Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil II/Geführte Bewegung

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Es sei eine differenzierbare Funktion, wir stellen uns ihren Graphen als ein Profil vor, auf dem sich ein Massekörper (ein Teilchen) unter der konstanten Schwerkraft bewegt (ohne Reibungsverlust), man spricht von einer geführten Bewegung. Die Schwerkraft wirkt nach unten, für die Beschleunigung in Richtung der -Achse ist aber nur die zum Graphen tangentiale Komponente des Kraftvektors verantwortlich. Der Kraftvektor ist also für jeden Punkt zu zerlegen in einen zur Tangente parallelen Anteil und einen dazu senkrechten Anteil (letzterer beschreibt die Kraft, die entgegengesetzt aufgewendet werden muss, damit die Bewegung in der vorgegebenen Bahn bleibt, sie ist für das Folgende unerheblich). Dieses Kräftedreieck ist ähnlich zum Steigungsdreieck der Funktion in . Im Steigungsdreieck ist die Länge der horizontalen Komponente gleich , die Länge der vertikalen Komponente gleich und die Hypotenuse hat die Länge (mit dem Steigungswinkel ist .). Im Kräftedreieck ist die Länge der Hypotenuse gleich , und wegen der Ähnlichkeit (Stichwort Strahlensatz) ergibt sich für die Stärke der tangentialen Kraft die Beziehung

Vektoriell handelt es sich um die Kraft

(berechne dessen Norm). Diese durch das Kraftfeld auf ein Teilchen auf der vorgegebenen Bahn (dem Graphen) wirkende tangentiale Beschleunigung muss mit der tangentialen Beschleunigung der Teilchenbewegung übereinstimmen. Diese wird durch die folgende Aussage beschrieben.



Lemma  

Es sei ein Intervall und eine zweimal differenzierbare Kurve in einem euklidischen Vektorraum mit für alle .

Dann ist die tangentiale Beschleunigung gleich

Beweis  

Wegen ist dieser Vektor Teil einer Orthogonalbasis von , sei zusammen mit eine Orthogonalbasis. Es gibt eine eindeutige Darstellung

und ist die tangentiale Komponente. Aus

folgt die Behauptung.


Für die Norm der tangentialen Beschleunigung gilt auch die Beschreibung

siehe Aufgabe 38.18.



Lemma  

Es sei ein reelles Intervall und eine zweimal differenzierbare Funktion.

Dann genügt eine Funktion

die die horizontale Komponente einer Bewegung eines Masseteilchens auf dem Graphen von beschreibt, die durch die konstante vertikale Schwerkraft hervorgerufen wird, der Differentialgleichung

Beweis  

Die auf das Teilchen wirkende tangentiale Kraft ist gleich

Die durch die Kraft bewirkte Bewegung (eines Teilchens) auf dem Graphen setzen wir als

an, wobei das Entscheidende in der ersten Komponente geschieht. Wir müssen die zum Graphen tangentiale Kraft, die die tangentiale Beschleunigung bewirkt, mit der tangentialen Beschleunigung der gesuchten Bewegungskurve gleichsetzen. Es ist

und

Daher ist nach Lemma Anhang 1.1 die tangentiale Beschleunigung gleich

und dies ist mit der tangentialen Kraftkomponente gleichzusetzen, also mit

In der ersten Komponente führt dies auf

Also ist

und damit


Bemerkung  

Die Formel aus Lemma Anhang 1.2, die die geführte Bewegung auf einem Funktionsgraphen im Gravitationsfeld beschreibt, kann man auch aus dem Energieerhaltungssatz ableiten. Die Energie des bewegten Teilchens setzt sich aus der Lageenergie und der Bewegungsenergie zusammen. Die Lageenergie ist dabei gleich , wobei die Masse des Teilchens ist (die Lageenergie wird also gleich bei der Höhe gesetzt) und die Bewegungsenergie ist , wobei die Gesamtbewegung auf dem Graphen beschreibt. Somit ist die Gesamtenergie gleich das -fache von

Da diese Energie unabhängig von ist, muss die Ableitung davon gleich sein, also

Wir ignorieren die konstanten Lösungen und erhalten

was auf

führt, also



Beispiel  

Sei . Dann wird die geführte Bewegung auf dem geraden Graphen (die schiefe Ebene, die eigentlich eine schiefe Gerade ist) gemäß Lemma Anhang 1.2 durch die Differentialgleichung

beschrieben, die Lösungen haben also die Form

mit beliebigen .



Beispiel  

Sei . Dann wird die geführte Bewegung auf der Parabel gemäß Lemma Anhang 1.2 durch die Differentialgleichung

beschrieben.



Beispiel  

Kraefte am Fadenpendel groß.svg

Wir betrachten ein Pendel. Das Pendel habe die Länge und sei im Punkt fest aufgehängt. Die Bahn des Pendels, also der Ort, wo der Endpunkt des Pendels schwingt, ist der Kreis mit diesem Mittelpunkt und dem Radius . Diese Bahn ist der Graph der Funktion

und es handelt sich um eine geführte Bewegung im Sinne von Lemma Anhang 1.2. Hier ist es einfacher, die Bewegungsgleichung nicht als anzusetzen, sondern als eine Bedingung für den (Ausschlags-) Winkel der Bewegung, also als , wobei der Winkel zwischen dem vertikalen Lot und dem Auslenkungsfaden gemessen wird. Es besteht der Zusammenhang

Der Winkel ist auch die Länge des Bogens, vom Tiefpunkt aus gemessen. Mit der Gravitationskraft ergibt sich die Differentialgleichung

Dies erhält man auch aus Lemma Anhang 1.2. Es ist

und

Die allgemeine Bewegungsgleichung

wird in diesem Fall zu

Mit

ist die linke Seite gleich

und unter Verwendung von

und

ist die rechte Seite gleich

Der Term kommt beidseitig vor, also ist

und Division durch ergibt


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