Kurs:Lineare Algebra/Teil I/43/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	${}\sum$
Punkte	3	3	4	4	0	5	4	3	0	0	6	0	4	3	0	4	7	0	0	50

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Produktmenge zu einer Familie ${}M_{i}$, ${}i\in I$.
2. Die Dimension eines ${}K$-Vektorraums ${}V$ (${}V$ besitze ein endliches Erzeugendensystem).
3. Der Dualraum zu einem ${}K$- Vektorraum ${}V$.
4. Der Grad eines Polynoms ${}P\in K[X]$, ${}P\neq 0$, über einem Körper ${}K$.
5. Der Hauptraum zu einer linearen Abbildung ${}\varphi$ auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$ und einem Eigenwert ${}\lambda \in K$.
6. Ein affines Erzeugendensystem eines affinen Unterraumes ${}F$ in einem affinen Raum ${}E$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Übergangsmatrizen zu drei Basen.
2. Der Satz über funktorielle Eigenschaften von Homomorphismenräumen.
3. Der Satz über die Anzahl der Permutationen.

Aufgabe * (4 Punkte)

Hanny, Nanny, Fanny und Sanny leben auf dem Ponyhof. Heute machen sie einen Ausflug mit den Ponies Pona, Pone, Pono und Ponu. Jedes der Mädchen sitzt dabei genau auf einem Pony, und sie reiten hintereinander. Folgende Fakten sind bekannt.

1. Fanny sitzt nicht auf Pona.
2. Pone und Ponu vertragen sich nicht so gut und laufen daher nicht direkt hintereinander.
3. Nanny sitzt auf Pone oder auf Pono.
4. Sanny reitet auf Pona oder auf Pone.
5. Nanny reitet direkt hinter Sanny.
6. Auf Ponu sitzt nicht Sanny.
7. Pona läuft direkt zwischen Pone und Pono.
8. Auf Pono sitzt weder Fanny noch Hanny.
9. Sanny reitet weiter vorne als Hanny.

Wer sitzt auf welchem Pony und in welcher Reihenfolge laufen sie?

Aufgabe * (4 Punkte)

Betrachte die Abbildung

$f\colon \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,n\longmapsto {\begin{cases}-{\frac {n}{2}},{\text{ falls }}n{\text{ gerade}}\,,\\{\frac {n+1}{2}},{\text{ falls }}n{\text{ ungerade}}\,.\end{cases}}$

Ist ${}f$ injektiv, surjektiv bzw. bijektiv?

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum und ${}U_{1},U_{2}\subseteq V$ Untervektorräume gleicher Dimension. Zeige, dass ${}U_{1}$ und ${}U_{2}$ ein gemeinsames direktes Komplement besitzen.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Beschreibung einer linearen Abbildung bei einem Basiswechsel.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu

${\begin{pmatrix}1&5&0\\7&2&2\\0&0&-1\end{pmatrix}}.$

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (6 (1+4+1) Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper mit ${}2\neq 0$ und sei ${}K[X]_{\leq 2}$ der ${}K$- Vektorraum aller Polynome vom Grad ${}\leq 2$. Zu ${}z\in K$ bezeichne ${}\operatorname {Ev} _{z}$ die Auswertung an ${}z$, also die Abbildung

$\operatorname {Ev} _{z}\colon K[X]_{\leq 2}\longrightarrow K,\,P\longmapsto P(z).$

a) Zeige, dass ${}\operatorname {Ev} _{z}$ linear ist.

b) Beschreibe die Auswertung an ${}5$ als Linearkombinationen der Auswertungen an ${}1$, an ${}0$ und an ${}-1$.

c) Überprüfe das Ergebnis aus (b) für das Polynom ${}3X^{2}-4X+7$.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Diagonalisierbarkeit und Eigenräume.

Aufgabe * (3 Punkte)

Eine lineare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$

werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

${\begin{pmatrix}11&3&1\\0&11&2\\0&0&11\end{pmatrix}}$

beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der ${}\varphi$ durch die Matrix

${\begin{pmatrix}11&1&0\\0&11&1\\0&0&11\end{pmatrix}}$

beschrieben wird.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 Punkte)

Finde eine affine Basis für die Lösungsmenge der inhomogenen Gleichung

${}12x+8y+z+w=2\,.$

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Satz über baryzentrische Koordinaten.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)