Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Vorlesung 8

Cauchy-Folgen

Ein Problem des Konvergenzbegriffes ist, dass zur Formulierung der Grenzwert verwendet wird, den man unter Umständen noch gar nicht kennt. Wenn man beispielsweise die durch das babylonische Wurzelziehen konstruierte Folge ${}{\left(u_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ (sagen wir zur Berechnung von ${}{\sqrt {5}}$) mit einem rationalen Startwert betrachtet, so ist dies eine Folge aus rationalen Zahlen. Wenn wir diese Folge in einem beliebigen angeordneten Körper betrachten, in dem ${}{\sqrt {5}}$ existiert, so ist die Folge konvergent. Innerhalb der rationalen Zahlen ist sie aber definitiv nicht konvergent. Es ist wünschenswert, allein innerhalb der rationalen Zahlen den Sachverhalt formulieren zu können, dass die Folgenglieder beliebig nahe zusammenrücken, auch wenn man nicht sagen kann, dass die Folgenglieder einem Grenzwert beliebig nahe zustreben. Dazu dient der Begriff der Cauchy-Folge.

Augustin Louis Cauchy (1789-1857)

Definition

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}K$ heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist.

Zu jedem ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon >0$, gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n,m\geq n_{0}$ die Abschätzung

${}\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \epsilon \,$

gilt.

Lemma

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Dann ist eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ genau dann eine Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung gilt: Zu jedem ${}\epsilon >0$ gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}m\geq n_{0}$ die Abschätzung ${}\vert {x_{m}-x_{n_{0}}}\vert \leq \epsilon$ gilt.

Beweis

Eine Cauchy-Folge erfüllt auch die angegebene Bedingung, da man ja ${}n_{0}=n$ setzen kann.
Für die Umkehrung sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Die Bedingung der Aussage gilt insbesondere für ${}\epsilon /2$, d.h. es gibt ein ${}n_{0}$ derart, dass für jedes ${}m\geq n_{0}$ die Abschätzung

${}\vert {x_{m}-x_{n_{0}}}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2}}\,$

gilt. Damit gilt aufgrund der Dreiecksungleichung für beliebige ${}m,n\geq n_{0}$ die Abschätzung

${}\vert {x_{m}-x_{n}}\vert \leq \vert {x_{m}-x_{n_{0}}}\vert +\vert {x_{n_{0}}-x_{n}}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}=\epsilon \,,$

so dass eine Cauchy-Folge vorliegt.

$\Box$

Satz

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Dann ist jede konvergente Folge

eine Cauchy-Folge.

Beweis

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die konvergente Folge mit Grenzwert ${}x$. Sei ${}\epsilon >0$ gegeben. Wir wenden die Konvergenzeigenschaft auf ${}\epsilon /2$ an. Daher gibt es ein ${}n_{0}$ mit

$\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon /2{\text{ für alle }}n\geq n_{0}.$

Für beliebige ${}n,m\geq n_{0}$ gilt dann aufgrund der Dreiecksungleichung

${}\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \vert {x_{n}-x}\vert +\vert {x-x_{m}}\vert \leq \epsilon /2+\epsilon /2=\epsilon \,.$

  Also liegt eine Cauchy-Folge vor.

$\Box$

Definition

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}K$. Zu jeder streng wachsenden Abbildung ${}\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N}$, ${}i\longmapsto n_{i}$, heißt die Folge

$i\mapsto x_{n_{i}}$

eine Teilfolge der Folge.

Lemma

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper. Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine wachsende, nach oben beschränkte Folge.

Dann ist ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge.

Beweis

Es sei ${}b\in K$ eine obere Schranke, also ${}x_{n}\leq b$ für alle Folgenglieder ${}x_{n}$.  Wir nehmen an, dass ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ keine Cauchy-Folge ist, und verwenden die Charakterisierung aus Fakt *****. Somit gibt es ein ${}\epsilon >0$ derart, dass es für jedes ${}n_{0}$ ein ${}m>n_{0}$ mit ${}x_{m}-x_{n_{0}}\geq \epsilon$ gibt (wir können die Betragstriche wegen der Monotonie weglassen). Wir können daher induktiv eine wachsende Folge von natürlichen Zahlen definieren durch ${}n_{0}=0$,

$n_{1}>n_{0}{\text{ so, dass }}x_{n_{1}}-x_{n_{0}}\geq \epsilon ,$

$n_{2}>n_{1}{\text{ so, dass }}x_{n_{2}}-x_{n_{1}}\geq \epsilon ,$

etc. Andererseits gibt es aufgrund des Archimedesaxioms ein ${}k\in \mathbb {N}$ mit ${}k\epsilon >b-x_{0}$. Die Summe der ersten ${}k$ Differenzen der Teilfolge ${}x_{n_{j}}$, ${}j\in \mathbb {N}$, ergibt

${}{\begin{aligned}x_{n_{k}}-x_{0}&=(x_{n_{k}}-x_{n_{k-1}})+(x_{n_{k-1}}-x_{n_{k-2}})+\cdots +(x_{n_{2}}-x_{n_{1}})+(x_{n_{1}}-x_{n_{0}})\\&\geq k\epsilon \\&>b-x_{0}.\end{aligned}}$

  Dies impliziert ${}x_{n_{k}}>b$ im Widerspruch zur Voraussetzung, dass ${}b$ eine obere Schranke der Folge ist.

$\Box$

Der Körper der reellen Zahlen

Definition

Ein angeordneter Körper ${}K$ heißt vollständig oder vollständig angeordnet, wenn jede Cauchy-Folge in ${}K$ konvergiert (also in ${}K$ einen Grenzwert besitzt).

Definition

Einen archimedisch angeordneten vollständigen Körper nennt man Körper der reellen Zahlen. Er wird mit ${}\mathbb {R}$ bezeichnet.

Die reellen Zahlen sind also ein vollständig und archimedisch angeordneter Körper. Diese Eigenschaften legen die reellen Zahlen eindeutig fest, d.h. wenn es zwei Modelle ${}\mathbb {R} _{1}$ und ${}\mathbb {R} _{2}$ gibt, die beide für sich genommen vollständig und archimedisch angeordnete Körper sind, so kann man eine bijektive Abbildung von ${}\mathbb {R} _{1}$ nach ${}\mathbb {R} _{2}$ angeben, der alle mathematischen Strukturen erhält (sowas nennt man einen Isomorphismus).

Die Existenz der reellen Zahlen ist nicht trivial. Vom naiven Standpunkt her kann man die Vorstellung einer „kontinuierlichen Zahlengerade“ zugrunde legen, und dies als Existenznachweis akzeptieren. In einer strengeren mengentheoretischen Begründung der Existenz geht man von ${}\mathbb {Q}$ aus und konstruiert die reellen Zahlen als die Menge der Cauchy-Folgen in ${}\mathbb {Q}$ mit einer geeigneten Identifizierung. Dies wird im folgenden Beispiel und in den Aufgaben durchgeführt.

Beispiel

Wir konstruieren, ausgehend von den rationalen Zahlen ${}\mathbb {Q}$, einen vollständigen archimedisch angeordneten Körper, also ein Modell für den Körper der reellen Zahlen. Es sei

${}C={\left\{{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\mid {\text{Cauchy-Folge in }}\mathbb {Q} \right\}}\,$

die Menge aller Cauchy-Folgen mit rationalen Gliedern. Wir definieren in ${}C$ eine Relation durch

${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\sim {\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },{\text{ falls }}{\left(x_{n}-y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }{\text{ eine Nullfolge ist}}.$

Dies ist eine Äquivalenzrelation, siehe Aufgabe *****. Wir definieren nun die Quotientenmenge unter dieser Relation als reelle Zahlen, also

${}\mathbb {R} =C/\sim \,.$

Unter dieser Identifzierungsabbildung werden also alle Nullfolgen zu null gemacht, und zwei rationale Folgen werden miteinander identifiziert, wenn ihre Differenz eine Nullfolge ist. Wir schreiben die zugehörigen Äquivalenzklassen als ${}[{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }]$.

Auf ${}C$ gibt es die gliedweise Addition und Multiplikation. Auf der Quotientenmenge führt dies zum Ansatz

$[{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }]+[{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }]:=[{\left(x_{n}+y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }]{\text{ und }}[{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }]\cdot [{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }]:=[{\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }].$

Dies ergibt eine wohldefinierte Addition und Multiplikation auf ${}\mathbb {R}$, siehe

Aufgabe *****. Durch die konstanten Folgen zu einer rationalen Zahl ${}q\in \mathbb {Q}$ ergibt sich eine Abbildung

$\mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,q\longmapsto (q)_{n\in \mathbb {N} },$

die mit der Addition und der Multiplikation verträglich ist. Mit diesen Operationen und mit ${}0$ und ${}1$ (also der konstanten Nullfolge und der konstanten Einsfolge) ist ${}\mathbb {R}$ ein Körper, siehe Aufgabe *****. Für jede Cauchy-Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gilt die ausschließende Alternative: ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ist eine Nullfolge, oder es gibt ein ${}q>0$ mit ${}x_{n}\geq q$ für fast alle ${}n\in \mathbb {N}$, oder es gibt ein ${}q<0$ mit ${}x_{n}\leq q$ für fast alle ${}n\in \mathbb {N}$. Darauf aufbauend kann man ${}\mathbb {R}$ in null, in positve und in negative reelle Zahlen einteilen bzw. eine (totale) Ordnungsrelation darauf definieren. Damit wird ${}\mathbb {R}$ zu einem angeordneten Körper, der auch archimedisch ist, siehe Aufgabe *****. In einem letzten Schritt kann man zeigen, dass ${}\mathbb {R}$ auch vollständig ist, siehe Aufgabe *****.

Statt von einem vollständig und archimedisch angeordneten Körper werden wir von nun an von den reellen Zahlen ${}\mathbb {R}$ sprechen. Als Beweismittel sind aber lediglich die genannten Axiome erlaubt.

Weitere Eigenschaften der reellen Zahlen

Satz

Jede nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge der reellen Zahlen

besitzt ein Supremum in ${}\mathbb {R}$.

Beweis

Es sei ${}M\subseteq \mathbb {R}$ eine nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge. Es sei ${}x_{0}\in M$ und ${}y_{0}$ eine obere Schranke für ${}M$, d.h. es ist ${}x\leq y_{0}$ für alle ${}x\in M$. Wir konstruieren zwei Folgen ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$, wobei ${}x_{n}\in M$ wachsend, ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ fallend ist und jedes ${}y_{n}$ eine obere Schranke von ${}M$ ist (so dass insbesondere ${}x_{n}\leq y_{n}$ für alle ${}n$ ist), und so, dass ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge ist. Dabei gehen wir induktiv vor, d.h. die beiden Folgen seien bis ${}n$ bereits definiert und erfüllen die gewünschten Eigenschaften. Wir setzen

$x_{n+1}:={\begin{cases}x_{n},\,{\text{ falls }}[{\frac {x_{n}+y_{n}}{2}},y_{n}]\cap M=\emptyset \,,\\{\text{ein beliebiger Punkt aus }}[{\frac {x_{n}+y_{n}}{2}},y_{n}]\cap M{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}$

und

$y_{n+1}:={\begin{cases}{\frac {x_{n}+y_{n}}{2}},\,{\text{ falls }}[{\frac {x_{n}+y_{n}}{2}},y_{n}]\cap M=\emptyset \,,\\y_{n}{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}$

Dies erfüllt die gewünschten Eigenschaften, und es ist

$y_{n}-x_{n}\leq \left({\frac {1}{2}}\right)^{n}(y_{0}-x_{0}),$

da in beiden Fällen der Abstand zumindest halbiert wird. Da die Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ wachsend und nach oben beschränkt ist, handelt es sich nach Fakt ***** um eine Cauchy-Folge. Wegen der Vollständigkeit besitzt die konstruierte Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ einen Grenzwert ${}x$. Ebenso ist die fallende Folge ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$, die nach unten beschränkt ist, eine Cauchy-Folge mit demselben Grenzwert ${}x$.  Wir behaupten, dass dieses ${}x$ das Supremum von ${}M$ ist. Wir zeigen zuerst, dass ${}x$ eine obere Schranke von ${}M$ ist.  Es sei dazu ${}z>x$ angenommen für ein ${}z\in M$. Da die Folge ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}x$ konvergiert, gibt es insbesondere ein ${}n$ mit

${}x\leq y_{n}<z\,$

im Widerspruch dazu, dass jedes ${}y_{n}$ eine obere Schranke von ${}M$ ist.
 Für die Supremumseigenschaft müssen wir zeigen, dass ${}x$ kleiner oder gleich jeder oberen Schranke von ${}M$ ist. Es sei dazu ${}u$ eine obere Schranke von ${}M$ und  nehmen wir an, dass ${}x>u$ ist. Da ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}x$ konvergiert, gibt es wieder ein ${}n$ mit

$u<x_{n}\leq x$

im Widerspruch dazu, dass ${}u$ eine obere Schranke ist. Also liegt wirklich das Supremum vor.

$\Box$

Korollar

Eine beschränkte und monotone Folge in ${}\mathbb {R}$

konvergiert.

Beweis

Nach Voraussetzung ist die Folge wachsend und nach oben beschränkt oder fallend und nach unten beschränkt. Nach Lemma 8.5 liegt eine Cauchy-Folge vor, und diese konvergiert in ${}\mathbb {R}$.

$\Box$

Definition

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Eine Folge von abgeschlossenen Intervallen

$I_{n}=[a_{n},b_{n}],\,n\in \mathbb {N} ,$

in ${}K$ heißt eine Intervallschachtelung, wenn ${}I_{n+1}\subseteq I_{n}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also

${\left(b_{n}-a_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },$

gegen ${}0$ konvergiert.

Satz

Es sei ${}I_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine Intervallschachtelung in ${}\mathbb {R}$.

Dann besteht der Durchschnitt

$\bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}$

aus genau einem Punkt

${}x\in \mathbb {R}$.

Eine reelle Intervallschachtelung bestimmt also genau eine reelle Zahl.

Beweis

Siehe Aufgabe 8.10.

$\Box$

Definition

Eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper ${}K$ heißt bestimmt divergent gegen ${}+\infty$, wenn es zu jedem ${}s\in K$ ein ${}N\in \mathbb {N}$ mit

$x_{n}\geq s{\text{ für alle }}n\geq N$

gibt. Sie heißt bestimmt divergent gegen ${}-\infty$, wenn es zu jedem ${}s\in K$ ein ${}N\in \mathbb {N}$ mit

$x_{n}\leq s{\text{ für alle }}n\geq N$

gibt.

Fußnoten

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