Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 11/kontrolle
- Aufwärmaufgaben
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme explizit den Spaltenrang und den Zeilenrang der Matrix
Beschreibe lineare Abhängigkeiten (falls solche existieren) zwischen den Zeilen als auch zwischen den Spalten der Matrix.
Aufgabe Aufgabe 11.2 ändern
Zeige, dass sich bei elementaren Zeilenumformungen der Spaltenrang nicht ändert.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Berechne die Determinante der Matrix
Aufgabe Referenznummer erstellen
Berechne die Determinante der Matrix
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige durch Induktion, dass bei einer oberen Dreiecksmatrix die Determinante gleich dem Produkt der Diagonalelemente ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Überprüfe die Multilinearität und die Eigenschaft, alternierend zu sein, direkt für die Determinante von - Matrizen.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine quadratische Matrix, die man als
mit quadratischen Matrizen und schreiben kann. Zeige
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Man begründe anhand des Bildes, dass zu zwei Vektoren und die Determinante der durch die Vektoren definierten -Matrix mit dem Flächeninhalt des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms (bis auf das Vorzeichen) übereinstimmt.
Aufgabe Aufgabe 11.10 ändern
Zeige, dass man die Determinante nach jeder Zeile und nach jeder Spalte entwickeln kann.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper und . Zeige, dass das Transponieren von Matrizen folgende Eigenschaften besitzt (dabei seien , und .).
- .
- .
- .
- .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Man berechne die Determinante der Matrix
indem man die Matrix nach allen Spalten und nach allen Zeilen entwickle.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Berechne die Determinanten aller -Matrizen, bei denen in jeder Spalte und in jeder Zeile genau einmal und zweimal steht.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei und
die zugehörige Multiplikation. Bestimme die Determinante dieser Abbildung, wenn man sie als reell-lineare Abbildung auffasst.
Die nächsten Aufgaben verwenden die folgende Definition.
Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Zu heißt die lineare Abbildung
die Streckung (oder Homothetie) zum Streckungsfaktor .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Was ist die Determinante einer Streckung auf einem endlichdimensionalen - Vektorraum ?
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestätige den Determinantenmultiplikationssatz für zwei Streckungen auf einem endlichdimensionalen Vektorraum.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestätige den Determinantenmultiplikationssatz für die beiden Matrizen
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)Aufgabe 11.17 ändern
Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über der Dimension bzw. . Es sei
eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix beschrieben werde. Zeige, dass
gilt.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Berechne die Determinante der Matrix
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Berechne die Determinante der Matrix
Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Berechne die Determinanten der Elementarmatrizen.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestätige den Determinantenmultiplikationssatz für die beiden Matrizen
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