Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil I/Forum

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Zur Verneinung der Cauchy-Bedingung in Lemma 8.7

Kann es sein, dass bei Lemma 8.7 aus der Verneinung der Cauchy-Folge eigentlich ${}x_{n}-x_{m}>\epsilon$ folgen muss, anstelle von ${}x_{n}-x_{m}\geq \epsilon$?

Für den Fall, dass ${}x_{n}-x_{m}=\epsilon$ wäre ja die Cauchy-Bedingung weiterhin erfüllt.

In der Tat liefert die Negation zunächst ${}x_{n}-x_{m}>\epsilon$. Dann gilt aber insbesondere auch ${}x_{n}-x_{m}\geq \epsilon$. (Tatsächlich kann man sogar in der Definition von Cauchy-Folge die Bedingung ${}\vert x_{n}-x_{m}\vert \leq \epsilon$ durch ${}\vert x_{n}-x_{m}\vert <\epsilon$ ersetzen und erhält eine dazu äquivalente Definition.)

Quotientenkriterium

In Lemma 5 zu Vorlesung 9 wird gesagt: "es ist also eine notwendige Bedingung für die Konvergenz einer Reihe, dass die Reihenglieder eine Nullfolge bilden. Diese Bedingung ist nicht hinreichend, wie die harmonische Reihe zeigt." Ist dies nicht ein Widerspruch zu dem Quotientenkriterium ? Laut diesem müsste die harmonische Reihe doch auch konvergieren ?

da muss man beim Quotientenkriterium genau hinschauen. Dort steht für die Quotienten die Bedingung ${}\leq q$ mit ${}q<1$ und nicht die Bedingung ${}<1$. Man braucht also eine gemeinsame Schranke, die echt kleiner als ${}1$ ist.

Frage zu einer Aufgabe mit Majorantenkriterium

In der Lösung zur Aufgabe : https://de.wikiversity.org/wiki/Reihe/2n%2B5_durch_4n%5E3-3n%2B2/Aufgabe/L%C3%B6sung wird ja festgestellt, dass der Term 4n^3 -3n + 2 >= n^3 ist für n>=1

Davor geschehen aber noch ein paar Umformungen : 4n^3 -3n +2 = n^3 +3n^3 -3n +2 >= n^3 +3n(n^2 -1 ) >= n^3 .

Meine Frage ist: Sind in der Klausur diese Umformungen auch nötig, oder reicht es aus direkt festzustellen, dass 4n^3 -3n + 2 >= n^3 ist für n>=1 ?

das muss schon begründet werden, das Polynom hat ja den negativen Term -3n, der in die falsche Richtung weist.

Aber ist der negative Term -3n streng genommen nicht noch immer da? Die Klammer ausrechnen ergibt ja wieder -3n .

Würde für eine Begründung, falls man es direkt festellen wollte, z.b. ausreichen, wenn man sagt:

4n^3 = 4 * n * n * n >= -3 * n

?

das stimmt zwar, hat aber ja nix mit 4n^3 -3n +2 >= n^3 zu tun.

Wiederholungstutorium

Ich habe leider nicht genau mitbekommen:

Findet das Wiederholungstutorium statt?

Wenn ja, ich konnte bislang kein BBB Meeting dafür am Dienstag zur angegebenen Zeit finden. Habe ich etwas falsch verstanden?

Di 18, meeting zum Wiederholertutorium auf StudIP.

Beispielklausur 1 Aufgabe 5

Guten Tag,

wie kommt der Abstand Wurzel(25) von z zum Nullpunkt zustande?

MfG

Für den Betrag gilt beispielsweise ${}\vert z\vert ={\sqrt {z{\bar {z}}}}$.

Bearbeitung von Aufgaben

Guten Tag,

Gibt es ein allgemeines Vorgehen für Aufgaben um diese mehr oder weniger im Ansatz richtig zu beantworten?

nein. das wäre zu schön. Wenn es so was geben würde, würde man das in der ersten Vorlesung besprechen.

Muss der Lösungsweg einer Aufgabe genau dem vorgegebenen Lösungsweg entsprechen oder sind auch andere Lösungswege möglich?

es gibt meistens viele Lösungswege.

MfG

Frage zur Lösung 2 von Aufgabe 8 der ersten Beispielklausur.

Ich verstehe leider nicht ganz warum bei der Lösung https://de.wikiversity.org/wiki/Reihe/2n%2B5_durch_4n%5E3-3n%2B2/Aufgabe/2/L%C3%B6sung der Nachweis dass der Bruch für lim n→ ∞ gegen $0/4=0$ geht ausreichend ist um die Konvergenz der Reihe nachzuweisen. Das dort geschilderte Prinzip ließe sich auf die harmonische Reihe übertragen durch $1/n$ erweitert mit $1/n$ zu $(1/n)/1$ was nach Argumentation (da der Bruch gegen 0/1 läuft) aussagen würde dass die harmonische Reihe konvergiert. Kann es sich möglicherweise um eine Verwechslung mit der Konvergenz einer Folge handeln? Oder habe ich etwas bei der Lösung falsch verstanden?

die Lösung (die ist nicht von mir) stimmt auch nicht, es wird, wie von Ihnen richtig bemerkt, gar kein Bezug zur Summe hergestellt. Das löschen wir.

Vorlesung 24 - Beispiel 2

Was bedeutet in dem Beispiel jetzt der Vektor (10, -1). Zeile:"Zum Beispiel hat der Vektor, der bezüglich v die Koordinaten (4, -3) besitzt, bezüglich der Standardbasis u die Koordinaten ..."

es ist der Vektor

${}10e_{1}-1e_{2}=10{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}-1{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}10\\-1\end{pmatrix}}\,.$

Bezüglich der Standardbasis ist das Koordinatentupel direkt interpretierbar (das macht die Standardbasis 'einfach'). Aber nicht für jedes Problem ist die Standardbasis die beste Beschreibung.

Aufgabe 22.11c

Guten Tag,

wie genau muss jetzt die Lösung aus Aufgabenteil c) interpretiert werden, damit die Aufgabenstellung beantwortet werden kann. Bzw. mir erschließt sich nicht, was mit der Lösung s muss kleiner 0 größer -91/1334 sein, gemeint sein soll.

MfG

es gibt keine eindeutige Lösung. Alle Lösungen des linearen Gleichungssystems hängen von einem Parameter s ab (erster Teil von c). Dann wird noch berücksichtigt, dass man keine negativen Mengen an Produkten produzieren kann, was zu der Intervallbedingung für s führt.

Aufgaben mit Ableitungen

Hallo,

ist es bei Aufgaben wo Ableitungen benötigt, aber nicht explizit gefordert werden ( z.b. Taylorpolynom, Extrema ), notwendig dass die Ableitungen der Funktion vollständig vereinfacht dargestellt werden? Man könnte ja je nach Aufgabe den Extrempunkt berechnen / das Taylorpolynom angeben , ohne dass man die Ableitung vollständig vereinfacht.

richtig, das ist nicht nötig.

Bezüge in Beweisen

Hallo,

in den Lösungen von manchen Beweisen wird darauf Bezug genommen, dass etwas aufgrund einer anderen Aufgabe gilt. Ein Beispiel ist z.B. dieser Satz ( ganz am Ende): https://de.wikiversity.org/wiki/Bolzano_Weierstra%C3%9F/Erl%C3%A4utert/Beweise/Aufgabe/L%C3%B6sung

Können wir dann in der Klausur auch ohne weiteres schreiben, dass die Teilfolge aufgrund einer Aufgabe aus der Vorlesung konvergiert?

MFG

im Prinzip ja, man kann auf grundlegendere Sachverhalte verweisen, die wir irgendwo durchgenommen haben. Es soll ja auch der hierarchische Aufbau der Mathematik erkannt und eingesetzt werden.

Übungsklausur 54, Aufgabe 4

Hallo,

müsste bei dieser Aufgabe: Schokolade/Rillenlänge/Aufgabe/Lösung die Länge der Schokolade nicht ad statt ac sein, also die Anzahl der auf die Länge bezogenen Stücke multipliziert mit dem Abstand der Querrillen?

stimmt, ist korrigiert, Danke.

Fehler in Beispielklausuraufgabe

Diese Aufgabe wurde falsch aufgeschrieben: https://de.wikiversity.org/wiki/Stammfunktion/cos(cos(sin))sin(sin)cos/Aufgabe Wie auch schon im Url müsste es cos(cos(sin))sin(sin)cos und nicht cos(cos(sin))cos(sin)cos heißen. Gibt es dafür auch ein Bonuspunkt für die Klausur?😅

Sie müssen sich mit der großen Ehre glücklich schätzen, zur Verbesserung von beigetragen zu haben.

Beispielklausur 2, Aufgabe 6

Das Ausklammern, von 6 + 43 ist logisch, jedoch wird dann in der vorletzten Zeile ein s eingeführt, soll dieses s für das aus der Klammer sein, also (6^n+2 + 7^2n+1)? bzw, müsste das s ja für (6^n+2 + 7^2n stehen, da man ja 7^2n+1 auch schreiben kann als 7^2n * 7^1, wurde dann die 7^1 genommen und mit der 6 von vor der Klammer multipliziert, damit man auf diese 43 kommt? Ist wahrscheinlich nicht gut erklärt, aber ich kann es gerade nicht anders formulieren.

MfG

Sie wissen nach Induktionsvoraussetzung, dass ein gewisser Term, hier ${}6^{n+2}+7^{2n+1}$, ein Vielfaches von ${}43$ ist, und deshalb kann man es also ${}43\cdot s$ schreiben, wobei ${}s$ irgendeine ganze Zahl ist. Mehr passiert hier nicht.

Beweise

Guten Tag, gibt es ein allgemeines Schema mit dem man an Beiweisaufgaben geht, dass einen Ansatz gibt um die Aufgabe zu Beweisen?

nein.

Schaut man sich die ganzen Beweise der Beispielklausuren an, fällt auf, dass fast alle Beweise eine falsche Aussage beweisen und in der Regel immer die Aussage die bewiesen werden soll falsch ist. Warum stellt man Aufgaben nicht so, dass die auch mal stimmen?

MfG

das ist einfach Beweis durch Widerspruch. Es werden keine falschen Aussagen bewiesen, da haben Sie etwas Grundlegendes nicht verstanden.

Aufgabe 8 in Beispielklausur 30

Ich glaube bei der Lösung zu dieser Aufgabe: https://de.wikiversity.org/wiki/Gl%C3%A4ser/Umf%C3%BCllung/Aufgabe hat sich ein Fehler eingeschlichen, und zwar bleibt nach der Rechnung der Anteil des Weißweins im Weißweinglas vor und nach dem zweiten Umfüllen gleich, was ja eigentlich nicht sein dürfte, da nach der Aufgabenstellung die Flüssigkeiten gleichmäßig vermischt werden.

der (prozentuale) Anteil des Weißweins im Weißweinglas ändert sich beim zweiten Umfüllen auch nicht! Das stimmt so.

Müsste also nicht der finale Weißweinanteil im Weißweinglas eigentlich mit

1/(1+x) - x/(1+x) = (1-x)/(1+x)

berechnet werden, sodass am Ende mehr Rotwein im Rotweinglas als Weißwein im Weißweinglas ist?

Wenn mehr Rotwein im Rotweinglas als Weißwein im Weißweinglas ist, ist weniger Weißwein im Rotweinglas als Rotwein im Weißweinglas – also in jedem Glas mehr Rotwein als im jeweils anderen Glas Weißwein. Wie kommt es zu dieser Vermehrung von Rotwein?

Frage zur Lösung von https://de.wikiversity.org/wiki/Grenzwert/Funktion/cos_x_hoch_1_durch_x/Aufgabe

Warum wird beim anwenden der Regel von Hospital, (-sin/cos)/1 betrachtet? Würde beim ableiten nicht nach der Qoutienten Regel ((-sin/cos)*x-ln(cos))/x^2 rauskommen?

bei Hospital ersetzen Sie f/g durch f' /g' , das ist NICHT die Quotientenregel.

Aufgabe 6 in Übungsklausur 25

Hallo, ich habe eine Frage zu dieser Lösung: https://de.wikiversity.org/wiki/K%C3%B6rper/Potenzgesetze/Positiv_bekannt/Aufgabe/L%C3%B6sung Wurde hier bei Teil 3 nicht im dritten Schritt schon das Gesetz für negative Exponenten verwendet, das man ja eigentlich gerade erst beweist?

nein. das ${}n$ ist negativ, dass ${}\ell$ ist aber positiv, und es werden dann nur Gesetze für positive Exponenten (neben den Gesetzen der Aufgabenstellung) verwendet.

Beispielklausur 9, Aufgabe 3

Die oben genannte Aufgabe führt zu einer nicht vorhandenen Lösung (beim Draufklicken wird ein Fenster geöffnet, in dem man eine neue Lösung schreiben kann).

MfG

also 9.3 hat eine Lösung, 9.4 nicht. Einzelne Aufgaben haben keine Lösung, insbesondere solche, wo man sehr viele verschiedene Sachen schreiben kann.

Vielen Dank, was wäre eine dort typische Antwortmöglichkeit? Habe mich mit 9.3 und 9.4 verschrieben.

siehe Vorlesung 4.

Klausureinsicht

?

Siehe die Bemerkungen hierzu in der Klausurinfo, die Sie ja alle laut Ihrer Unterschrift gelesen und zur Kenntnis genommen haben.

Nachschreibklausur?

Guten Tag,

wann genau endet die Anmeldefrist für die Nachschreibklausur? gelten bei der Nachschreibklausur die gleichen Regeln bzgl. folgenloser Rücktritt, etc...?

MfG

eine Woche vor Termin, gleiche Regeln. P.S. Wenn Sie schon jetzt mit dem Gedanken folgenloser Rücktritt spielen, empfehle ich, nicht zur Klausur zu kommen.

Beweise der Vorlesung

Bei Beweisen aus der Vorlesung wird auf Übungsaufgaben ohne Lösung oder Lösungsansatz verwiesen. Dies ermöglicht leider kein vollständiges Verständnis der behaupteten Thesen.

Beispiele? Spontan würde ich sagen, dass das sehr selten vorkommt.

Das sind alle Definitionen, Sätze, etc. die auf Übungsaufgaben ohne Lösung verweisen. Es gibt ja viele wo auf Aufgaben mit Lösungen verwiesen wird, jedoch gibt es bei den folgenden leider keine (wahrscheinlich sind die auch gar nicht so wichtig wie andere Definitionen, etc. und deswegen dort keine Lösungen hinterlegt sind)

4.5, 5.10, 5.17, 5.19, 9.3, 10.11, 12.16, 12.19, 13.3, 13.4, 16.14, 16.15, 18.13, 18.15, 18.18, 22.12, 23.4, 23.8, 24.6, 26.2, 26.16, 27.10

Danke für die Liste! Das ist etwas mehr, als ich spontan gedacht hätte. Typischerweise handelt es sich um tendenziell einfachere Aufgaben. Das schau ich mal genauer durch, ob ich da noch was nachlege. Alles werd ich aber sicher nicht machen.

Arbeitsblatt 6, Aufgabe 6 (Aussehen der Lösung)

Die Lösung der oben genannten Aufgabe ist in der Ansicht total nach recht verschoben. (Keine Ahnung, ob das eventuell wieder richtig dargestellt werden kann oder ob das wegen der länge der ersten Zeile alles so weit verschoben ist)

jetzt ist es besser aufgeteilt.

vielen Dank.

Fehler in Lösung zu 31.15

Guten Tag, bezüglich der Lösung des linearen Gleichungssystems in 31.15: es wird I - 3*II gerechnet, was aber, wenn mich nicht alles täuscht, nicht in -24y, sondern -19y resultiert, da -4y - 3*5y = -19y. (In der Lösung wurde womöglich versehentlich der Faktor 4 statt 3 verwendet) Viele Grüße

Danke für den Hinweis , wurde jetzt verbessert.

Repetitorium Klausur?

Guten Tag,

Die Klausur wurde laut der Klausurinformationen auf den 27.Juli 2021 gelegt, jedoch wurde zum Ende des WS2020/2021 veröffentlicht, dass die Klausur eher Richtung Ende des Sommersemesters gelegt wird. Jetzt ist die Klausur aber am 27.Juli, ist das gewollt oder liegt das an der Terminvergabe wegen der Präsensmodalitäten? Wäre die Klausur verschiebbar oder gibt es dann Ende SS2021 noch mal eine Klausur?

MfG

Anfang Oktober gibt es noch eine Klausur.