Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/Arbeitsblatt 58/kontrolle



Übungsaufgaben

Drücke das Dachprodukt in der Standardbasis von aus.



Es sei

die durch die Matrix

gegebene lineare Abbildung. Bestimme die Matrix zu bezüglich der Standardbasen der Dachprodukte.



Es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum und sei eine Basis von . Beschreibe die Matrix zur natürlichen Abbildung ( Faktoren)

bezüglich der zugehörigen Basen.



Es sei

eine direkte Zerlegung in Untervektorräume der Dimension und . Zeige, dass es eine kanonische Isomorphie

gibt.



Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Es seien . Zeige, dass es zu jedem eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

mit gibt.



Es sei ein Vektorraum über dem Körper und

ein Endomorphismus. Es sei

das -te Dachprodukt von . Es seien linear unabhängige Eigenvektoren zu zu den Eigenwerten . Zeige, dass ein Eigenwert von ist.



Es sei ein Körper und sei ein - Vektorraum. Es sei

eine diagonalisierbare - lineare Abbildung. Zeige, dass auch das Dachprodukt

diagonalisierbar ist.



Es sei ein Körper und sei ein - Vektorraum. Es sei

eine trigonalisierbare - lineare Abbildung. Zeige, dass auch das Dachprodukt

trigonalisierbar ist.






Aufgaben zum Abgeben

Drücke das Dachprodukt

im als Linearkombination der Dachprodukte , und aus.



Drücke das Dachprodukt in der Standardbasis von aus.



Drücke das Dachprodukt

in der Standardbasis von aus.



Wir betrachten die Basis

von und die dadurch induzierte Basis

von . Bestimme die Übergangsmatrizen (in beide Richtungen) zwischen der Basis und der Standardbasis .



Es sei

die durch die Matrix

gegebene lineare Abbildung. Bestimme die Matrix zu bezüglich der Standardbasen der Dachprodukte.