Kurs:Mathematik für Anwender/Teil II/14/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	${}\sum$
Punkte	3	3	6	2	6	6	4	6	8	3	8	5	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein Anfangswertproblem auf einer offenen Teilmenge ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ zu einer Funktion

   $f\colon U\longrightarrow \mathbb {R} .$

2. Die Abstandsfunktion auf einem reellen Vektorraum ${}V$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$.
3. Das Wegintegral zu einem stetigen Vektorfeld ${}F\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ längs eines stetig differenzierbaren Weges ${}\gamma \colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$.
4. Die Jacobi-Determinante zu einer total differenzierbaren Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem reellen endlichdimensionalen Vektorraum ${}V$ in einem Punkt ${}P\in V$.

5. Ein isoliertes lokales Minimum einer Funktion

   $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einem metrischen Raum ${}M$.

6. Den Tangentialraum an die Faser einer stetig differenzierbare Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow W$

   zwischen endlichdimensionalen ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräumen durch einen Punkt ${}P\in V$, in dem das totale Differential surjektiv ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über eine Differentialgleichung höherer Ordnung und das zugehörige System erster Ordnung.
2. Das Minorenkriterium für den Typ einer symmetrischen Bilinearform.
3. Der Satz über die Integration einer Funktion über ein ebenes stetig berandetes Gebiet.

Aufgabe * (6 (1+1+4) Punkte)

1. Es sei ${}a>1$ und ${}g(x)=a^{x}$ die Exponentialfunktion zur Basis ${}a$. Zeige, dass es ein ${}w\in \mathbb {R} _{+}$ mit ${}g(x+w)=2g(x)$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$ gibt.
2. Es sei ${}w>0$ vorgeben. Zeige, dass es eine Exponentialfunktion ${}b^{x}$ mit ${}b>1$ und mit

   ${}b^{x+w}=2b^{x}\,$

   für alle ${}x\in \mathbb {R}$ gibt.

3. Man gebe ein Beispiel für eine stetige, streng wachsende Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ mit ${}f(x+1)=2f(x)$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$, die keine Exponentialfunktion ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Kurve

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto f(t)={\left({\frac {\sin t}{t^{2}+1}},e^{\cos t}\right)},$

in jedem Punkt ${}t\in \mathbb {R}$.

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise die Integralabschätzung für stetige Kurven.

Aufgabe * (6 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

$y^{\prime \prime }=3yy'+y^{2}{\text{ mit }}y(0)=0{\text{ und }}y'(0)=2$

durch einen Potenzreihenansatz bis zur vierten Ordnung.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom zweiter Ordnung der Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto f(x,y,z)=e^{x}yz^{2}-xy,$

im Punkt ${}(1,0,-1)$.

Aufgabe * (6 (1+5) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

$[1,2]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto g(t)={\frac {1}{t}}.$

1. Beschreibe den Flächeninhalt zur unteren maximalen Treppenfunktion zu ${}g$ zur Intervallunterteilung ${}1\leq x\leq y\leq 2$ in Abhängigkeit von ${}x$ und ${}y$.
2. Bestimme das Punktepaar ${}(x,y)$ zwischen ${}1$ und ${}2$, für das der Flächeninhalt zur unteren maximalen Treppenfunktion zu ${}g$ zur Intervallunterteilung ${}1\leq x\leq y\leq 2$ maximal wird. Welchen Wert hat dieser Flächeninhalt?

Aufgabe * (8 (1+2+1+3+1) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,\left(x,\,y,\,z\right)\longmapsto xyz.$

1. Bestimme die Jacobi-Matrix zu ${}\varphi$ in einem Punkt ${}\left(x,\,y,\,z\right)$.
2. Bestimme die kritischen Punkte von ${}\varphi$.
3. Bestimme die Hesse-Matrix zu ${}\varphi$ in einem Punkt ${}\left(x,\,y,\,z\right)$.
4. Bestimme die Eigenräume der Hesse-Matrix zu ${}\varphi$ im Punkt ${}\left(1,\,1,\,1\right)$.
5. Bestimme den Typ der Hesse-Form zu ${}\varphi$ im Punkt ${}\left(1,\,1,\,1\right)$ mit Hilfe des Eigenwertkriteriums.

Aufgabe * (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel einer Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,$

das zeigt, dass im Satz über die (lokale) Umkehrbarkeit die Bijektivität im Allgemeinen nur auf echten Teilintervallen besteht.

Aufgabe * (8 Punkte)

Es sei

$F\colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf einer offenen Menge ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ und es sei

${}\rho (P):={\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}(P)-{\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}(P)\,.$

Zeige

${}\rho (P)={\frac {1}{\pi }}\cdot \operatorname {lim} _{\epsilon \rightarrow 0}\,{\frac {1}{\epsilon ^{2}}}\int _{\gamma _{\epsilon }}F\,,$

wobei ${}\gamma _{\epsilon }$ den einmal gegen den Uhrzeigersinn durchlaufenen Kreisweg um ${}P$ mit Radius ${}\epsilon$ bezeichnet.

Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige, dass der Flächeninhalt der Rotationsfläche, die entsteht, wenn man den Graphen

$\Gamma ={\left\{(x,e^{x})\mid x\leq 0\right\}}$

um die ${}x$-Achse rotieren lässt, kleiner als ${}10$ ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei

${}Q=[a_{1},b_{1}]\times [a_{2}\times b_{2}]\times \cdots \times [a_{n},b_{n}]\,$

ein Quader im ${}\mathbb {R} ^{n}$ und sei

${}f=x_{1}^{d_{1}}x_{2}^{d_{2}}\cdots x_{n}^{d_{n}}\,$

ein Monom. Berechne ${}\int _{Q}fd\lambda ^{n}$.