Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/40/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	4	2	3	1	3	5	1	5	2	4	4	3	4	9	7	1	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine bijektive Abbildung

   $f\colon M\longrightarrow N.$

2. Die Konvergenz einer reellen Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}x$.
3. Die geometrische Reihe für ${}x\in \mathbb {R}$.
4. Der Kotangens.
5. Ein Vektorraum ${}V$ über einem Körper ${}K$.
6. Der Kern einer linearen Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow W$

   zwischen zwei ${}K$-Vektorräumen ${}V$ und ${}W$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Das Cauchykriterium für Reihen.
2. Der Satz von Rolle.
3. Der Satz über Basiswechsel bei einem Endomorphismus.

Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Es sei ${}T_{n}$, ${}n\in \mathbb {N} _{+}$, eine Familie von Mengen. Wir setzen

${}S_{n}=T_{n}\setminus {\left(\bigcup _{i=1}^{n-1}T_{i}\right)}\,.$

a) Zeige

${}\bigcup _{i=1}^{n}T_{i}=\bigcup _{i=1}^{n}S_{i}\,.$

b) Zeige, dass die Vereinigung ${}\bigcup _{i=1}^{n}S_{i}$ disjunkt ist, dass also

${}S_{n}\cap S_{k}=\emptyset \,$

für ${}n\neq k$ ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Erläutere das Beweisprinzip der vollständigen Induktion.

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige durch Induktion, dass jede natürliche Zahl ${}n\geq 2$ eine Zerlegung in Primzahlen besitzt.

Aufgabe * (1 Punkt)

Eine Termitenkönigin legt ${}36000$ Eier pro Tag und lebt zwanzig Jahre lang (am ${}29$. Februar legt sie keine Eier). Wie viele Eier legt sie in ihrem Leben?

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei

${}x^{2}+px+q=0\,$

eine quadratische Gleichung über einem Körper ${}K$, und es sei ${}r\neq 0$ eine Lösung davon. Zeige, dass auch ${}{\frac {q}{r}}$ eine Lösung der Gleichung ist.

Aufgabe * (5 (2+3) Punkte)

1. Bestimme die Glieder ${}x_{1},x_{2}$ der Heron-Folge zur Berechnung von ${}{\sqrt {3}}$ mit dem Startglied

   ${}x_{0}=1\,.$

2. Finde ganze Zahlen

   ${}a,b\neq 0\,$

   mit

   ${}\vert {a+b{\sqrt {3}}}\vert \leq {\frac {1}{10}}\,.$

Aufgabe (1 Punkt)

Jemand sagt zur Folge ${}x_{n}:={\frac {n}{2n}}$. „Der Zähler und der Nenner gehen hier beide gegen unendlich. Doch der Nenner geht deutlich schneller gegen unendlich, deshalb konvergiert die Folge gegen ${}0$“. Beurteile diese Argumentation.

Aufgabe * (5 Punkte)

Frau Dr. Eisenbeis möchte für ihre Neffen Richy und Franky eine Fahrrad-Sprungrampe basteln. Die Steigung soll entlang eines Kreissegmentes der Länge (alle Angaben in Meter) ${}\ell =1,2$ verlaufen und eine Sprunghöhe von ${}h=0,2$ erreichen (siehe Bild). Welche (implizite) Bedingung muss der Winkel ${}\alpha$ erfüllen (die Bedingung muss so sein, dass sie mit einer Intervallhalbierung gelöst werden könnte, diese muss aber nicht durchgeführt werden)?

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Funktion

${}f(x)={\frac {x^{3}-9x^{2}-x+5}{x^{2}-6x+5}}\,.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}a\in \mathbb {R}$ und seien ${}f,g,h\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ Funktionen. Dabei seien ${}g$ und ${}h$ differenzierbar im Punkt ${}a$ und es gelte ${}g(x)\leq f(x)\leq h(x)$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$. Ferner sei

${}g'(a)=h'(a)\,.$

Zeige, dass auch ${}f$ in ${}a$ differenzierbar ist, und dass

${}f'(a)=g'(a)\,$

gilt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise die Regel von l'Hospital.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\frac {1}{\sinh t}}$

für ${}t>0$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Existenz von Basen in einem endlich erzeugten ${}K$- Vektorraum ${}V$.

Aufgabe * (9 (1+1+6+1) Punkte)

Aus den Rohstoffen ${}R_{1},R_{2}$ und ${}R_{3}$ werden verschiedene Produkte ${}P_{1},P_{2},P_{3},P_{4}$ hergestellt. Die folgende Tabelle gibt an, wie viel von den Rohstoffen jeweils nötig ist, um die verschiedenen Produkte herzustellen (jeweils in geeigneten Einheiten).

	${}R_{1}$	${}R_{2}$	${}R_{3}$
${}P_{1}$	11	5	3
${}P_{2}$	8	4	6
${}P_{3}$	7	30	1
${}P_{4}$	12	0	15

a) Erstelle eine Matrix, die aus einem Vierertupel von Produkten die benötigten Rohstoffe berechnet.

b) Die folgende Tabelle zeigt, wie viel von welchem Produkt in einem Monat produziert werden soll.

	${}P_{1}$	${}P_{2}$	${}P_{3}$	${}P_{4}$
	${}8$	${}5$	${}7$	${}4$

Welche Rohstoffmengen werden dafür benötigt?

c) Die folgende Tabelle zeigt, wie viel von welchem Rohstoff an einem Tag angeliefert wird.

	${}R_{1}$	${}R_{2}$	${}R_{3}$
	${}8$	${}15$	${}7$

Zeige, dass man daraus kein Produkttupel ohne Abfall produzieren kann.

d) Wie viel vom Produkt ${}P_{2}$ kann man mit den unter c) gelieferten Rohstoffen produzieren, wie viel vom Produkt ${}P_{3}$?

Aufgabe * (7 (5+2) Punkte)

Es sei ${}M$ eine ${}m\times n$- Matrix über dem Körper ${}K$ mit dem Rang ${}r$.

1. Zeige, dass es eine ${}r\times n$-Matrix ${}A$ und eine ${}m\times r$-Matrix ${}B$, beide mit dem Rang ${}r$, mit ${}M=B\circ A$ gibt.
2. Sei ${}s<r$. Zeige, dass es nicht möglich ist, ${}M=B\circ A$ mit einer ${}s\times n$-Matrix ${}A$ und einer ${}m\times s$-Matrix ${}B$ zu schreiben.

Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme die Eigenvektoren der Funktion ${}{\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$, ${}x\longmapsto {\mathrm {i} }x$.