Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Vorlesung 17/latex
\setcounter{section}{17}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Dsc_7112-large.jpg} }
\end{center}
\bildtext {So sah Vorli als Welpe aus.} }
\bildlizenz { Dsc_7112-large.jpg } {} {Odatrulle} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
\zwischenueberschrift{Universelle Eigenschaft der Determinante}
Die für die Determinante charakteristischen Eigenschaften, multilinear und alternierend zu sein und die Bedingung, dass die Determinante der Einheitsmatrix gleich $1$ ist, legt die Determinante eindeutig fest.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $V$ ein $n$-\definitionsverweis {dimensionaler}{}{} \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$. Eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbdisp {\triangle} {V^n} {K } {} heißt \definitionswort {Determinantenfunktion}{,} wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind. \aufzaehlungzwei {$\triangle$ ist \definitionsverweis {multilinear}{}{.} } {$\triangle$ ist \definitionsverweis {alternierend}{}{.} }
}
\inputfaktbeweis
{Determinantenfunktion/Verhalten bei Zeilenumformungen/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\triangle} {\operatorname{Mat}_{ n } (K) \cong { \left( K^n \right) }^n } {K
} {}
eine
\definitionsverweis {Determinantenfunktion}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann besitzt $\triangle$ folgende Eigenschaften.
\aufzaehlungfuenf{Wenn man eine Zeile von $M$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
multipliziert, so ändert sich $\triangle$ um den Faktor $s$.
}{Wenn in $M$ eine Nullzeile vorkommt, so ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \triangle (M)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Wenn man in $M$ zwei Zeilen vertauscht, so ändert sich $\triangle$ mit dem Faktor $-1$.
}{Wenn man zu einer Zeile ein skalares Vielfaches einer anderen Zeile dazuaddiert, so ändert sich $\triangle$ nicht.
}{Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \triangle( E_{ n })
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, so ist für eine
\definitionsverweis {obere Dreiecksmatrix}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \triangle(M)
}
{ = }{ a_{11} a_{22} { \cdots } a_{nn}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{(1) und (2) folgen direkt aus der
\definitionsverweis {Multilinearität}{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(3) folgt aus
Lemma 16.8.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Zu (4) betrachten wir die Situation, wo zur $s$-ten Zeile das $a$-fache der $r$-ten Zeile addiert wird,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r
}
{ < }{ s
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Aufgrund der schon bewiesenen Teile ist dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \triangle \begin{pmatrix} \vdots \\ v_r\\ \vdots\\v_s + a v_r\\ \vdots \end{pmatrix}
}
{ =} { \triangle \begin{pmatrix} \vdots \\ v_r\\ \vdots\\v_s\\ \vdots \end{pmatrix} + \triangle \begin{pmatrix} \vdots \\ v_r\\ \vdots\\ a v_r\\ \vdots \end{pmatrix}
}
{ =} { \triangle \begin{pmatrix} \vdots \\ v_r\\ \vdots\\v_s\\ \vdots \end{pmatrix} + a \triangle \begin{pmatrix} \vdots \\ v_r\\ \vdots\\ v_r\\ \vdots \end{pmatrix}
}
{ =} { \triangle \begin{pmatrix} \vdots \\ v_r\\ \vdots\\v_s\\ \vdots \end{pmatrix}
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(5).
\fallunterscheidungzwei {Wenn ein Diagonalelement $0$ ist, so sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r
}
{ = }{ \max { \left\{ i \mid a_{ii} = 0 \right\} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zur $r$-ten Zeile kann man durch Hinzuaddieren von geeigneten Vielfachen der $i$-ten Zeilen,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ > }{ r
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
erreichen, dass aus der $r$-ten Zeile eine Nullzeile wird, ohne dass sich der Wert der Determinantenfunktion ändert. Nach (2) muss dieser Wert dann $0$ sein.}
{Wenn kein Diagonalelement $0$ ist, so kann man durch wiederholte Skalierung erreichen, dass alle Diagonalelemente zu $1$ werden, und durch Zeilenadditionen kann man erreichen, dass die Einheitsmatrix entsteht. Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \triangle (M)
}
{ =} { a_{11} a_{22} { \cdots } a_{nn} \triangle( E_{ n } )
}
{ =} { a_{11} a_{22} { \cdots } a_{nn}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
}
{}
\inputfaktbeweis
{Determinantenfunktion/Eindeutig bestimmt/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es genau eine
\definitionsverweis {Determinantenfunktion}{}{}
\maabbdisp {\triangle} { \operatorname{Mat}_{ n } (K) = (K^n)^n} {K
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \triangle (e_1 ,\, e_2 , \ldots , e_{ n })
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei $e_i$ die
\definitionsverweis {Standardvektoren}{}{}
sind, nämlich die
\definitionsverweis {Determinante}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
besitzt aufgrund von
Satz 16.9,
Satz 16.10
und
Lemma 16.4
die angegebenen Eigenschaften.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Zur Eindeutigkeit. Zu jeder Matrix $M$ gibt es eine Folge von elementaren Zeilenumformungen derart, dass das Ergebnis eine obere Dreiecksmatrix ist. Dabei ändert sich nach
Lemma 17.2
bei einer Vertauschung von Zeilen der Wert der Determinantenfunktion mit dem Faktor $-1$, bei der Umskalierung einer Zeile um den Skalierungsfaktor und bei der Addition einer Zeile zu einer anderen Zeile gar nicht. Daher ist eine Determinantenfunktion durch die Werte auf einer oberen Dreiecksmatrix bzw. nach Skalierung und Zeilenaddition sogar durch den Wert an der Einheitsmatrix festgelegt.}
{}
\zwischenueberschrift{Der Determinantenmultiplikationssatz}
Wir besprechen weitere wichtige Sätze über Determinanten.
\inputfaktbeweis
{Determinante/Multiplikationssatz/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{\N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gilt für Matrizen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A,B
}
{ \in }{\operatorname{Mat}_{ n } (K)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det \left( A \circ B \right)
}
{ =} { \det A \cdot \det B
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir fixieren die Matrix $B$.
\fallunterscheidungzwei {Es sei zunächst
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \det B
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist nach
Satz 16.11
die Matrix $B$ nicht
\definitionsverweis {invertierbar}{}{}
und damit ist auch
\mathl{A \circ B}{} nicht invertierbar und somit wiederum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \det A \circ B
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
{Es sei nun $B$ invertierbar. In diesem Fall betrachten wir die wohldefinierte Abbildung
\maabbeledisp {\delta} {\operatorname{Mat}_{ n } (K) } {K
} {A} { (\det A \circ B ) ( \det B )^{-1}
} {.}
Wir wollen zeigen, dass diese Abbildung gleich der Abbildung
\mathl{A \mapsto \det A}{} ist, indem wir die die Determinante charakterisierenden Eigenschaften nachweisen und
Satz 17.3
anwenden. Wenn
\mathl{z_1 , \ldots , z_n}{} die Zeilen von $A$ sind, so ergibt sich
\mathl{\delta(A)}{,} indem man auf die Zeilen
\mathl{z_1 B , \ldots , z_n B}{} die Determinante anwendet und mit
\mathl{(\det B )^{-1}}{} multipliziert. Daher folgt die Multilinearität und die alternierende Eigenschaft aus
Aufgabe 16.29.
Wenn man mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A
}
{ = }{ E_{ n }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
startet, so ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A \circ B
}
{ = }{ B
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \delta( E_{ n } )
}
{ =} { (\det B ) \cdot (\det B )^{-1}}
{ } {
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\inputfaktbeweis
{Determinante/Transponierte einer Matrix/Aufgrund universeller Eigenschaft/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $M$ eine
\mathl{n \times n}{-}\definitionsverweis {Matrix}{}{} über $K$.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det M
}
{ =} { \det { M^{ \text{tr} } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wenn $M$ nicht invertierbar ist, so ist nach
Satz 16.11
die Determinante $0$ und der Rang kleiner als $n$. Dies gilt auch für die transponierte Matrix, sodass deren Determinante wiederum $0$ ist. Es sei also $M$ invertierbar. Wir führen diese Aussage in diesem Fall auf die entsprechende Aussage für Elementarmatrizen zurück, wofür sie direkt verifiziert werden kann, siehe
Aufgabe 16.13.
Es gibt nach
Lemma 12.8
\definitionsverweis {Elementarmatrizen}{}{}
\mathl{E_1 , \ldots , E_s}{} derart, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D
}
{ =} { E_s { \cdots } E_1 M
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Diagonalmatrix}{}{}
ist. Nach
Aufgabe 4.20
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { D^{ \text{tr} } }
}
{ =} { { M^{ \text{tr} } } { E_1^{ \text{tr} } } { \cdots } { E_s^{ \text{tr} } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bzw.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { M^{ \text{tr} } }
}
{ =} { { D^{ \text{tr} } } ( { E_s^{ \text{tr} } } )^{-1} { \cdots } ( { E_1^{ \text{tr} } } )^{-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Diagonalmatrix $D$ ändert sich beim Transponieren nicht. Da die Determinanten von Elementarmatrizen sich beim Transponieren auch nicht ändern, gilt, unter Verwendung von
Satz 17.4,
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \det { M^{ \text{tr} } }
}
{ =} { \det \left( { D^{ \text{tr} } } ( { E_s^{ \text{tr} } } )^{-1} { \cdots } ( { E_1^{ \text{tr} } } )^{-1} \right)
}
{ =} { \det { D^{ \text{tr} } } \cdot \det ( { E_s^{ \text{tr} } } )^{-1} { \cdots } \det ( { E_1^{ \text{tr} } } )^{-1}
}
{ =} { \det D \cdot \det \left( E_s ^{-1} \right) { \cdots } \det \left( E_1^{-1} \right)
}
{ =} { \det \left( E_1 ^{-1} \right) { \cdots } \det \left( E_s^{-1} \right) \cdot \det D \cdot
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \det \left( E_1 ^{-1} { \cdots } E_s^{-1} \cdot D \right)
}
{ =} { \det M
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Daraus folgt, dass man die Determinante auch berechnen kann, indem man \anfuehrung{nach einer Zeile entwickelt}{,} wie die folgende Aussage, der \stichwort {Entwicklungssatz von Laplace} {,} zeigt.
\inputfaktbeweis
{Determinante/Entwicklungssatz/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{{ \left( a _{ i j } \right) }_{ i j }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
über $K$. Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i,j
}
{ \in }{ { \{ 1 , \ldots , n \} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sei
\mathl{M_{ij}}{} diejenige Matrix, die entsteht, wenn man in $M$ die $i$-te Zeile und die $j$-te Spalte weglässt.}
\faktfolgerung {Dann ist
\zusatzklammer {bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für jedes feste $i$ bzw. $j$} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det M
}
{ =} { \sum_{ i = 1 }^{ n } (-1)^{i+j} a_{ij} \det M_{ij}
}
{ =} { \sum_{ j = 1 }^{ n } (-1)^{i+j} a_{ij} \det M_{ij}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{j
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die erste Gleichung die rekursive Definition der
\definitionsverweis {Determinante}{}{.}
Daraus folgt die Aussage für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
aufgrund von
Satz 17.5. Durch Spalten- und Zeilenvertauschung folgt die Aussage daraus allgemein, siehe
Aufgabe 17.11.
\zwischenueberschrift{Die Determinante einer linearen Abbildung}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine lineare Abbildung eines Vektorraumes der Dimension $n$ in sich. Diese wird bezüglich einer Basis durch eine Matrix
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ n } (K)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
beschrieben. Es liegt nahe, die Determinante dieser Matrix als Determinante der linearen Abbildung zu definieren, doch hat man hier das \stichwort {Problem der Wohldefiniertheit} {:} die lineare Abbildung wird bezüglich einer anderen Basis durch eine \anfuehrung{völlig}{} andere Matrix beschrieben. Allerdings besteht zwischen den zwei beschreibenden Matrizen
\mathkor {} {M} {und} {N} {}
und der Basiswechselmatrix $B$ aufgrund von
Korollar 11.12
die Beziehung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{N
}
{ = }{ BMB^{-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Aufgrund des Determinantenmultiplikationssatzes ist daher
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \det N
}
{ =} { \det \left( BMB^{-1} \right)
}
{ =} { ( \det B) (\det M) { \left( \det B^{-1} \right) }
}
{ =} { ( \det B) { \left( \det B^{-1} \right) } (\det M)
}
{ =} { \det M
}
}
{}
{}{,}
sodass die folgende Definition in der Tat unabhängig von der Wahl einer Basis ist.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{,} die bezüglich einer
\definitionsverweis {Basis}{}{}
durch die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
$M$ beschrieben werde. Dann nennt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det \varphi
}
{ \defeq} { \det M
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die \definitionswort {Determinante}{} der linearen Abbildung $\varphi$.
}
\zwischenueberschrift{Adjungierte Matrix und Cramersche Regel}
\inputdefinition
{}
{
Zu einer
\definitionsverweis {quadratischen Matrix}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \in }{\operatorname{Mat}_{ n } (K)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt
\mathdisp {M^{ \operatorname{adj} } = ( b_{ij} ) \text{ mit } b_{ij} = (-1)^{i+j} \det M_{ji}} { , }
wobei
\mathl{M_{ji}}{} die Streichungsmatrix zur $j$-ten Zeile und zur $i$-ten Spalte ist, die \definitionswort {adjungierte Matrix}{}
\zusatzklammer {Adjunkte} {} {}
von $M$.
} Achtung, bei der Definition der Einträge der adjungierten Matrix werden Zeilen und Spalten vertauscht.
\inputfaktbeweis
{Matrix/Adjungierte/Formel mit Determinante/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $M$ eine
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
über $K$.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ( M^{ \operatorname{adj} } ) \cdot M
}
{ =} { ( \det M ) E_{ n }
}
{ =} { M \cdot ( M^{ \operatorname{adj} } )
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{}}
\faktzusatz {Wenn $M$
\definitionsverweis {invertierbar}{}{}
ist, so ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^{-1}
}
{ =} { \frac{1}{ \det M } \cdot M^{ \operatorname{adj} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{ { \left( a_{ij} \right) }_{ij}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Koeffizienten der adjungierten Matrix seien
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ b_{ik}
}
{ =} { (-1)^{i+k} \det M_{ki}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Koeffizienten des Produktes
\mathl{(M^{ \operatorname{adj} }) \cdot M}{} sind
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c_{ij}
}
{ =} { \sum_{ k = 1 }^{ n } b_{ik} a_{kj}
}
{ =} { \sum_{ k = 1 }^{ n } (-1)^{i+k} a_{kj} \det M_{ki}}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ j
}
{ = }{ i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist dies
\mathl{\det M}{,} da es sich bei dieser Summe um die Entwicklung der Determinante nach der $j$-ten Spalte handelt. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ j
}
{ \neq }{ i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es sei $N$ die Matrix, die aus $M$ entsteht, wenn man in $M$ die $i$-te Spalte durch die $j$-te Spalte ersetzt. Wenn man $N$ nach der $i$-ten Spalte entwickelt, so ist dies
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 0
}
{ =} { \det N
}
{ =} { \sum_{ k = 1 }^{ n } (-1)^{i+k} a_{kj} \det M_{ki}
}
{ =} { c_{ij}
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Also sind diese Koeffizienten $0$, und damit stimmt die erste Gleichung.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Die zweite Gleichung ergibt sich ebenso, wobei man die Entwicklung der Determinante nach den verschiedenen Zeilen ausnutzen muss.}
{}
Die folgende Aussage heißt \stichwort {Cramersche Regel} {.}
\inputfaktbeweis
{Lineares Gleichungssystem/Cramersche Regel/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathdisp {\begin{matrix} a _{ 1 1 } x _1 + a _{ 1 2 } x _2 + \cdots + a _{ 1 n } x _{ n } & = & c_1 \\ a _{ 2 1 } x _1 + a _{ 2 2 } x _2 + \cdots + a _{ 2 n } x _{ n } & = & c_2 \\
\vdots & \vdots & \vdots \\ a _{ n 1 } x _1 + a _{ n 2 } x _2 + \cdots + a _{ n n } x _{ n } & = & c_n \end{matrix}} { }
ein
\definitionsverweis {inhomogenes lineares Gleichungssystem}{}{.}}
\faktvoraussetzung {Es sei vorausgesetzt, dass die beschreibende Matrix
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ { \left( a_{ij} \right) }_{ij}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {invertierbar}{}{}
sei.}
\faktfolgerung {Dann erhält man die eindeutige Lösung für $x_j$ durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_j
}
{ = }{ \frac{ \det \begin{pmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1, j -1 } & c _1 & a_{1 , j +1} & \cdots & a_{1 n }
\\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots
\\ a_{ n 1} & \cdots & a_{ n , j -1 } & c_{ n } & a_{ n , j +1} & \cdots & a_{ n n }
\end{pmatrix} }{ \det M }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Für eine invertierbare Matrix $M$ ergibt sich die Lösung für das lineare Gleichungssystem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Mx
}
{ = }{c
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
indem man
\mathl{M^{-1}}{} anwendet, d.h. es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ = }{ M^{-1} c
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Unter Verwendung von
Satz 17.9
bedeutet dies
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ = }{ \frac{1}{ \det M } ( M^{ \operatorname{adj} }) c
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für die $j$-te Komponente bedeutet dies
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_j
}
{ =} { \frac{1}{ \det M } { \left( \sum_{ k = 1 }^{ n } (-1)^{k+j} ( \det M_{kj} ) \cdot c_k \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Der rechte Faktor ist dabei die Entwicklung der Determinante der Matrix im Zähler nach der $j$-ten Spalte.
\inputbeispiel{}
{
Wir lösen das
\definitionsverweis {lineare Gleichungssystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ -1 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\x_2 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2 \\7 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit Hilfe der
Cramerschen Regel.
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_1
}
{ =} { { \frac{ \det \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 7 & 5 \end{pmatrix} }{ \det \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ -1 & 5 \end{pmatrix} } }
}
{ =} { - { \frac{ 11 }{ 23 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_2
}
{ =} { { \frac{ \det \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 7 \end{pmatrix} }{ \det \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ -1 & 5 \end{pmatrix} } }
}
{ =} { { \frac{ 30 }{ 23 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}