psi} {E} {F } {} heißt affiner Isomorphismus. }


}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Das \stichwort {Basisaustauschlemma} {.}}{Die Formel für die Determinante für eine obere Dreiecksmatrix.}{Der Satz über Ideale in einem Polynomring
\mathl{K[X]}{} in einer Variablen über einem Körper $K$.}

}
{

\aufzaehlungdrei{Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum mit einer Basis
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{.} Es sei
\mathl{w \in V}{} ein Vektor mit einer Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{w }
{ =} { \sum_{i = 1}^n s_i v_i }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} wobei
\mathl{s_k \neq 0}{} sei für ein bestimmtes $k$. Dann ist auch die Familie
\mathdisp {v_1 , \ldots , v_{k-1} , w, v_{k+1} , \ldots , v_n} { }
eine Basis von $V$.}{Für eine obere Dreiecksmatrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} {\begin{pmatrix} b_1 & \ast & \cdots & \cdots & \ast \\ 0 & b_2 & \ast & \cdots & \ast \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & b_{ n-1} & \ast \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & b_{ n } \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det M }
{ =} { b_1b_2 { \cdots } b_{n-1} b_n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}{In einem \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} ist jedes \definitionsverweis {Ideal}{}{} ein \definitionsverweis {Hauptideal}{}{.}}

}





\inputaufgabeklausurloesung
{5 (1+1+1+2)}
{

Ein Zug ist $500$ Meter lang \zusatzklammer {ohne Lokomotive} {} {} und bewegt sich mit $180$ Stundenkilometer. Lucy Sonnenschein hat ihr Fahrrad mit in den Zug genommen und fährt mit einer Geschwindigkeit von $20$ Metern pro Sekunde von ganz hinten nach ganz vorne. \aufzaehlungvier{Wie viele Sekunden benötigt Lucy für die gesamte Zuglänge? }{Welche Geschwindigkeit \zusatzklammer {in Meter pro Sekunde} {} {} hat Lucy bezogen auf die Umgebung? }{Welche Entfernung \zusatzklammer {in Meter} {} {} legt der Zug während der Fahrradfahrt zurück? }{Berechne auf zwei verschiedene Arten, welche Entfernung Lucy währ\-end ihrer Fahrradfahrt bezogen auf die Umgebung zurücklegt. }

}
{

\aufzaehlungvier{Lucy benötigt $25$ Sekunden für den $500$ Meter langen Zug. }{In Meter pro Sekunde hat der Zug eine Geschwindigkeit von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 180 000 }{ 3600 } } }
{ =} {{ \frac{ 180 0 }{ 36 } } }
{ =} { 50 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Da die beiden Bewegungen sich überlagern, ist die Gesamtgeschwindigkeit von Lucy gleich $70$ Meter pro Sekunde. }{In den $25$ Sekunden legt der Zug
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{25 \cdot 50 }
{ =} { 1250 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} Meter zurück. }{Man kann die vom Zug und die von Lucy im Zug zurückgelegte Strecke addieren, dies ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1250 +500 }
{ =} { 1750 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} Meter. Ebenso kann man mit ihrer Geschwindigkeit bezogen auf die Umgebung rechnen, und erhält ebenfalls
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 25 \cdot 70 }
{ =} { 1750 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} Meter. }


}





\inputaufgabeklausurloesung
{1}
{

Bestimme die Lösungsmenge des Ungleichungssystems
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2x }
{ \geq} {7 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{5x }
{ \leq} { 12 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} über $\Q$.

}
{

Es soll einerseits
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ \geq} { { \frac{ 7 }{ 2 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und andererseits
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ \leq} { { \frac{ 12 }{ 5 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} sein. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 7 }{ 2 } } }
{ >} { { \frac{ 12 }{ 5 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist das nicht gleichzeitig erfüllbar, die Lösungsmenge ist also leer.


}





\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{

Löse das \definitionsverweis {inhomogene Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix} 5 x & +2 y & + z & -7 w & = & 3 \\ 6 x & + y & +2 z & \, \, \, \, \, \, \, \, & = & 1 \\ x & + y & \, \, \, \, - z & \, \, \, \, \, \, \, \, & = & 0 \\ 3 x & +5 y & -7 z & +14 w & = & 1 \, . \end{matrix}} { }

}
{

Wir eliminieren zuerst die Variable $w$, indem wir die erste Gleichung zweimal auf die vierte addieren. Dies führt auf
\mathdisp {\begin{matrix} 6 x & + y & +2 z & \, \, \, \, \, \, \, \, & = & 1 \\ x & + y & \, \, \, \, - z & \, \, \, \, \, \, \, \, & = & 0 \\ 13 x & +9 y & -5 z & \, \, \, \, \, \, \, \, & = & 7 \, . \end{matrix}} { }
Nun eliminieren wir die Variable $y$, indem wir \zusatzklammer {bezogen auf das vorhergehende System} {} {}
\mathl{-II+I}{} und
\mathl{-9II+III}{} ausrechnen. Dies führt auf
\mathdisp {\begin{matrix} 5 x & \, \, \, \, \, \, \, \, & +3 z & \, \, \, \, \, \, \, \, & = & 1 \\ 4 x & \, \, \, \, \, \, \, \, & +4 z & \, \, \, \, \, \, \, \, & = & 7 \, . \end{matrix}} { }
Es ergibt sich nun wenn man die erste Gleichung mit 4 multipliziert und 3 mal die zweite subtrahiert
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 8 x }
{ =} {-17 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ =} { - { \frac{ 17 }{ 8 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Rückwärts gelesen ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z }
{ =} { { \frac{ 31 }{ 8 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } {}
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y }
{ =} { 6 }
{ } { }
{ } {}
{ } {}
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ w }
{ =} { { \frac{ 9 }{ 28 } } }
{ } { }
{ } {}
{ } {}
} {}{}{.}


}





\inputaufgabeklausurloesung
{2 (1+1)}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Wir betrachten die \definitionsverweis {Untervektorräume}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U, V }
{ \subseteq }{ \operatorname{Mat}_{ 3 } (K) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U }
{ =} { { \left\{ M = { \left( a_{ij} \right) } \in \operatorname{Mat}_{ 3 } (K) \mid a_{31} = 0 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} bzw.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V }
{ =} { { \left\{ M = { \left( a_{ij} \right) } \in \operatorname{Mat}_{ 3 } (K) \mid a_{21} = 0 \text{ und } a_{31} = 0 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegeben sind. \aufzaehlungzwei {Ist $U$ abgeschlossen unter der Matrizenmultiplikation? } {Ist $V$ abgeschlossen unter der Matrizenmultiplikation? }

}
{

\aufzaehlungzwei {$U$ ist nicht abgeschlossen unter der Matrizenmultiplikation, da beispielsweise
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 1 & * & * \\ 1 & * & * \\0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & * & * \\ 1 & * & * \\0 & 1 & 1 \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} * & * & * \\ * & * & * \\1 & * & * \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist. } {$V$ ist abgeschlossen unter der Matrizenmultiplikation. Es ist ja
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} * & * & * \\ 0 & * & * \\0 & * & * \end{pmatrix} \begin{pmatrix} * & * & * \\ 0 & * & * \\0 & * & * \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} * & * & * \\ 0 & * & * \\0 & * & * \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist, da, wenn man die zweite oder dritte Zeile links mit der ersten Spalte rechts multipliziert, in jedem Summanden eine Null beteiligt ist. }


}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit endlicher \definitionsverweis {Dimension}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ n }
{ =} { \dim_{ K } { \left( V \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Es seien $n$ Vektoren
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} in $V$ gegeben. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind. \aufzaehlungdrei{
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} bilden eine \definitionsverweis {Basis}{}{} von $V$. }{
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} bilden ein \definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{} von $V$. }{
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} sind \definitionsverweis {linear unabhängig}{}{.} }

}
{

Eine Basis ist insbesondere ein Erzeugendensystem und linear unabhängig, deshalb folgt sowohl (2) als auch (3) aus (1). Es sei (2) erfüllt, d.h.
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} ist ein Erzeugendensystem. Wenn es keine Basis wäre, so wäre dieses System nach Satz 7.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) kein minimales Erzeugendensystem und man könnte Vektoren herausnehmen, und es würde ein Erzeugendensystem bleiben. Dies widerspricht der Wohldefiniertheit der Dimension. Es sei (3) erfüllt, d.h.
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} ist ein System aus linear unabhängigen Vektoren. Wenn es keine Basis wäre, so wäre es nach Satz 7.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) nicht maximal linear unabhängig, und man könnte es durch Hinzunahme von einem Vektor zu einem größeren linear unabhängigen System vergrößern. Auch dies wiederspricht der Wohldefiniertheit der Dimension.


}





\inputaufgabeklausurloesung
{7}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es seien \mathkor {} {V, Q} {und} {W} {} \definitionsverweis {Vektorräume}{}{} über $K$. Es sei \maabb {\varphi} {V} { W } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} und \maabb {\psi} {V} {Q } {} eine \definitionsverweis {surjektive}{}{} lineare Abbildung. Es sei vorausgesetzt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \psi }
{ \subseteq} { \operatorname{kern} \varphi }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist. Zeige, dass es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung \maabbdisp {\tilde{\varphi}} { Q } { W } {} derart gibt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi }
{ = }{ \tilde{\varphi} \circ \psi }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt.

}
{

Es kann maximal nur eine solche Abbildung \maabbdisp {\tilde{\varphi}} { Q} {W } {} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi }
{ = }{ \tilde{\varphi} \circ \psi }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} geben, da es zu jedem
\mathl{u \in Q}{} ein
\mathl{v \in V}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\psi(v) }
{ = }{ u }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt. Somit muss
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tilde{\varphi} (u) }
{ =} { \tilde{\varphi} ( \psi (v) ) }
{ =} { \varphi (v) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gelten. Es sei
\mathl{u_1 , \ldots , u_k}{} eine Basis von $Q$. Für zwei Vektoren
\mathl{v,v'}{} aus der Urbildmenge zu einem $u_i$ unter $\psi$ ist die Differenz
\mathl{v-v'}{} ein Element von
\mathl{\operatorname{kern} \psi}{.} Wegen der Bedingung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \psi }
{ \subseteq }{ \operatorname{kern} \varphi }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} werden alle Elemente aus einer solchen Urbildmenge unter $\varphi$ auf ein einziges Element in $W$ abgebildet. Es sei $v_i$ ein Urbild von $u_i$. Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tilde{\varphi} (u_i) }
{ \defeq} { \varphi(v_i) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und betrachten die dadurch mit dem Festlegungssatz gegebene lineare Abbildung \maabbdisp {\tilde{\varphi}} { Q} {W } {.} Für jedes
\mathl{v \in V}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \psi(v) }
{ =} { \sum_{i = 1 }^k a_i u_i }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und somit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v }
{ = }{ \sum_{i = 1 }^k a_i v_i + x }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit einem
\mathl{x \in \operatorname{kern} \psi}{.} Daher ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \tilde{\varphi} (\psi (v)) }
{ =} {\tilde{\varphi} { \left( \sum_{i = 1 }^k a_i u_i \right) } }
{ =} { \sum_{i = 1 }^k a_i \tilde{\varphi} ( u_i ) }
{ =} { \sum_{i = 1 }^k a_i \varphi (v_i ) }
{ =} { \varphi { \left( \sum_{i = 1 }^k a_i \varphi (v_i ) \right) } }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \varphi { \left( \sum_{i = 1 }^k a_i \varphi (v_i ) +x \right) } }
{ =} { \varphi(v) }
{ } {}
{ } {}
} {}{.}


}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Ordnung}{}{} der \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}} { }
über dem \definitionsverweis {Körper}{}{} mit $5$ Elementen.

}
{

Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}^2 }
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}^3 }
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}^4 }
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}^8 }
{ =} { \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} also ist die Ordnung gleich $8$.


}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei \maabbdisp {\triangle} {V \times V \times V} {K } {} eine \definitionsverweis {multilineare}{}{} \definitionsverweis {Abbildung}{}{.} Es seien $u,v,w,z \in V$. Ziehe in
\mathdisp {\triangle \begin{pmatrix} -4u+5w \\7v-3z\\ -6w-9z \end{pmatrix}} { }
Summen und Skalare nach außen.

}
{

Nach dem Distributivgesetz für multilineare Abbildungen muss man sämtliche Kombinationen der Vektoren durchgehen und die Koeffizienten miteinander multiplizieren. Dies ergibt Es ist
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{ \triangle \begin{pmatrix} -4u+5w \\7v-3z\\ -6w-9z \end{pmatrix} }
{ =} { 168 \triangle \begin{pmatrix} u \\v\\ w \end{pmatrix} +252 \triangle \begin{pmatrix} u \\v\\ z \end{pmatrix} -72 \triangle \begin{pmatrix} u \\z\\ w \end{pmatrix} - 108 \triangle \begin{pmatrix} u \\z\\ z \end{pmatrix} +210 \triangle \begin{pmatrix} w \\v\\ w \end{pmatrix} - 315 \triangle \begin{pmatrix} w \\v\\ z \end{pmatrix} + 90 \triangle \begin{pmatrix} w \\z\\ w \end{pmatrix} + 135 \triangle \begin{pmatrix} w \\z\\ z \end{pmatrix} }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
} {}{}{.}


}





\inputaufgabeklausurloesung
{1}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Determinante}{}{} zur Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & 7 & 4 & 11 & 8 \\ 0 & 0 & 3 & 7 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}} { . }

}
{

Die Determinante ist $0$, da eine obere Dreiecksmatrix vorliegt, deren Hauptdiagonalelemente $0$ sind.


}





\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{

Bestimme die komplexen Zahlen $z$, für die die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2z & 0 & -z+1 \\ 1 & 1 & 3 \\z & 2 & -z \end{pmatrix}} { }
nicht invertierbar ist.

}
{

Die Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante $\neq 0$ ist. Wir müssen also die Nullstellen der Determinante bestimmen. Die Determinante ist \zusatzklammer {nach der Regel von Sarrus} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ -2z^2 -2z +2-12z -z +z^2 }
{ =} { -z^2 -15 z +2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dies ist gleich $0$ genau dann, wenn
\mathdisp {z^2+15z-2 =0} { }
ist. Durch quadratisches Ergänzen führt diese Gleichung auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( z+ { \frac{ 15 }{ 2 } } \right) }^2 }
{ =} {2 + { \frac{ 225 }{ 4 } } }
{ =} { { \frac{ 233 }{ 4 } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Daher sind
\mathdisp {z_1= { \frac{ \sqrt{233} }{ 2 } } + { \frac{ 15 }{ 2 } } = { \frac{ 15 + \sqrt{233} }{ 2 } } \text{ und } z_2 = - { \frac{ \sqrt{233} }{ 2 } } + { \frac{ 15 }{ 2 } } = { \frac{ 15 - \sqrt{233} }{ 2 } }} { }
die beiden einzigen Lösungen der quadratischen Gleichung. Diese zwei reellen Zahlen sind also die einzigen \zusatzklammer {reellen oder komplexen} {} {} Zahlen, für die die Matrix nicht invertierbar ist.


}





\inputaufgabeklausurloesung
{3 (1+1+1)}
{

Wir betrachten die \definitionsverweis {Permutation}{}{} \wertetabellezehnausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {5} }
{\mazeileundfuenf {6} {7} {8} {9} {10 } }
{ $\sigma(x)$ }
{\mazeileundfuenf {4} {10} {1} {8} {7} }
{\mazeileundfuenf {2} {9} {6} {5} {3} } \aufzaehlungdrei{Berechne $\sigma^2$. }{Bestimme die Zykelzerlegung von $\sigma$. }{Berechne das \definitionsverweis {Vorzeichen}{}{} von $\sigma$. }

}
{

\aufzaehlungdrei{$\sigma^2$ wird durch die Wertetabelle \wertetabellezehnausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {5} }
{\mazeileundfuenf {6} {7} {8} {9} {10 } }
{ $\sigma(x)$ }
{\mazeileundfuenf {8} {3} {4} {6} {9} }
{\mazeileundfuenf {10} {5} {2} {7} {1} } beschrieben. }{Es ist
\mathdisp {1 \mapsto 4 \mapsto 8 \mapsto 6 \mapsto 2 \mapsto 10 \mapsto 3 \mapsto 1, \, 5 \mapsto 7 \mapsto 9 \mapsto 5} { . }
Die Zykelzerlegung ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\sigma }
{ =} { (1,4,8,6,2,10,3) (5,7,9) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Die beiden beteiligten Zykel haben ungerade Länge, somit ist ihr Signum jeweils $1$. Wegen der Multiplikativität des Signums ist somit auch das Signum von $\sigma$ gleich $1$. }


}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Bestimme die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen der beiden reellen Polynome
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P }
{ =} {X^3+4X^2-7X+1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Q }
{ =} {X^3-2X^2+5X+3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{

Ein Schnittpunkt liegt genau dann an den Stellen $x$ vor, die eine Nullstelle von
\mathl{P-Q}{} sind. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P-Q }
{ =} {X^3+4X^2-7X+1- { \left( X^3-2X^2+5X+3 \right) } }
{ =} { 6X^2-12X-2 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Wir normieren dieses quadratische Polynom und erhalten die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^2- 2X- { \frac{ 1 }{ 3 } } }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die Lösungen dafür sind
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{x_{1,2} }
{ =} { { \frac{ 2 \pm \sqrt{ 4+ { \frac{ 4 }{ 3 } } } }{ 2 } } }
{ =} { { \frac{ 2 \pm \sqrt{ { \frac{ 16 }{ 3 } } } }{ 2 } } }
{ =} { { \frac{ 2 \pm 4 \sqrt{ { \frac{ 1 }{ 3 } } } }{ 2 } } }
{ =} { 1 \pm 2\sqrt{ { \frac{ 1 }{ 3 } } } }
} {} {}{.} Dies sind die $x$-Koordinaten der beiden Schnittpunkte.


}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Man finde ein \definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mathdisp {f=a+bX+cX^2} { }
mit $a,b,c \in \R$ derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.
\mathdisp {f(-2) =3,\, f(0) = 2,\, f(1) = 4} { . }

}
{

Die Bedingungen führen auf das lineare Gleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a-2b+4c }
{ =} {3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a }
{ =} {2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a+b+c }
{ =} {4 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}
\mathl{2III+I}{} führt auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3a+6c }
{ =} {11 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c }
{ =} { { \frac{ 5 }{ 6 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} In
\mathl{III}{} eingesetzt ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ b }
{ =} { 4-2-{ \frac{ 5 }{ 6 } } }
{ =} { { \frac{ 7 }{ 6 } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Das gesuchte Polynom ist also
\mathdisp {2 + { \frac{ 7 }{ 6 } } X + { \frac{ 5 }{ 6 } } X^2} { . }


}





\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ und es sei \maabbdisp {f} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass das \definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{} $\chi_{ f }$ und das \definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
\mathl{\mu_f}{} die gleichen Nullstellen besitzen.

}
{

Dass die Nullstellen des Minimalpolynoms auch Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind, folgt direkt aus Cayley-Hamilton.

Umgekehrt sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda }
{ \in }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v }
{ \in }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Eigenvektor}{}{} von $f$ zum \definitionsverweis {Eigenwert}{}{} $\lambda$, den es nach Satz 23.2 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) gibt. Das Minimalpolynom schreiben wir als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mu_f }
{ =} { (X- \lambda_1)^{m_1} \cdots (X- \lambda_k)^{m_k} Q }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} wobei $Q$ nullstellenfrei sei. Dann ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ 0 }
{ =} { \mu_f(f) }
{ =} { { \left( (X- \lambda_1)^{m_1} \cdots (X- \lambda_k)^{m_k} Q \right) } (f) }
{ =} { (f- \lambda_1 \operatorname{Id}_{ V } )^{m_1} \cdots (f - \lambda_k \operatorname{Id}_{ V })^{m_k} Q(f) }
{ } { }
} {} {}{.} Wir wenden dies auf $v$ an. Nach Lemma 24.4 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) bilden die Faktoren den Vektor $v$ auf
\mathl{(\lambda - \lambda_i)^{m_i} v}{} bzw. auf
\mathl{Q(\lambda) v}{} ab. Insgesamt wird somit $v$ auf
\mathdisp {( \lambda- \lambda_1)^{m_1} \cdots ( \lambda- \lambda_k)^{m_k} Q ( \lambda) v} { }
abgebildet. Da die Gesamtabbildung die Nullabbildung und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q(\lambda) }
{ \neq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist, muss ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda_i }
{ = }{ \lambda }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sein.


}





\inputaufgabeklausurloesung
{1}
{

Es sei \maabb {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} auf einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein $\varphi$-\definitionsverweis {invarianter Untervektorraum}{}{.} Zeige, dass
\mathl{U}{} zu jedem
\mathl{\lambda \in K}{} invariant bezüglich
\mathl{\varphi - \lambda \operatorname{Id}_{ V }}{} ist.

}
{

Es sei
\mathl{v \in U}{.} Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (\varphi - \lambda \operatorname{Id}_{ V } )(v) }
{ =} { \varphi (v) - \lambda v }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Wegen
\mathl{\varphi(v) \in U}{} und
\mathl{\lambda v \in U}{} gehört auch dieses Element zu $U$.


}





\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{

Ist die Menge der \definitionsverweis {nilpotenten}{}{} $2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{} ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} des Matrizenraums
\mathl{\operatorname{Mat}_{ 2 } (\R)}{?}

}
{

Die Matrizen
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \text{ und } \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}} { }
sind beide nilpotent. Ihre Summe ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Diese ist invertierbar und insbesondere nicht nilpotent. Somit sind die nilpotenten Matrizen nicht abgeschlossen unter der Addition und bilden insbesondere keinen Untervektorraum.


}





\inputaufgabeklausurloesung
{6}
{

Beweise den Satz von der kanonischen additiven Zerlegung für eine trigonalisierbare Abbildung.

}
{

Nach Satz 26.14 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V }
{ =} { H_1 \oplus \cdots \oplus H_m }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} wobei die $H_i$ die \definitionsverweis {Haupträume}{}{} zu den \definitionsverweis {Eigenwerten}{}{} $\lambda_i$ seien, und es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi }
{ =} {\varphi_1 \oplus \cdots \oplus \varphi_m }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi_i }
{ = }{ \varphi{{|}}_{H_i} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es sei \maabbdisp {p_i} {V} {V } {} die Hintereinanderschaltung
\mathl{V \rightarrow H_i \rightarrow V}{,} d.h. $p_i$ ist insbesondere eine \definitionsverweis {Projektion}{}{.} Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi_{\rm diag} }
{ \defeq} { \lambda_1 p_1 + \cdots + \lambda_m p_m }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Diese Abbildung ist offenbar diagonalisierbar, auf $H_i$ ist es die Multiplikation mit $\lambda_i$. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi_{\rm nil} }
{ \defeq} { \varphi- \varphi_{\rm diag} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die Nilpotenz dieser Abbildung kann man auf den $H_i$ einzeln überprüfen, und dort ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \varphi- \varphi_{\rm diag} \right) } {{|}}_{H_i} }
{ =} { \varphi_i-{ \left( \varphi_{\rm diag} \right) } {{|}}_{H_i} }
{ =} { \varphi_i - \lambda_i \operatorname{Id}_{ H_i } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} also nilpotent. Ferner kommutieren \mathkor {} {\varphi_j} {und} {p_i} {,} da $p_i$ auf $H_i$ die Identität ist und auf
\mathbed {H_j} {}
{j \neq i} {}
{} {} {} {,} die Nullabbildung. Damit kommutieren auch die direkten \zusatzklammer {skalaren} {} {} Summen davon und damit kommutieren \mathkor {} {\varphi} {und} {\varphi_{\rm diag}} {,} also auch \mathkor {} {\varphi_{\rm diag}} {und} {\varphi - \varphi_{\rm diag} =\varphi_{\rm nil}} {.}


}





\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{

Bestimme, ob im $\R^3$ der Ausdruck
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \begin{pmatrix} 2 \\7\\ 6 \end{pmatrix} + { \frac{ 3 }{ 7 } } \begin{pmatrix} 9 \\0\\ 9 \end{pmatrix} + { \frac{ 3 }{ 13 } } \begin{pmatrix} 5 \\5\\ 2 \end{pmatrix}} { }
eine \definitionsverweis {baryzentrische Kombination}{}{} ist.

}
{

Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ 3 } } + { \frac{ 3 }{ 7 } } + { \frac{ 3 }{ 13 } } }
{ =} { { \frac{ 91+117+63 }{ 273 } } }
{ =} {{ \frac{ 271 }{ 273 } } }
{ \neq} {1 }
{ } { }
} {}{}{} liegt keine baryzentrische Kombination vor.


}