Kurs:Mathematik für Anwender/Teil II/18/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	${}\sum$
Punkte	3	3	9	3	7	4	1	6	7	4	4	4	6	3	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die gewöhnliche Differentialgleichung zu einer Funktion

   $f\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einer offenen Menge ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{2}$.

2. Orthogonale Vektoren ${}v,w\in V$ in einem reellen Vektorraum ${}V$ mit Skalarprodukt.
3. Die Differenzierbarkeit einer Funktion

   $f\colon I\longrightarrow V$

   in einem Punkt ${}t\in I$, wobei ${}I$ ein Intervall und ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum ist.

4. Ein Fundamentalsystem von Lösungen eines homogenen linearen Differentialgleichungssystems mit konstanten Koeffizienten.
5. Die Faser zu einer Abbildung

   $\varphi \colon L\longrightarrow M$

   über einem Punkt ${}x\in M$.

6. Eine sternförmige Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über das Verhalten der Gramschen Matrizen zu einer Bilinearform bei einem Basiswechsel.
2. Die Kettenregel zu zwei total differenzierbaren Abbildungen

   $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$

   und

   $g\colon \mathbb {R} ^{m}\longrightarrow \mathbb {R} ^{k}$

   in einem Punkt ${}P\in \mathbb {R} ^{n}$.
3. Der Satz über den Zusammenhang von Anfangswertproblemen und Integralgleichungen.

Aufgabe * (9 (3+3+3) Punkte)

a) Es sei

$f\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

ein nullstellenfreies Vektorfeld, d.h. ${}f(t,y)\neq 0$ für alle ${}(t,y)\in \mathbb {R} ^{2}$. Zeige, dass jede Lösungskurve zur Differentialgleichung

${}y'=f(t,y)\,$

injektiv ist.

b) Es sei ${}f$ nun ein zeitunabhängiges Vektorfeld. Zeige, dass ${}f$ genau dann nullstellenfrei ist, wenn jede Lösungskurve injektiv ist.

c) Man gebe ein Beispiel für ein Vektorfeld, das nicht nullstellenfrei ist, für das aber jede Lösungskurve injektiv ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}z\in {\mathbb {C} }$ eine komplexe Zahl mit ${}\vert {z}\vert <1$. Zeige, dass die Folge ${}{\left(z^{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}0$ konvergiert.

Aufgabe * (7 (1+1+2+3) Punkte)

Es sei ein quadratischer Billardtisch ohne Löcher mit einer Seitenlänge von einem Meter gegeben, darauf bewegt sich eine punktförmige Kugel ohne Bremswirkung nach dem Reflexionsprinzip „Einfallswinkel ist gleich Ausfallswinkel“.

1. Beschreibe durch eine Skizze (inklusive Winkel oder Punktkoordinaten) eine periodische Bewegung, bei der zwei Randpunkte getroffen werden.
2. Beschreibe durch eine Skizze (inklusive Winkel oder Punktkoordinaten) eine periodische Bewegung, bei der vier Randpunkte getroffen werden.
3. Beschreibe durch eine Skizze (inklusive Winkel oder Punktkoordinaten) eine periodische Bewegung, bei der acht Randpunkte getroffen werden.
4. Zeige, dass es keine periodische Bewegung gibt, bei der drei Randpunkte getroffen werden.

Aufgabe * (4 Punkte)

Löse die Differentialgleichung

${}y^{\prime \prime }-y=e^{t}\,.$

Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme die partielle Ableitung nach ${}w$ der Funktion

${}{\begin{aligned}f(x,y,z,u,v,w)&=e^{x^{2}-yv}-\sin \left(v-\cos u^{2}\right)+w^{2}-17x^{13}z^{11}+{\sqrt[{3}]{u^{2}+v^{2}+3}}\\\,\end{aligned}}$

Aufgabe * (6 (1+1+3+1) Punkte)

Der ${}\mathbb {R} ^{4}$ sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen.

1. Beschreibe den Lichtkegel in ${}\mathbb {R} ^{4}$ als Faser ${}Y=f^{-1}(0)$ einer geeigneten Funktion ${}f\colon \mathbb {R} ^{4}\rightarrow \mathbb {R}$ über ${}0\in \mathbb {R}$.
2. Zeige, dass der Nullpunkt der einzige kritische Punkt des Lichtkegels ist.
3. Es sei ${}P\in Y$ ein Punkt ${}\neq 0$ des Lichtkegels und ${}v\in T_{P}Y\subseteq \mathbb {R} ^{4}$ ein Tangentenvektor in ${}P$ an der Faser, der zugleich selbst lichtartig sei. Zeige, dass ${}P+v$ ebenfalls lichtartig ist.
4. Zeige, dass man in (3) nicht auf die Bedingung verzichten kann, dass ${}v$ selbst lichtartig ist.

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Bestimmung von Extrema mit der Hesse-Matrix.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und

$\varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine stetig differenzierbare Abbildung. Zeige, dass die Menge der regulären Punkte von ${}\varphi$ offen ist.

Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Wir betrachten das Vektorfeld

$G\colon \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} _{>0}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(x,y,z)\longmapsto \left(ye^{xy}+\ln z,\,xe^{xy}-2yz,\,{\frac {x}{z}}-y^{2}\right).$

a) Zeige mit Hilfe der Integrabilitätsbedingung, dass ${}G$ ein Gradientenfeld ist.

b) Bestimme ein Potential zu ${}G$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme für das Anfangswertproblem

$y^{\prime }=y{\text{ mit }}y(0)=1$

explizite Formeln für die Picard-Lindelöf-Iterationen.

Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei ${}Z$ der Zylinder um die ${}x$-Achse und ${}W$ der Zylinder um die ${}z$-Achse, beide zum Radius ${}1$. Bestimme das Volumen des Durchschnitts ${}Z\cap W$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien ${}S,T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ kompakte Teilmengen mit positivem Volumen derart, dass ihr Durchschnitt ${}S\cap T$ das Volumen ${}0$ besitze. Es sei ${}P$ der Schwerpunkt von ${}S$ und ${}Q$ der Schwerpunkt von ${}T$. Zeige, dass der Schwerpunkt der Vereinigung ${}S\cup T$ durch

${\frac {\lambda ^{n}(S)}{\lambda ^{n}(S)+\lambda ^{n}(T)}}P+{\frac {\lambda ^{n}(T)}{\lambda ^{n}(S)+\lambda ^{n}(T)}}Q$

gegeben ist.