Kurs:Mathematik für Anwender/Teil II/8/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	4	5	4	4	3	5	5	3	4	4	2	4	4	4	3	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine homogene lineare eindimensionale gewöhnliche Differentialgleichung.
2. Eine offene Menge in einem metrischen Raum ${}M$.
3. Eine symmetrische Bilinearform auf einem reellen Vektorraum ${}V$.
4. Ein Zentralfeld

   $F\colon \mathbb {R} \times V\longrightarrow V$

   auf einem reellen endlichdimensionalen Vektorraum ${}V$.

5. Die partielle Differenzierbarkeit einer Funktion ${}f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ in einem Punkt ${}P=\left(a_{1},\,\ldots ,\,a_{n}\right)\in \mathbb {R} ^{n}$.
6. Das Gradientenfeld zu einer differenzierbaren Funktion

   $f\colon V\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einem euklidischen Vektorraum ${}V$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die Abschätzung von Cauchy-Schwarz (oder Ungleichung von Cauchy-Schwarz).
2. Der Satz über den Zusammenhang von totaler Differenzierbarkeit und Richtungsableitung für eine Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow W$

   in einem Punkt

   ${}P\in V$.
3. Der Satz über die Beziehung zwischen der Definitheit der Hesse-Form und Extrema einer Funktion

   $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

   in einem Punkt ${}P\in \mathbb {R} ^{n}$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

$y'=y^{3}\sin t{\text{ mit }}y(0)={\frac {1}{2}}.$

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise den Satz über das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren für einen euklidischen Vektorraum ${}V$.

Aufgabe * (4 (1+1+1+1) Punkte)

Wir betrachten die Funktionen

$B_{0}(t)=(1-t)^{2},\,B_{1}(t)=2t(1-t){\text{ und }}B_{2}(t)=t^{2}.$

Es seien ${}v_{0},v_{1},v_{2}\in \mathbb {R} ^{n}$ drei Vektoren. Wir definieren die Kurve

${}f(t):=B_{0}(t)v_{0}+B_{1}(t)v_{1}+B_{2}(t)v_{2}\,.$

a) Berechne ${}f(0)$ und ${}f(1)$.

b) Berechne ${}f'(t)$.

c) Zeige, dass ${}f'(0)$ ein Vielfaches von ${}v_{1}-v_{0}$ und ${}f'(1)$ ein Vielfaches von ${}v_{2}-v_{1}$ ist.

d) Skizziere für ${}v_{0}=(0,1)$, ${}v_{1}=(1,1)$ und ${}v_{2}=(2,0)$ das Bild der Kurve ${}f(t)$ für ${}0\leq t\leq 1$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei

$F\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

ein stetiges Vektorfeld, wobei die ${}i$-te Komponente nur von der ${}i$-ten Variabeln abhängen möge. Es sei

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow U$

ein stetig differenzierbarer Weg. Zeige, dass das Wegintegral ${}\int _{\gamma }F$ nur von ${}\gamma (a)$ und ${}\gamma (b)$ abhängt.

Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

a) Zeige, dass die archimedischen Spiralen

$\mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \left(at\cos \left(t+t_{0}\right),\,at\sin \left(t+t_{0}\right)\right),$

(zu fixierten $a,t_{0}\in \mathbb {R}$) Lösungskurven für die Differentialgleichung (bei ${}t>0$)

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}-y+{\frac {x}{t}}\\x+{\frac {y}{t}}\end{pmatrix}}\,$

sind.

b) Man gebe eine Lösung für das Anfangswertproblem

${}v{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}={\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}\,$

zu dieser Differentialgleichung an.

Aufgabe * (5 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

$y^{\prime \prime }=y'y+\sin t{\text{ mit }}y(0)=0{\text{ und }}y'(0)=1$

mit einem Potenzreihenansatz bis zur Ordnung ${}5$.

Aufgabe * (5 Punkte)

Der ${}\mathbb {R} ^{2}$ sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass zu ${}z\in \mathbb {R}$, ${}z\neq 0$, die Vektoren

${\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}z-{\frac {1}{z}}\\z+{\frac {1}{z}}\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}-z+{\frac {1}{z}}\\z+{\frac {1}{z}}\end{pmatrix}}$

Geschwindigkeitsvektoren eines Beobachters sind. Zeige, dass jeder Beobachtervektor diese Gestalt besitzt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Richtungsableitung von

${}f(x,y)=x^{3}+x^{2}y-y^{5}\,$

im Punkt ${}(4,-1)$ in Richtung ${}(-3,2)$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige für Polynomfunktionen

$f\colon {\mathbb {R} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {R} }$

direkt, dass

${}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}={\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\,$

gilt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Untersuche die Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}+xy-6y^{2}-y,$

auf kritische Punkte und Extrema.

Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion.

a) Realisiere den Graphen von ${}f$ als Faser zu einer Abbildung

$\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$

über ${}0$.

b) Es sei ${}f$ stetig differenzierbar. Zeige, dass die Punkte auf dem Graphen von ${}f$ regulär sind.

Aufgabe * (4 (1+1+2) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,\left(x,\,y,\,z\right)\longmapsto y\ln x-3xz^{2}.$

1. Bestimme das totale Differential von ${}\varphi$ in jedem Punkt ${}\left(x,\,y,\,z\right)$.
2. Bestimme die kritischen Punkte von ${}\varphi$.
3. Bestimme eine Basis für den Tangentialraum an die Faser von ${}\varphi$ durch den Punkt ${}\left(1,\,0,\,-3\right)$.

Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Wir betrachten das Vektorfeld

$G\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(x,y,z)\longmapsto \left(y-\cos \left(x+z\right),\,x,\,2z-\cos \left(x+z\right)\right).$

a) Zeige mit Hilfe der Integrabilitätsbedingung, dass ${}G$ ein Gradientenfeld ist.

b) Bestimme ein Potential zu ${}G$.

Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Eine Bratpfanne hat einen Durchmesser von ${}30$ cm und wird mit Öl und mit ${}25$ kreisrunden Bratkartoffeln überschneidungsfrei bedeckt, die alle einen Durchmesser von ${}4$ cm und eine Höhe von ${}0{,}5$ cm haben. Das Öl bildet unterhalb der Bratkartoffeln einen dünnen Ölfilm von ${}0{,}1$ mm Höhe und erreicht in den Zwischenräumen eine Höhe von ${}1$ mm.

a) Wie viel Öl befindet sich in der Pfanne (rechne mit ${}\pi =3{,}14$; Einheit nicht vergessen)?

b) Welche maßtheoretischen Gesetzmäßigkeiten wurden bei der Berechnung von a) verwendet?

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme das Integral zur Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}-xy+2y^{3},$

über dem Rechteck ${}Q=[-2,1]\times [0,2]$.