Kurs:Mathematik für Anwender/Teil II/17/Klausur
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | |
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Punkte | 3 | 3 | 6 | 2 | 4 | 8 | 2 | 1 | 3 | 5 | 3 | 5 | 4 | 9 | 2 | 4 | 64 |
Aufgabe * (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Eine gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen.
- Eine Metrik auf einer Menge .
- Eine polynomiale Funktion
- Ein raumartiger Vektor in einem Minkowski-Raum.
- Die partielle Differenzierbarkeit einer Funktion in einem Punkt .
- Ein kritischer Punkt einer
total differenzierbaren
Abbildung
Aufgabe * (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über Folgen und abgeschlossene Mengen in einem metrischen Raum .
- Der Satz über den Lösungsraum eines diagonalisierbaren linearen Differentialgleichungssystems mit konstanten Koeffizienten.
- Das Eigenwertkriterium für eine reell-symmetrische Bilinearform.
Aufgabe * (6 Punkte)
Beweise den Satz über das Lösungsverfahren für Differentialgleichungen mit getrennten Variablen.
Aufgabe * (2 Punkte)
Was bedeutet die Polarisationsformel für ein reelles Skalarprodukt für die Multiplikation von reellen Zahlen?
Aufgabe * (4 Punkte)
Finde ein Polynom der Form
das die Bedingungen
erfüllt.
Aufgabe * (8 (2+4+2) Punkte)
Wir betrachten die differenzierbare Kurve
a) Skizziere das Bild dieser Kurve und den Streckenzug, der sich ergibt, wenn man das Definitionsintervall in vier gleichlange Teilintervalle unterteilt.
b) Berechne die Gesamtlänge des in a) beschriebenen Streckenzugs.
c) Zeige, dass für die Länge dieser Kurve die Abschätzung
gilt.
Aufgabe * (2 Punkte)
Es sei ein Vektorfeld der Form
mit einer stetigen Funktion
gegeben. Die Richtungsvektoren stehen also stets senkrecht zu den Ortsvektoren. Es sei und es sei
eine Lösung zur eindimensionalen Differentialgleichung
Zeige, dass
eine Lösung der Differentialgleichung
ist.
Aufgabe * (1 Punkt)
Bestimme die partielle Ableitung nach der Funktion
Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)
Es sei
- Bestimme die Jacobi-Matrix zu in einem Punkt .
- Zeige, dass im Nullpunkt ein globales Maximum besitzt.
- Zeige, dass im Nullpunkt kein isoliertes Maximum besitzt.
Aufgabe * (5 Punkte)
Es sei
eine zweimal stetig differenzierbare Funktion, wobei eine offene Menge sei. Zeige, dass für und die Beziehung
gilt.
Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)
Wir betrachten die Abbildung
- Bestimme das totale Differential zu in einem beliebigen Punkt.
- Bestimme die regulären Punkte von .
- Wie kann man das Ergebnis aus (2) ohne Rechnung erklären?
Aufgabe * (5 (1+1+3) Punkte)
Der sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen.
- Beschreibe die Menge der Beobachtervektoren in als Faser einer geeigneten Funktion über einer reellen Zahl .
- Zeige, dass die Menge der Beobachtervektoren keine kritischen Punkte enthält.
- Es sei ein Beobachtervektor. Beschreibe eine explizite stetige Bijektion zwischen dem und einer geeigneten Teilmenge der Beobachtermenge , zu der gehören muss.
Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)
Wir betrachten die Abbildung
- Bestimme das totale Differential von in jedem Punkt .
- Zeige, dass
ein regulärer Punkt für ist und bestimme eine Basis für den Tangentialraum an die Faser von in Punkt .
Aufgabe * (9 (1+2+1+5) Punkte)
Es sei
a) Bestimme das zugehörige Gradientenfeld .
b) Beschreibe die Lösungskurven zur zugehörigen Differentialgleichung
zu einer Anfangsbedingung
c) Bestimme in Abhängigkeit von den Ort, wo sich die Lösung zum Zeitpunkt befindet.
d) Wir beschränken uns nun auf Anfangsbedingungen
mit
Für welchen dieser Anfangspunkte ist der Wert von am Ortspunkt der Lösung zum Zeitpunkt extremal?
Aufgabe * (2 Punkte)
Zeige, dass der Schwerpunkt eines Intervalls mit dem arithmetischen Mittel der Intervallgrenzen übereinstimmt.
Aufgabe * (4 Punkte)
Berechne den Flächeninhalt des Bildes des Rechtecks unter der Abbildung