Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Vorlesung 20/latex
\setcounter{section}{20}
\zwischenueberschrift{Normale topologische Räume}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Normal space.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Normal space.svg } {} {Toby Bartels} {Commons} {gemeinfrei} {}
\inputdefinition
{}
{
Ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
heißt
\definitionswort {normal}{,}
wenn die einzelnen Punkte
\definitionsverweis {abgeschlossen}{}{}
sind und es in ihm zu je zwei disjunkten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y,Z
}
{ \subseteq }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offene Mengen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ \subseteq }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Z
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U \cap V
}
{ = }{ \emptyset
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
Diese Eigenschaft kann man auch so formulieren, dass es zu einer Inklusion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ \subseteq }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit $Y$ abgeschlossen und $U$ offen eine Verfeinerung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Y
}
{ \subseteq} { U'
}
{ \subseteq} { Y'
}
{ \subseteq} { U
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit den entsprechenden Eigenschaften gibt.
\inputfaktbeweis
{Metrischer Raum/Normal/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{}}
\faktfolgerung {ist
\definitionsverweis {normal}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es seien $Y, Z$ disjunkte
\definitionsverweis {abgeschlossene Teilmengen}{}{}
des metrischen Raumes $X$. Zu jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ \in }{ Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es aufgrund der Abgeschlossenheit von $Z$ ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta_y
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass der offene Ball
\mathl{U { \left( y, \delta_y \right) }}{} disjunkt zu $Z$ ist. Entsprechend gibt es zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \in }{ Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon_z
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass
\mathl{U { \left( z, \epsilon_z \right) }}{} disjunkt zu $Y$ ist. Es ist dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Y
}
{ \subseteq} { \bigcup_{y \in Y} U { \left( y, { \frac{ \delta_y }{ 2 } } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine offene Umgebung von $Y$ und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Z
}
{ \subseteq} { \bigcup_{z \in Z} U { \left( z, { \frac{ \epsilon_z }{ 2 } } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine offene Umgebung von $Z$. Wir behaupten, dass diese beiden offenen Mengen disjunkt sind. Nehmen wir an, dass dies nicht der Fall ist. Dann gibt es Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ \in }{ Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \in }{ Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U { \left( y, { \frac{ \delta_y }{ 2 } } \right) } \cap U { \left( z, { \frac{ \epsilon_z }{ 2 } } \right) }
}
{ \neq} { \emptyset
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist. Es sei $x$ ein Punkt darin. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d(y,z)
}
{ \leq} { d(y,x) + d(x,z)
}
{ <} { { \frac{ \delta_y }{ 2 } } + { \frac{ \epsilon_z }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Ohne Einschränkung sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta_y
}
{ \leq }{ \epsilon_z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d(y,z)
}
{ <} { \epsilon_z
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
was ein Widerspruch zur Wahl von $\epsilon_z$ ist.
\inputfaktbeweis
{Kompakter Raum/Normal/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Ein
\definitionsverweis {kompakter}{}{}
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}}
\faktfolgerung {ist
\definitionsverweis {normal}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es seien $Y, Z$ disjunkte
\definitionsverweis {abgeschlossene Teilmengen}{}{}
des kompakten Raumes $X$. Zuerst sei $Y$ beliebig und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Z
}
{ = }{ \{P\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt. Dann gibt es zu jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ \in }{ Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
aufgrund der
\definitionsverweis {Hausdorff-Eigenschaft}{}{}
disjunkte Umgebungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ \in }{ U_y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ V_{y,P}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Y
}
{ \subseteq} { \bigcup_{ y \in Y} U_y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine offene Überdeckung. Nach
Lemma 17.3
ist mit $X$ auch $Y$ kompakt und daher gibt es eine endliche Teilüberdeckung, sagen wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Y
}
{ \subseteq} { U
}
{ \defeq} { \bigcup_{ i = 1}^n U_{y_i}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es ist dann $U$ eine offene Umgebung von $Y$, die zur offenen Umgebung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V
}
{ \defeq} { \bigcap_{ i = 1}^n V_{y_i,P}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
von $P$ disjunkt ist.
Für den allgemeinen Fall gibt es nach diesem speziellen Fall zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \in }{ Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
disjunkte offene Umgebungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \in }{ V_z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ \subseteq }{ U_z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es ist dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Z
}
{ \subseteq} { \bigcup_{ z \in Z} V_z
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine offene Überdeckung, für die es wieder eine endliche Teilüberdeckung $\bigcup_{ j = 1}^m V_{z_j}$ gibt, die zu $\bigcap_{ j = 1}^m U_{z_j}$ disjunkt ist.
Die folgende Aussage heißt \stichwort {Satz von Urysohn} {.}
\inputfaktbeweis
{Topologischer Raum/Normal/Urysohn/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {normaler}{}{}
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es zu disjunkten
\definitionsverweis {abgeschlossenen Teilmengen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y,Z
}
{ \subseteq }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
\maabb {f} {X} { \R
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f {{|}}_Y
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f {{|}}_Z
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir definieren induktiv über $n$ zu den Zahlen
\mathl{{ \frac{ k }{ 2^n } }}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ \in }{ \{0 , \ldots , 2^n \}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Kette von offenen Teilmengen $U_{ \frac{ k }{ 2^n } }$ und von abgeschlossenen Teilmengen $Y_{ \frac{ k }{ 2^n } }$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U_{ \frac{ k }{ 2^n } }
}
{ \subseteq} { Y_{ \frac{ k }{ 2^n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Y_\epsilon
}
{ \subseteq} { U_{ \epsilon' }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ < }{ \epsilon'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir starten induktiv mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U_0
}
{ = }{ \emptyset
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y_0
}
{ = }{ Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U_1
}
{ = }{ X \setminus Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y_1
}
{ = }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es seien die Mengen zum Nenner $2^n$ schon konstruiert. Das heißt, dass zum Nenner $2^{n+1}$ die Mengen zu den Indizes ${ \frac{ m }{ 2^{n+1} } }$ mit $m$ gerade schon konstruiert sind. Für $k$ ungerade liegt die Situation
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Y_{ { \frac{ k-1 }{ 2^{n+1 } }} }
}
{ \subseteq} { U_{ { \frac{ k+1 }{ 2^{n+1 } }} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
vor. Aufgrund der Normalität gibt eine offene Menge
\mathl{U_{ { \frac{ k }{ 2^{n+1 } }} }}{} und eine abgeschlossene Menge
\mathl{Y_{ { \frac{ k }{ 2^{n+1 } }} }}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Y_{ { \frac{ k-1 }{ 2^{n+1 } }} }
}
{ \subseteq} { U_{ { \frac{ k }{ 2^{n+1 } }} }
}
{ \subseteq} { Y_{ { \frac{ k }{ 2^{n+1 } }} }
}
{ \subseteq} { U_{ { \frac{ k+1 }{ 2^{n+1 } }} }
}
{ } {
}
}
{}{}{}
wie gewünscht.
Wir definieren jetzt eine Funktion
\maabbdisp {f} {X} { [0,1]
} {}
durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { \operatorname{inf} ( t, x \in Y_t )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dabei besitzt $f$ auf $Y$ den Wert $0$ und auf $Z$ den Wert $1$. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f^{-1} ([0,s])
}
{ =} { \bigcap_{ s \leq { \frac{ k }{ 2^n } } } Y_{ { \frac{ k }{ 2^n } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
woraus die Stetigkeit folgt.
\zwischenueberschrift{Approximationseigenschaften in den Lebesgueräumen}
Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{,} der zugleich ein \definitionsverweis {Maßraum}{}{} auf der $\sigma$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} der \definitionsverweis {Borelmengen}{}{} sei. Es gibt dann einerseits die stetigen Funktionen und andererseits $p$-\definitionsverweis {integrierbare Funktionen}{}{} \maabb {f} {X} { {\mathbb K} } {,} die beides messbare Funktionen sind. Wir möchten verstehen, unter welchen Bedingungen an $X$ und an das Maß $\mu$ die stetigen Funktionen integrierbar sind und inwiefern man ihnen die integrierbaren Funktionen approximieren kann.
\inputfaktbeweis
{Lebesgueraum/Einfache Funktionen/Endlicher Träger/Dichtheit/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $(X, \mu)$ ein
$\sigma$-\definitionsverweis {endlicher}{}{}
\definitionsverweis {Maßraum}{}{.}
Es sei $E$ die Menge der
\definitionsverweis {messbaren}{}{,}
\definitionsverweis {einfachen}{}{}
komplex-wertigen Funktionen $f$ auf $X$, deren Träger
\mathl{{ \left\{ x \in X \mid f(x) \neq 0 \right\} }}{}
$\mu$-\definitionsverweis {endlich}{}{}
sei.}
\faktfolgerung {Dann ist $E$
\definitionsverweis {dicht}{}{}
in $L^p(X)$ für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei $p$ fixiert und es sei $f$ eine
$p$-\definitionsverweis {integrierbare Funktion}{}{,}
die wir als reellwertig und als nichtnegativ annehmen können. Nach
Lemma 8.11
gibt es eine Folge von einfachen monoton wachsenden Funktionen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ e_n
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die punktweise gegen $f$ konvergieren. Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ e_n
}
{ \leq }{ f
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und der $p$-Integrierbarkeit von $f$ sind auch die $e_n$ $p$-integrierbar, woraus wiederum folgt, dass die Träger zu $e_n$ einen endlichen Träger haben. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( f-e_n \right) }^p
}
{ \leq} { f^p
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
können wir
Satz 10.9
auf die Funktionenfolge $(f-e_n)^p$, die ja gegen $0$ konvergiert, anwenden,
und erhalten, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {f-e_n} \Vert_p
}
{ =} { \int_X { \left( f-e_n \right) }^p d \mu
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für $n \rightarrow \infty$ gegen $0$ konvergiert. Dies bedeutet, die Konvergenz von $e_n$ gegen $f$ in $L^p(X)$.
Um zu zeigen, dass auch die stetigen Funktionen, sagen wir für eine Teilmenge des $\R^m$, dicht sind, gibt es im Wesentlichen zwei Strategien. Man approximiert die einfachen Funktionen bzw. die Indikatorfunktionen zu beliebigen messbaren Teilmengen beliebig gut durch stetige Funktionen, oder aber, man verschärft das vorstehende Resultat und zeigt, dass auch die Indikatorfunktionen zu Quadern schon einen dichten Untervektorraum erzeugen, und approximiert diese durch stetige Funktionen.
\inputfaktbeweis
{R^n/Messbare Teilmenge/Volumen/Überpflasterung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{\R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {messbare Teilmenge}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist das
$n$-\definitionsverweis {dimensionale Volumen}{}{}
von $T$ gleich dem
\definitionsverweis {Infimum}{}{}
über die Volumensumme aller
\definitionsverweis {Quader-Überpflasterungen}{}{}
\mathbed {Q_i} {}
{i \in \N} {}
{} {} {} {,}
von $T$, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lambda^n(T)
}
{ =} { \operatorname{inf} { \left\{ \sum_{i \in \N} \lambda^n(Q_i) \mid T \subseteq \bigcup_{i \in \N} Q_i \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt aus Satz 6.5 und der Definition eines \definitionsverweis {äußeren Maßes}{}{.}
Hierbei kann man offene, halboffene oder abgeschlossene Quader nehmen.
\inputfaktbeweis
{Borel-Lebesgue-Maß/Topologische Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Das
\definitionsverweis {Borel-Lebesgue-Maß}{}{}
auf dem $\R^n$ besitzt die folgenden Eigenschaften.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{Für alle beschränkten und insbesondere für alle
\definitionsverweis {kompakten}{}{}
Teilmengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda^n(T)
}
{ < }{ \infty
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für jede messbare Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lambda^n(T)
}
{ =} { \operatorname{inf} ( \lambda^n (U), T\subseteq U \text{ offen} )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Für jede messbare Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lambda^n(T)
}
{ =} { \operatorname{sup} ( \lambda^n (A), A \subseteq T, \, A \text{ abgeschlossen} )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die erste Eigenschaft ist klar. Die zweite Eigenschaft folgt aus Lemma 20.6 mit offenen Quaderüberpflasterungen.
Zum Nachweis von (3) können wir annehmen, dass $\lambda^n(T)$ endlich ist.
Wir betrachten die Durchschnitte
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T_r
}
{ =} { T \cap B \left( 0,r \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da die Bälle den Raum ausschöpfen, konvergieren die Volumina nach
Lemma 3.4 (5)
gegen das von $T$. Wir können also $T$ durch $T_r$ ersetzen
\zusatzklammer {beispielsweise mit einer Maßabweichung von $\epsilon/2$} {} {}
und dann annehmen, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ U { \left( 0,s \right) }
}
{ \subset }{ U { \left( 0,r \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Wir betrachten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T'
}
{ =} { U { \left( 0,r \right) } \setminus T
}
{ \subseteq} { U { \left( 0,r \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Nach Teil (2) können wir das Volumen von $T'$ beliebig gut durch offene Mengen von oben approximieren, von den wir ferner annehmen können, dass sie in $U { \left( 0,r \right) }$ liegen, sagen wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T'
}
{ \subseteq} { U'
}
{ \subseteq} { U { \left( 0,r \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lambda^n(U') - \lambda^n (T')
}
{ \leq} { { \frac{ \epsilon }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A'
}
{ =} { B(0,r) \cap { \left( \R^n \setminus U' \right) }
}
{ \subseteq} { B(0,r) \cap { \left( \R^n \setminus T' \right) }
}
{ =} { T
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine abgeschlossene Teilmenge von $T$ und die Volumenabweichung ist wie zuvor.
Genaue Eigenschaften, Definition. Topologische Quetscheigenschaft. Topologisch approximierbar. Kompaktheit.
\inputfaktbeweis
{Topologischer Raum/Maßraum/Teilmenge/Indikatorfunktion/Stetige Approximation/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {normaler}{}{}
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und $\mu$ ein
$\sigma$-\definitionsverweis {endliches}{}{}
\definitionsverweis {Maß}{}{}
auf den
\definitionsverweis {Borelmengen}{}{}
von $X$. Es sei $T$ eine
\definitionsverweis {messbare Teilmenge}{}{}
von $X$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mu(T)
}
{ < }{ \infty
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
\maabb {f} {X} { \R
} {}
mit einem
\definitionsverweis {kompakten Träger}{}{}
derart, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mu { \left( { \left\{ x \in X \mid f(x) \neq e_{ T }(x) \right\} } \right) }
}
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A
}
{ \subseteq }{ T
}
{ \subseteq }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einer abgeschlossenen Teilmenge $A$ und einer offenen Teilmenge $U$ derart, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mu( U \setminus A)
}
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist. Dann sind $A$ und $X \setminus U$ disjunkte abgeschlossene Teilmengen und daher gibt es in dem normalen Raum nach
dem Lemma von Urysohn
eine stetige Funktion $f$, deren Bild in $[0,1]$ ist und die auf $A$ den Wert $1$ und auf $X \setminus U$ den Wert $0$ besitzt. Daher stimmt $f$ auf $A$ und auf $X \setminus U$ mit der Indikatorfunktion zu $T$ überein und die Abweichungsmenge liegt in $U \setminus A$, dessen Maß höchstens $\epsilon$ ist.
\inputfaktbeweis
{Topologischer Raum/Normal/P-integrierbar/Stetige Funktionen mit kompakten Träger/Dicht/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {normaler}{}{}
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und sei $\mu$ ein
$\sigma$-\definitionsverweis {endliches}{}{}
topologisch (kompakt) approximierbares
\definitionsverweis {Maß}{}{}
auf den
\definitionsverweis {Borel-Mengen}{}{}
von $X$.}
\faktfolgerung {Dann ist der Raum der ${\mathbb K}$-wertigen stetigen Funktionen mit einem kompakten Träger ein
\definitionsverweis {dichter}{}{}
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
im Lebesgueraum $L^p(X, \mu)$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei $V$ der topologische Abschluss des Raumes der stetigen Funktionen mit kompakten Träger in $L^p(X)$. Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ = }{ L^p(X)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu zeigen. Nach
Lemma 20.8
gehören die Indikatorfunktionen zu messbaren Mengen mit endlichem Maß dazu. Wegen der Vektorraumeigenschaft gehören auch die einfachen Funktionen mit einer Trägermenge mit endlichem Maß dazu. Deshalb folgt die Aussage aus
Lemma 20.5.
\inputfaktbeweis
{Topologischer Raum/Kompakt/P-integrierbar/Stetige Funktionen/Dicht/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {kompakter}{}{}
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und sei $\mu$ ein
$\sigma$-\definitionsverweis {endliches}{}{}
topologisch approximierbares
\definitionsverweis {Maß}{}{}
auf den
\definitionsverweis {Borel-Mengen}{}{}
von $X$.}
\faktfolgerung {Dann ist der Raum der ${\mathbb K}$-wertigen stetigen Funktionen ein
\definitionsverweis {dichter}{}{}
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
im Lebesgueraum $L^p(X, \mu)$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt direkt aus Satz 20.9.
\inputfaktbeweis
{R^n/Borel-Lebesgue-Dichte/P-integrierbar/Stetige Funktionen mit kompakten Träger/Dicht/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $\mu$ ein
\definitionsverweis {Maß}{}{}
auf dem $\R^n$, das durch eine
\definitionsverweis {Dichte}{}{}
bezüglich des
\definitionsverweis {Borel-Lebesgue-Maßes}{}{}
gegeben sei.}
\faktfolgerung {Dann ist der Raum der ${\mathbb K}$-wertigen stetigen Funktionen mit einem kompakten Träger ein
\definitionsverweis {dichter}{}{}
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
im
\definitionsverweis {Lebesgueraum}{}{}
$L^p(\R^n, \mu)$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt wegen Lemma 20.7 aus Satz 20.9.
\inputfaktbeweis
{Abgeschlossenes Intervall/P-integrierbar/Stetige Funktionen/Dicht/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Im
\definitionsverweis {Lebesgueraum}{}{}
$L^p([a,b])$ bildet}
\faktfolgerung {der Raum $C([a,b], \R)$ einen
\definitionsverweis {dichten}{}{}
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt direkt aus Korollar 20.10.