Betrachte auf die
Relation
-
a) Zeige, dass eine
Äquivalenzrelation
ist.
b) Zeige, dass es zu jedem ein äquivalentes Paar mit
gibt.
c) Es sei die Menge der
Äquivalenzklassen
dieser Äquivalenzrelation. Wir definieren eine Abbildung
-
Zeige, dass
injektiv
ist.
d) Definiere auf
(aus Teil c)
eine
Verknüpfung
derart, dass
mit dieser Verknüpfung und mit als neutralem Element eine
Gruppe
wird, und dass für die Abbildung die Beziehung
-
für alle
gilt.
Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass für
die Beziehung
-
gilt.
Beweise durch Induktion, dass für
die Abschätzung
-
gilt.
Entscheide, ob die
Folge
-
in
konvergiert
und bestimme gegebenenfalls den
Grenzwert.
Es sei ein angeordneter Körper und sei
-
der
Vektorraum
aller
Folgen
in
(mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation).
a) Zeige
(ohne Sätze über konvergente Folgen zu verwenden), dass die Menge der Nullfolgen, also
-
ein
-Untervektorraum
von ist.
b) Sind die beiden Folgen
-
linear unabhängig
in ?
Berechne über den
komplexen Zahlen
das
Matrizenprodukt
-
Es sei ein
Körper
und es seien
und
Vektorräume
über . Es sei ein
Erzeugendensystem
von und es sei eine Familie von Vektoren in .
a) Zeige, dass es maximal eine
lineare Abbildung
-
mit
für alle
geben kann.
b) Man gebe ein Beispiel für eine solche Situation an, wo es keine lineare Abbildung mit
für alle gibt.
Bestimme den
Kern
der
linearen Abbildung
-
a) Bestimme, ob die
komplexe
Matrix
-
invertierbar
ist.
b) Finde eine Lösung für das
inhomogene lineare Gleichungssystem
-
Es sei ein
Körper
und es seien
und
Vektorräume
über . Es sei der
-
Vektorraum
der
linearen Abbildungen
von nach und es sei ein fixierter Vektor. Zeige, dass die Abbildung
-
-linear ist.
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