Kurs:Maß- und Integrationstheorie/8/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	${}\sum$
Punkte	3	3	5	5	2	5	6	9	3	7	6	6	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Das Zählmaß auf einer Menge ${}M$.
2. Ein Hausdorff-Raum ${}X$.
3. Der Produkt-Präring auf ${}M_{1}\times \cdots \times M_{n}$ der Präringe ${}(M_{1},{\mathcal {P}}_{1}),\ldots ,(M_{n},{\mathcal {P}}_{n})$.
4. Eine ${}\sigma$-einfache Funktion

   $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

   auf einem Messraum ${}(M,{\mathcal {A}})$.

5. Die Eigenschaft einer Teilmenge ${}T\subseteq \operatorname {Abb} \,{\left(X,{\mathbb {K} }\right)}$, die Punkte von ${}X$ zu trennen.
6. Das ${}n$-te Legendre-Polynom ${}P_{n}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Mengen mit der Zerlegungseigenschaft zu einem äußeren Maß.
2. Das Cavalieri-Prinzip für eine messbare Teilmenge ${}T\subseteq M\times N$ zu ${}\sigma$- endlichen Maßräumen ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und ${}(N,{\mathcal {B}},\nu )$.
3. Das Darstellungslemma von Riesz.

Aufgabe * (5 (1+3+1) Punkte)

Es sei ${}M$ eine Menge und seien

$T_{1},T_{2},\ldots ,T_{n}\subseteq M$

Teilmengen (${}n\geq 1$). Wir betrachten die Menge ${}{\mathcal {A}}$, die aus allen Teilmengen von ${}M$ besteht, die man als Durchschnitte der Form

$S_{1}\cap \ldots \cap S_{k}$

erhalten kann, wobei die Menge ${}S_{i}$ jeweils ein ${}T_{j}$ oder ein ${}M\setminus T_{j}$ ist.

a) Zeige, dass man auf diese Art nur endlich viele Teilmengen von ${}M$ erhalten kann.

b) Zeige, dass es in ${}{\mathcal {A}}$ eindeutig bestimmte, nichtleere Mengen ${}A_{1},\ldots ,A_{m}$ mit

${}M=\biguplus _{\ell =1}^{m}A_{\ell }\,$

und mit der Eigenschaft, dass jedes ${}A\in {\mathcal {A}}$, ${}A\neq \emptyset$, ein ${}A_{\ell }$ umfasst gibt.

c) Zeige, dass man jede Menge ${}T_{j}$ als

${}T_{j}=\biguplus _{\ell \in L_{j}}^{m}A_{\ell }\,$

mit einer eindeutig bestimmten Teilmenge ${}L_{j}\subseteq \{1,\ldots ,m\}$ darstellen kann.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}M$ eine Menge und ${}{\mathcal {A}}$ ein Mengensystem auf ${}M$. Zeige, dass ${}{\mathcal {A}}$ genau dann ein durchschnittsstabiles Dynkin-System ist, wenn ${}{\mathcal {A}}$ eine ${}\sigma$- Algebra ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und ${}(N,{\mathcal {B}},\nu )$ endliche Maßräume und ${}(M\times N,{\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}},\mu \otimes \nu )$ ihr Produktmaßraum. Zeige, dass das Bildmaß von ${}\mu \otimes \nu$ unter der Projektion

$M\times N\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x,$

gleich (dem umskalierten Maß) ${}\nu (N)\cdot \mu$ ist.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es seien ${}P_{1}=(a_{1},b_{1}),\,P_{2}=(a_{2},b_{2})$ und ${}P_{3}=(a_{3},b_{3})$ drei Punkte im ${}\mathbb {R} ^{2}$. Stelle den Flächeninhalt des zugehörigen Dreiecks mit ${}a_{1},b_{1},a_{2},b_{2},a_{3},b_{3}$ dar.

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Satz über Borelmengen im ${}\mathbb {R} ^{n}$ und achsenparallele Quader mit rationalen Ecken.

Aufgabe * (9 Punkte)

Zeige, dass sich die abgeschlossene Einheitskreisscheibe

$B\left(0,1\right)={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\leq 1\right\}}$

nicht durch abzählbar viele abgeschlossene Rechtecke ${}[a,b]\times [c,d]\subseteq B\left(0,1\right)$

(mit $a\leq b$ und $c\leq d$) überdecken lässt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das Volumen des von den Vektoren

${\begin{pmatrix}2\\0\\0\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\-1\\2\\0\end{pmatrix}}{\text{ und }}{\begin{pmatrix}-1\\0\\2\\1\end{pmatrix}}$

im ${}\mathbb {R} ^{4}$ erzeugten Parallelotops (in dem von diesen Vektoren erzeugten Unterraum).

Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,x\longmapsto f(x),$

eine positive stetige Funktion (mit ${}a\leq b$ aus ${}\mathbb {R}$). Zeige direkt (ohne die Transformationsformel), dass die Oberfläche des zugehörigen Rotationskörpers, also die Menge

${}M={\left\{(x,f(x)\cos \alpha ,f(x)\sin \alpha )\mid x\in [a,b],\,\alpha \in [0,2\pi [\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{3}\,,$

das Volumen ${}0$ besitzt.

Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei ${}p\geq 1$ eine reelle Zahl und es sei ${}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum. Es seien

$f,g\colon X\longrightarrow \mathbb {R}$

${}p$- integrierbare Funktionen. Zeige

${}\Vert {f+g}\Vert _{p}\leq \Vert {f}\Vert _{p}+\Vert {g}\Vert _{p}\,.$

Aufgabe (6 (2+2+2) Punkte)

Es sei

${}M={\left\{{\frac {1}{n}}\mid n\in \mathbb {N} _{+}\right\}}\cup \{0\}\subseteq \mathbb {R} \,$

und es sei

${}T:={\left\{f:M\rightarrow \mathbb {R} \mid f{\text{ stetig und }}f(0)=0\right\}}\subseteq C^{0}(M,\mathbb {R} )\,,$

versehen mit der Maximumsnorm.

1. Ist ${}T$ abgeschlossen in ${}C^{0}(M,\mathbb {R} )$?
2. Ist ${}T$ gleichgradig stetig?
3. Für welche Punkte ${}x\in M$ ist das Auswertungsbild zu

   $T\longrightarrow \mathbb {R} ,\,f\longmapsto f(x),$

   beschränkt?

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Beziehung zwischen den Tschebyschow-Polynomen und dem Kosinus.