Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Ferienblatt 3

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz:

1. ${}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n+3}{n^{3}-n^{2}-n+2}}$,
2. ${}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n+{\sqrt {n}}}{n^{2}-{\sqrt {n}}+1}}$,
3. ${}\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}({\sqrt {n}}-{\sqrt {n-1}})$.

Aufgabe

Zeige ${}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {3^{n}+(-2)^{n}}{5^{n}}}={\frac {45}{14}}$.

Aufgabe *

Es sei ${}(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine monoton fallende Nullfolge. Beweise den folgenden Satz (Verdichtungskriterium von Cauchy): Die Reihe ${}\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}$ konvergiert genau dann, wenn die Reihe ${}\sum _{n=1}^{\infty }2^{n}\cdot x_{2^{n}}$ konvergiert.

Aufgabe

Bestimme den Konvergenzradius der Potenzreihe ${}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{3^{n}+(-2)^{n}}}z^{n}\,.$

Aufgabe

Bestimme den Grenzwert ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\frac {\cos(x)-1}{x}}\,.$

Aufgabe

Untersuche die Funktion ${}f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,x\mapsto x\cdot \vert {x}\vert$ auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit. Bestimme (falls möglich) die Ableitung.

Aufgabe

Bestimme die lokalen Extrema der Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto (x^{3}-4x^{2}+8x-8)\cdot e^{x}.$

Aufgabe *

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ und seien

$f,g\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

zwei ${}n$-mal differenzierbare Funktionen. Zeige, dass

${}(f\cdot g)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(k)}\cdot g^{(n-k)}\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine Teilmenge von ${}\mathbb {R}$ und ${}\epsilon >0$. Wir definieren ${}T_{\epsilon }(M):=\{x\in \mathbb {R} :\vert {x-a}\vert >\epsilon {\text{ für alle }}a\in M\}$. Zeige die folgenden Aussagen:

1. Falls ${}M$ offen ist, so ist ${}T_{\epsilon }(M)$ abgeschlossen.
2. Falls ${}M$ abgeschlossen ist, so ist ${}T_{\epsilon }(M)$ offen.
3. Die Umkehrungen der ersten beiden Aussagen sind falsch.

Aufgabe

Es sei ${}f:[0,\infty [\rightarrow \mathbb {R}$ eine differenzierbare Funktion derart, dass der Grenzwert ${}a:=\operatorname {lim} _{x\rightarrow \infty }\,f^{\prime }(x)$ existiert. Zeige, dass dann auch ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow \infty }\,(f(x+1)-f(x))=a$ gilt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz:

1. ${}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n!}{n^{n}}}$,
2. ${}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2+(-1)^{n}}{2^{n}}}$.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige ${}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{4n^{2}-1}}={\frac {1}{2}}$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine monoton fallende Nullfolge. Beweise den folgenden Satz (Satz von Olivier): Wenn die Reihe ${}\sum _{n=0}^{\infty }x_{n}$ konvergiert, dann ist ${}(n\cdot x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme den Konvergenzradius der Potenzreihe ${}\sum _{n=1}^{\infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\right)z^{n}\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme den Grenzwert ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 1}\,{\frac {\ln x}{x-1}}$.

Aufgabe (5 Punkte)

Untersuche die Funktion ${}g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,x\mapsto \vert {(x+1)^{3}(x-1)}\vert$ auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit. Bestimme (falls möglich) die Ableitung.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x+e^{x},$

bijektiv ist und berechne ${}(f^{-1})^{\prime }(1)$.

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