Kurs:Lineare Algebra/Teil I/31/Klausur
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | |
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Punkte | 3 | 3 | 4 | 2 | 4 | 1 | 3 | 2 | 3 | 3 | 5 | 4 | 4 | 3 | 3 | 3 | 3 | 8 | 3 | 64 |
Aufgabe * (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Die Hintereinanderschaltung der Abbildungen
und
- Ein Isomorphismus zwischen - Vektorräumen und .
- Der Spaltenrang einer - Matrix über einem Körper .
- Der Dualraum zu einem - Vektorraum .
- Die adjungierte Matrix zu einer quadratischen Matrix .
- Eine Fahne in einem - dimensionalen - Vektorraum .
Aufgabe * (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über die Anzahl von Basiselementen.
- Der Satz über die Beschreibung des Signums mit Fehlständen.
- Der Satz von der kanonischen additiven Zerlegung für eine trigonalisierbare Abbildung.
Aufgabe * (4 (2+1+1) Punkte)
Folgende Aussagen seien bekannt.
- Der frühe Vogel fängt den Wurm.
- Doro wird nicht von Lilly gefangen.
- Lilly ist ein Vogel oder ein Igel.
- Für Igel ist 5 Uhr am Morgen spät.
- Doro ist ein Wurm.
- Für Vögel ist 5 Uhr am Morgen früh.
- Lilly schläft bis 5 Uhr am Morgen und ist ab 5 Uhr unterwegs.
Beantworte folgende Fragen.
- Ist Lilly ein Vogel oder ein Igel?
- Ist sie ein frühes oder ein spätes Tier?
- Fängt der späte Igel den Wurm?
Aufgabe * (2 Punkte)
wurde ermordet. Es gelten folgende Sachverhalte.
- Der Mörder ist oder oder oder .
- Wenn der Mörder ist, dann ist nicht der Mörder oder ist der Mörder.
- sind alle verschieden.
- Es gibt genau einen Mörder.
- Wenn nicht der Mörder ist, dann ist nicht der Mörder.
- ist genau dann der Mörder, wenn der Mörder ist.
Wer ist der Mörder?
Aufgabe * (4 Punkte)
Es seien und Mengen und seien und Teilmengen. Zeige die Gleichheit
Aufgabe * (1 Punkt)
In der Klasse ist es sehr laut. Frau Maier-Sengupta sagt „Bitte nicht gleichzeitig sprechen“. Bringe diese Aussage mit dem Konzept von disjunkten Mengen in Verbindung.
Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)
Wir betrachten die durch die Wertetabelle
gegebene Abbildung
a) Bestimme das Bild von unter .
b) Bestimme das Urbild von unter .
c) Erstelle eine Wertetabelle für
Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)
Wir betrachten die lineare Gleichung
es sei die Lösungsmenge.
- Zeige, dass und affin-unabhängige Punkte von sind.
- Bestimme die baryzentrischen Koordinaten von
bezüglich und .
Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)
Es sei
- Bestimme das charakteristische Polynom von .
- Bestimme eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms von und klammere den entsprechenden Linearfaktor aus.
- Begründe, dass das charakteristische Polynom von zumindest zwei reelle Nullstellen hat.
Aufgabe * (5 (1+2+2) Punkte)
- Es sei ein Polynom über einem Körper der Form
mit und . Zeige, dass die als einzige Nullstelle besitzt.
- Es sei ein Polynom mit der Eigenschaft, dass die einzige komplexe Nullstelle von ist. Zeige, dass die Form
mit und hat.
- Man gebe ein Beispiel für ein reelles Polynom mit der Eigenschaft, dass die einzige reelle Nullstelle von ist, dass aber nicht die Gestalt aus Teil (1) besitzt.
Aufgabe * (4 Punkte)
Zeige, dass
eine Nullstelle des Polynoms
ist.
Aufgabe * (4 Punkte)
Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)
Es sei ein Punkt in einem affinen Raum über . Zeige, dass die folgenden Ausdrücke baryzentrische Kombinationen für sind (es sei und ).
- .
- .
- .
Aufgabe * (3 Punkte)
Es sei ein affiner Raum über dem - Vektorraum . Es seien , , und Punkte in und eine baryzentrische Kombination. Zeige, dass
wobei der linke Ausdruck als baryzentrische Kombination zu lesen ist.
Aufgabe * (3 Punkte)
Es sei ein Körper und seien und affine Räume über den Vektorräumen bzw. . Es sei eine Abbildung
eine lineare Abbildung
und ein Punkt derart gegeben, dass
für alle gilt. Zeige, dass affin-linear ist.
Aufgabe * (3 Punkte)
Es sei eine Abbildung mit
für gewisse . Zeige direkt, dass mit baryzentrischen Kombinationen verträglich ist.
Aufgabe * (8 Punkte)
Formuliere und beweise einen Festlegungssatz für affin-lineare Abbildungen.
Aufgabe (3 Punkte)
Beschreibe typische Problemstellungen, die unter den Begriff Dreisatz fallen, durch geeignete Beispiele.