Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Vorlesung 9/latex
\setcounter{section}{9}
\zwischenueberschrift{Lineare Abbildungen}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über $K$.
Eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
heißt \definitionswort {lineare Abbildung}{,} wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.
\aufzaehlungzwei {
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(u+v)
}
{ = }{ \varphi(u) + \varphi(v)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u,v
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
} {
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi( s v)
}
{ = }{ s \varphi(v)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mathkor {} {s \in K} {und} {v \in V} {.}
}
}
Die erste Eigenschaft nennt man dabei die \stichwort {Additivität} {} und die zweite Eigenschaft die \stichwort {Verträglichkeit mit Skalierung} {.} Wenn man den Grundkörper betonen möchte spricht man von
\mathl{K}{-}Linearität. Die Identität
\maabb {\operatorname{Id}_{ V }} {V} {V
} {,}
die Nullabbildung
\maabb {} {V} {0
} {}
und die Inklusionen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
von Untervektorräumen sind die einfachsten Beispiele für lineare Abbildungen.
\inputbeispiel{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $K^n$ der $n$-\definitionsverweis {dimensionale}{}{} \definitionsverweis {Standardraum}{}{.} Dann ist die $i$-te \stichwort {Projektion} {,} also die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {K^n} {K } { \left( x_1 , \, \ldots , \, x_{i-1} , \, x_i , \, x_{i+1} , \, \ldots , \, x_n \right) } {x_i } {,} eine $K$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Dies folgt unmittelbar aus der komponentenweisen Addition und Skalarmultiplikation auf dem Standardraum. Die $i$-te Projektion heißt auch die $i$-te \stichwort {Koordinatenfunktion} {.}
}
{Lineare Abbildung/Verknüpfung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und seien
\mathl{U,V,W}{} \definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über $K$. Es seien
\mathdisp {\varphi : U \longrightarrow V \text{ und } \psi : V \longrightarrow W} { }
\definitionsverweis {lineare Abbildungen}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist auch die
\definitionsverweis {Verknüpfung}{}{}
\maabbdisp {\psi \circ \varphi} { U} {W
} {}
eine lineare Abbildung.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 9.7. }
{Lineare Abbildung/Bijektiv/Umkehrabbildung linear/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
zwei
$K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {bijektive}{}{}
\definitionsverweis {lineare}{}{}
\definitionsverweis {Abbildung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist auch die
\definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi^{-1}} {W} {V
} {}
\definitionsverweis {linear}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 10.3. }
\zwischenueberschrift{Festlegung auf einer Basis}
Hinter der folgenden Aussage (dem \stichwort {Festlegungssatz} {}) steckt das wichtige Prinzip, dass in der linearen Algebra \zusatzklammer {von endlichdimensionalen Vektorräumen} {} {} die Objekte durch endlich viele Daten bestimmt sind.
\inputfaktbeweis
{Lineare Abbildung/Festlegung auf Basis/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über $K$. Es sei
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
eine endliche
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$ und es seien
\mathbed {w_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} Elemente in $W$.}
\faktfolgerung {Dann gibt es genau eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {f} {V} {W
} {} mit
\mathdisp {f(v_i)= w_i \text { für alle } i \in I} { . }
}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Da
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(v_i)
}
{ = }{w_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sein soll und eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
für jede
\definitionsverweis {Linearkombination}{}{}
die Eigenschaft
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f { \left( \sum_{i \in I} s_i v_i \right) }
}
{ =} { \sum_{i \in I} s_i f { \left( v_i \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllt, und jeder Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sich als eine solche Linearkombination schreiben lässt, kann es maximal nur eine solche lineare Abbildung geben.}
{} \teilbeweis {}{}{}
{Wir definieren nun umgekehrt eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbdisp {f} {V} {W
} {,}
indem wir jeden Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der gegebenen Basis als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v
}
{ =} {\sum_{i \in I} s_i v_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
schreiben
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(v)
}
{ \defeq} { \sum_{i \in I} s_i w_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ansetzen. Da die Darstellung von $v$ als eine solche
\definitionsverweis {Linearkombination}{}{}
eindeutig ist, ist diese Abbildung wohldefiniert.}
{}
\teilbeweis {Zur Linearität.\leerzeichen{}}{}{}
{Für zwei Vektoren
\mathkor {} {u= \sum_{i \in I} s_iv_i} {und} {v= \sum_{i \in I} t_iv_i} {}
gilt
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ f { \left( u+v \right) }
}
{ =} { f { \left( { \left( \sum_{i \in I} s_iv_i \right) } + { \left( \sum_{i \in I} t_iv_i \right) } \right) }
}
{ =} { f { \left( \sum_{i \in I} { \left( s_i + t_i \right) } v_i \right) }
}
{ =} { \sum_{i \in I} (s_i + t_i) f { \left( v_i \right) }
}
{ =} { \sum_{i \in I} s_i f { \left( v_i \right) } + \sum_{i \in I} t_i f(v_i)
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { f { \left( \sum_{i \in I} s_iv_i \right) } + f { \left( \sum_{i \in I} t_iv_i \right) }
}
{ =} { f(u) +f(v)
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation ergibt sich ähnlich, siehe
Aufgabe 9.6.}
{}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Variables proporcionals.png} }
\end{center}
\bildtext {Der Funktionsgraph einer linearen Abbildung von $\R$ nach $\R$, die Abbildung ist allein durch den Proportionalitätsfaktor $k$ festgelegt.} }
\bildlizenz { Variables proporcionals.png } {} {Coronellian} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
\inputbeispiel{}
{
Die einfachsten
\definitionsverweis {linearen Abbildungen}{}{}
sind
\zusatzklammer {neben der Nullabbildung} {} {}
diejenigen von $K$ nach $K$. Eine solche lineare Abbildung
\maabbeledisp {\varphi} {K} {K
} {x} {\varphi(x)
} {,}
ist aufgrund von
Satz 9.5
bzw. direkt aufgrund der Definition durch
\mathl{\varphi(1)}{} bzw. durch den Wert
\mathl{\varphi(t)}{} für ein einziges
\mathbed {t \in K} {}
{t \neq 0} {}
{} {} {} {,}
festgelegt. Es ist also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(x)
}
{ = }{ ax
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einem eindeutig bestimmten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Insbesondere im physikalischen Kontext, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist und wenn zwischen zwei messbaren Größen ein linearer Zusammenhang besteht, spricht man von \stichwort {Proportionalität} {,} und $a$ heißt der \stichwort {Proportionalitätsfaktor} {.} In der Schule tritt die lineare Beziehung zwischen zwei skalaren Größen als \anfuehrung{Dreisatz}{} auf.
}
\zwischenueberschrift{Lineare Abbildungen und Matrizen}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Some_linear_maps_kpv_without_eigenspaces.svg} }
\end{center}
\bildtext {Die Wirkungsweise von verschiedenen linearen Abbildungen des $\R^2$ in sich, dargestellt an einer Gehirnzelle.} }
\bildlizenz { Some linear maps kpv without eigenspaces.svg } {} {Dividuum} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
Eine lineare Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {K^n} {K^m
} {}
ist durch die Bilder
\mathbed {\varphi(e_j)} {}
{j = 1 , \ldots , n} {}
{} {} {} {,}
der Standardvektoren eindeutig festgelegt, und jedes
\mathl{\varphi(e_j)}{} ist eine Linearkombination
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(e_j)
}
{ =} { \sum_{i = 1}^m a_{ij} e_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und damit durch die Elemente
\mathl{a_{ij}}{} eindeutig festgelegt. Insgesamt ist also eine solche lineare Abbildung durch $mn$ Elemente
\mathbed {a_{ij}} {}
{1 \leq i \leq m} {}
{1 \leq j \leq n} {} {} {,}
festgelegt. Eine solche Datenmenge kann man wieder als Matrix schreiben. Nach
dem Festlegungssatz
gilt dies, sobald sowohl im Definitionsraum als auch im Zielraum der linearen Abbildung eine Basis fixiert ist.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $V$ ein
$n$-\definitionsverweis {dimensionaler}{}{} \definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ v }
}
{ = }{ v_1 , \ldots , v_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei $W$ ein $m$-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ w }
}
{ = }{ w_1 , \ldots , w_m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zu einer
\definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
heißt die
$m \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} {M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } ( \varphi)
}
{ =} { (a_{ij})_{ij}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei
\mathl{a_{ij}}{} die $i$-te
\definitionsverweis {Koordinate}{}{}
von
\mathl{\varphi(v_j )}{} bezüglich der Basis $\mathfrak{ w }$ ist, die \definitionswort {beschreibende Matrix zu}{} $\varphi$ bezüglich der Basen.
Zu einer Matrix
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ (a_{ij})_{ij}
}
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ m \times n } (K)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt die durch
\mathdisp {v_j \longmapsto \sum_{ i = 1 }^{ m } a_{ij} w_i} { }
gemäß
Satz 9.5
definierte lineare Abbildung
\mathl{\varphi^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } (M)}{} die \definitionswort {durch}{} $M$ \definitionswort {festgelegte lineare Abbildung}{.}
}
Die Identität auf einem Vektorraum der Dimension $n$ wird bezüglich einer beliebigen Basis durch die Einheitsmatrix beschrieben.
\inputfaktbeweisnichtvorgefuehrt
{Lineare Abbildung/Matrix zu Basen/Korrespondenz/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $V$ ein
$n$-\definitionsverweis {dimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ v }
}
{ = }{ v_1 , \ldots , v_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei $W$ ein $m$-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ w }
}
{ = }{ w_1 , \ldots , w_m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann sind die in
Definition 9.7
festgelegten Abbildungen
\mathdisp {\varphi \longmapsto M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } ( \varphi) \text{ und } M \longmapsto \varphi^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } (M)} { }
\definitionsverweis {invers}{}{}
zueinander.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir zeigen, dass beide Hintereinanderschaltungen die Identität sind. \teilbeweis {}{}{}
{Wir starten mit einer Matrix
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{ { \left( a_{ij} \right) }_{ij}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und betrachten die Matrix
\mathdisp {M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } }( \varphi^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } }(M) )} { . }
Zwei Matrizen sind gleich, wenn für jedes Indexpaar
\mathl{(i,j)}{} die Einträge übereinstimmen. Es ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{(M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } }( \varphi^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } }(M) ))_{ij}
}
{ =} { i-\text{te Koordinate von } ( \varphi^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } }(M)) (v_j)
}
{ =} { i-\text{te Koordinate von } \sum_{ i = 1 }^{ m } a_{ij} w_i
}
{ =} {a_{ij}
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei nun $\varphi$ eine lineare Abbildung, und betrachten wir
\mathdisp {\varphi^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } }( M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } }(\varphi) )} { . }
Zwei lineare Abbildungen stimmen nach
Satz 9.5
überein, wenn man zeigen kann, dass sie auf der Basis
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} übereinstimmen. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (\varphi^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } }( M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } }(\varphi) ))(v_j)
}
{ =} { \sum_{ i = 1 }^{ m } (M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } (\varphi))_{ij} \, w_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dabei ist nach Definition der Koeffizient
\mathl{(M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } (\varphi))_{ij}}{} die $i$-te Koordinate von
\mathl{\varphi(v_j)}{} bezüglich der Basis
\mathl{w_1 , \ldots , w_m}{.} Damit ist diese Summe gleich
\mathl{\varphi(v_j)}{.}}
{}
\inputbeispiel{}
{
Eine lineare Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {K^n} {K^m
} {}
wird zumeist durch die Matrix $M$ bezüglich der
\definitionsverweis {Standardbasen}{}{}
links und rechts beschrieben. Das Ergebnis der Matrixmultiplikation
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} y_{1 } \\ \vdots\\ y_{ m } \end{pmatrix}
}
{ =} {M \begin{pmatrix} x_{1 } \\ \vdots\\ x_{ n } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist dann direkt als Punkt in $K^m$ interpretierbar. Die $j$-te Spalte von $M$ ist das Bild des $j$-ten Standardvektors $e_j$.
}
\zwischenueberschrift{Untervektorräume unter linearen Abbildungen}
{Lineare Abbildung/Bild und Urbild/Untervektorräume/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
seien
$K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
sei eine
$K$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungvier{Für einen
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist auch das
\definitionsverweis {Bild}{}{}
\mathl{\varphi(S) ={ \left\{ \varphi(v) \mid v \in S \right\} }}{} ein Untervektorraum von $W$.
}{Insbesondere ist das Bild
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{bild} \varphi
}
{ = }{ \varphi(V)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Abbildung ein Untervektorraum von $W$.
}{Für einen Untervektorraum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ W
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist das
\definitionsverweis {Urbild}{}{}
\mathl{\varphi^{-1}(T) ={ \left\{ v \in V \mid \varphi(v) \in W \right\} }}{} ein Untervektorraum von $V$.
}{Insbesondere ist
\mathl{\varphi^{-1}(0)}{} ein Untervektorraum von $V$.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 9.10. }
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
seien
$K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
sei eine
$K$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Dann nennt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ \defeq} { \varphi^{-1}(0)
}
{ =} { { \left\{ v \in V \mid \varphi(v) = 0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
den \definitionswort {Kern}{} von $\varphi$.
}
Der Kern ist also nach der obigen Aussage ein Untervektorraum von $V$.
Wichtig ist das folgende \stichwort {Injektivitätskriterium} {.}
\inputfaktbeweis
{Lineare Abbildung/Kern/Injektivität/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
seien
$K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
sei eine
$K$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $\varphi$ genau dann
\definitionsverweis {injektiv}{}{,}
wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Wenn die Abbildung injektiv ist, so kann es neben
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
keinen weiteren Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(v)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
geben. Also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi^{-1}(0)
}
{ = }{ \{ 0 \}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei umgekehrt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1,v_2
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(v_1)
}
{ = }{ \varphi(v_2)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist wegen der Linearität
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(v_1 - v_2)
}
{ =} {\varphi(v_1) - \varphi(v_2)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1-v_2
}
{ \in }{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und damit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v_1
}
{ = }{v_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
{}
\zwischenueberschrift{Die Dimensionsformel}
Die folgende Aussage heißt \stichwort {Dimensionsformel} {.}
\inputfaktbeweis
{Lineare Abbildung/Dimensionsformel/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
seien
$K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
sei eine
$K$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} und}
\faktvoraussetzung {$V$ sei endlichdimensional.}
\faktfolgerung {Dann gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \dim_{ K } { \left( V \right) }
}
{ =} { \dim_{ K } { \left( \operatorname{kern} \varphi \right) } + \dim_{ K } { \left( \operatorname{bild} \varphi \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ \dim_{ K } { \left( V \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ = }{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Kern}{}{}
der Abbildung und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ = }{ \dim_{ K } { \left( U \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
seine
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
\zusatzklammer {$k \leq n$} {} {.}
Es sei
\mathdisp {u_1 , \ldots , u_k} { }
eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $U$.
Aufgrund des Basisergänzungssatzes
gibt es Vektoren
\mathdisp {v_1 , \ldots , v_{n-k }} { }
derart, dass
\mathdisp {u_1 , \ldots , u_k, \, v_1 , \ldots , v_{n-k }} { }
eine Basis von $V$ ist. \teilbeweis {Wir behaupten, dass
\mathdisp {w_j = \varphi(v_j), \, j=1 , \ldots , n-k} { , }
eine Basis des Bildes ist.\leerzeichen{}}{}{}
{Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ \in }{ W
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Element des Bildes
\mathl{\varphi(V)}{.} Dann gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(v)
}
{ = }{ w
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dieses $v$ lässt sich mit der Basis als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v
}
{ =} { \sum_{i = 1}^{ k } s_i u_i + \sum_{ j = 1 }^{ n-k } t_j v_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
schreiben. Dann ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{w
}
{ =} { \varphi(v)
}
{ =} { \varphi { \left( \sum_{i=1}^{ k } s_i u_i + \sum_{j = 1}^{n-k } t_j v_j \right) }
}
{ =} { \sum_{i = 1}^{ k } s_i \varphi(u_i) + \sum_{j = 1}^{n- k } t_j \varphi (v_j)
}
{ =} { \sum_{j = 1}^{n-k } t_j w_j
}
}
{}
{}{,}
sodass sich $w$ als
\definitionsverweis {Linearkombination}{}{}
der $w_j$ schreiben lässt.
\teilbeweis {}{}{}
{Zum Beweis der
\definitionsverweis {linearen Unabhängigkeit}{}{}
der
\mathbed {w_j} {}
{j=1 , \ldots , n-k} {}
{} {} {} {,}
sei eine Darstellung der Null gegeben,
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 0
}
{ =} { \sum_{j = 1}^{n-k } t_j w_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi { \left( \sum_{j = 1}^{n-k } t_j v_j \right) }
}
{ =} { \sum_{j = 1}^{n-k } t_j \varphi { \left( v_j \right) }
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Also gehört
\mathl{\sum_{j=1}^{n-k } t_j v_j}{} zum Kern der Abbildung und daher kann man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{ j = 1 }^{n-k } t_j v_j
}
{ =} { \sum_{ i = 1 }^{ k } s_i u_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
schreiben. Da insgesamt eine Basis von $V$ vorliegt, folgt, dass alle Koeffizienten $0$ sein müssen, also sind insbesondere
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t_j
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
{}}
{}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
seien
$K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
sei eine
$K$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} und $V$ sei endlichdimensional. Dann nennt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{rang} \, \varphi
}
{ \defeq} { \dim_{ K } { \left( \operatorname{bild} \varphi \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
den \definitionswort {Rang}{} von $\varphi$.
}
Die Dimensionsformel kann man auch als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{dim}_{ } { \left( V \right) }
}
{ =} { \operatorname{dim}_{ } { \left( \operatorname{kern} \varphi \right) } + \operatorname{rang} \, \varphi
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ausdrücken.
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die durch die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 1 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebene
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\varphi} {\R^3} {\R^4
} {\begin{pmatrix} x \\y\\ z \end{pmatrix}} {M\begin{pmatrix} x \\y\\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y+z \\2y+2z\\ x+3y+4z\\2x+4y+6z \end{pmatrix}
} {.}
Zur Bestimmung des
\definitionsverweis {Kerns}{}{}
müssen wir das
\definitionsverweis {homogene lineare Gleichungssystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} y+z \\2y+2z\\ x+3y+4z\\2x+4y+6z \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 0\\0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
lösen. Der Lösungsraum ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{L
}
{ =} { { \left\{ s \begin{pmatrix} 1 \\1\\ -1 \end{pmatrix} \mid s \in \R \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und dies ist der Kern von $\varphi$. Der Kern ist also eindimensional und daher ist die Dimension des Bildes nach
der Dimensionsformel
gleich $2$.
}
\inputfaktbeweis
{Vektorraum/Endlichdimensional/Injektiv surjektiv bijektiv/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über $K$ der gleichen
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
$n$. Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $\varphi$ genau dann
\definitionsverweis {injektiv}{}{,}
wenn $\varphi$
\definitionsverweis {surjektiv}{}{}
ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt aus der Dimensionsformel und Lemma 9.12.
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