Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil I/Vorlesung 28

„Wirf den Helden in deiner Seele nicht weg!“

Friedrich Nietzsche

Das charakteristische Polynom

Wir möchten zu einem Endomorphismus ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ die Eigenwerte und dann auch die Eigenräume bestimmen. Dazu ist das charakteristische Polynom entscheidend.

Definition

Zu einer ${}n\times n$- Matrix ${}M$ mit Einträgen in einem Körper ${}K$ heißt das Polynom

${}\chi _{M}:=\det \left(X\cdot E_{n}-M\right)\,$

das charakteristische Polynom von ${}M$.

Für ${}M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}$ bedeutet dies

${}\chi _{M}=\det {\begin{pmatrix}X-a_{11}&-a_{12}&\ldots &-a_{1n}\\-a_{21}&X-a_{22}&\ldots &-a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-a_{n1}&-a_{n2}&\ldots &X-a_{nn}\end{pmatrix}}\,.$

In dieser Definition nehmen wir Bezug auf die Determinante von Matrizen, die wir nur für Matrizen mit Einträgen in einem Körper definiert haben. Die Einträge sind jetzt aber Elemente im Polynomring ${}K[X]$. Da wir sie aber als Elemente im Körper der rationalen Funktionen ${}K(X)$ auffassen können, ist dies eine sinnvolle Definition. Gemäß der Definition ist diese Determinante ein Element in ${}K(X)$, da aber alle Einträge der Matrix Polynome sind und bei der rekursiven Definition der Determinante nur addiert und multipliziert wird, ist das charakteristische Polynom wirklich ein Polynom. Der Grad des charakteristischen Polynoms ist ${}n$ und der Leitkoeffizient ist ${}1$, d.h. die Gestalt ist

${}\chi _{M}=X^{n}+c_{n-1}X^{n-1}+\cdots +c_{1}X+c_{0}\,.$

Es gilt die wichtige Beziehung

${}\chi _{M}(\lambda )=\det \left(\lambda E_{n}-M\right)\,$

für jedes ${}\lambda \in K$, siehe Aufgabe 28.4. Hier wird links die Zahl ${}\lambda$ in das Polynom eingesetzt und rechts wird die Determinante von einer Matrix, die von ${}\lambda$ abhängt, ausgerechnet.

Für eine lineare Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

auf einem endlichdimensionalen Vektorraum definiert man das charakteristische Polynom

${}\chi _{\varphi }:=\chi _{M}\,,$

wobei ${}M$ eine beschreibende Matrix bezüglich einer beliebigen Basis sei. Der Determinantenmultiplikationssatz zeigt, dass diese Definition unabhängig von der Wahl der Basis ist, siehe Aufgabe 28.3. Das charakteristische Polynom der Identität auf einem ${}n$-dimensionalen Vektorraum ist

${}\chi _{\operatorname {Id} }=\det \left(XE_{n}-E_{n}\right)=(X-1)^{n}=X^{n}-nX^{n-1}+{\binom {n}{2}}X^{n-2}-{\binom {n}{3}}X^{n-3}+\cdots \pm {\binom {n}{2}}X^{2}\mp nX\pm 1\,.$

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein ${}n$- dimensionaler Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung.

Dann ist ${}\lambda \in K$ genau dann ein Eigenwert von ${}\varphi$, wenn ${}\lambda$ eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms ${}\chi _{\varphi }$ ist.

Beweis

Es sei ${}M$ eine beschreibende Matrix für ${}\varphi$, und sei ${}\lambda \in K$ vorgegeben. Es ist

${}\chi _{M}\,(\lambda )=\det \left(\lambda E_{n}-M\right)=0\,$

genau dann, wenn die lineare Abbildung

$\lambda \operatorname {Id} _{V}-\varphi$

nicht bijektiv (und nicht injektiv) ist (wegen Satz 26.11 und Lemma 25.11). Dies ist nach Lemma 27.11 und Lemma 24.14 äquivalent zu

${}\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}=\operatorname {kern} (\lambda \operatorname {Id} _{V}-\varphi )\neq 0\,,$

was bedeutet, dass der Eigenraum zu ${}\lambda$ nicht der Nullraum ist, also ${}\lambda$ ein Eigenwert zu ${}\varphi$ ist.

$\Box$

Beispiel

Wir betrachten die reelle Matrix ${}M={\begin{pmatrix}0&5\\1&0\end{pmatrix}}$. Das charakteristische Polynom ist

${}{\begin{aligned}\chi _{M}&=\det {\left(xE_{2}-M\right)}\\&=\det {\left(x{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}0&5\\1&0\end{pmatrix}}\right)}\\&=\det {\begin{pmatrix}x&-5\\-1&x\end{pmatrix}}\\&=x^{2}-5.\end{aligned}}$

Die Eigenwerte sind also ${}x=\pm {\sqrt {5}}$ (diese Eigenwerte haben wir auch in Beispiel 27.9 ohne charakteristisches Polynom gefunden).

Beispiel

Zur Matrix

${}M={\begin{pmatrix}2&5\\-3&4\end{pmatrix}}\,$

ist das charakteristische Polynom gleich

${}\chi _{M}=\det {\begin{pmatrix}X-2&-5\\3&X-4\end{pmatrix}}=(X-2)(X-4)+15=X^{2}-6X+23\,.$

Die Nullstellenbestimmung dieses Polynoms führt zur Bedingung

${}(X-3)^{2}=-23+9=-14\,,$

die über ${}\mathbb {R}$ nicht erfüllbar ist, sodass die Matrix über ${}\mathbb {R}$ keine Eigenwerte besitzt. Über ${}{\mathbb {C} }$ hingegen gibt es die beiden Eigenwerte ${}3+{\sqrt {14}}{\mathrm {i} }$ und ${}3-{\sqrt {14}}{\mathrm {i} }$. Für den Eigenraum zu ${}3+{\sqrt {14}}{\mathrm {i} }$ muss man

${}{\begin{aligned}\operatorname {Eig} _{3+{\sqrt {14}}{\mathrm {i} }}{\left(M\right)}&=\operatorname {kern} {\left({\left(3+{\sqrt {14}}{\mathrm {i} }\right)}E_{2}-M\right)}\\&=\operatorname {kern} {\begin{pmatrix}1+{\sqrt {14}}{\mathrm {i} }&-5\\3&-1+{\sqrt {14}}{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

bestimmen, ein Basisvektor (also ein Eigenvektor) davon ist ${}{\begin{pmatrix}5\\1+{\sqrt {14}}{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}$. Analog ist

${}\operatorname {Eig} _{3-{\sqrt {14}}{\mathrm {i} }}{\left(M\right)}=\operatorname {kern} {\begin{pmatrix}1-{\sqrt {14}}{\mathrm {i} }&-5\\3&-1-{\sqrt {14}}{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}=\langle {\begin{pmatrix}5\\1-{\sqrt {14}}{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\rangle \,.$

Beispiel

Für eine obere Dreiecksmatrix

${}M={\begin{pmatrix}d_{1}&\ast &\cdots &\cdots &\ast \\0&d_{2}&\ast &\cdots &\ast \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&d_{n-1}&\ast \\0&\cdots &\cdots &0&d_{n}\end{pmatrix}}\,$

ist das charakteristische Polynom nach Lemma 26.8 gleich

${}\chi _{M}=(X-d_{1})(X-d_{2})\cdots (X-d_{n})\,.$

In diesem Fall liegt das charakteristische Polynom direkt in der Zerlegung in lineare Faktoren vor, sodass unmittelbar seine Nullstellen und damit die Eigenwerte von ${}M$ ablesbar sind, nämlich die Diagonalelemente ${}d_{1},d_{2},\ldots ,d_{n}$ (die nicht alle verschieden sein müssen).

Vielfachheiten

Für eine genauere Untersuchung der Eigenräume ist die folgende Begrifflichkeit sinnvoll. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen Vektorraum ${}V$ und ${}\lambda \in K$. Man nennt dann den Exponenten des linearen Polynoms ${}X-\lambda$ im charakteristischen Polynom ${}\chi _{\varphi }$ die algebraische Vielfachheit von ${}\lambda$, die wir mit ${}\mu _{\lambda }:=\mu _{\lambda }(\varphi )$ bezeichnen, und die Dimension des zugehörigen Eigenraumes, also

$\dim _{K}{\left(\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}\right)}$

die geometrische Vielfachheit von ${}\lambda$. Nach Satz 28.2 ist die eine Vielfachheit genau dann positiv ist, wenn dies für die andere gilt. Im Allgemeinen können die beiden Vielfachheiten aber verschieden sein, wobei eine Abschätzung immer gilt.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung und ${}\lambda \in K$.

Dann besteht zwischen der geometrischen und der algebraischen Vielfachheit die Beziehung

${}\dim _{K}{\left(\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}\right)}\leq \mu _{\lambda }(\varphi )\,.$

Beweis

Sei ${}m=\dim _{K}{\left(\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}\right)}$ und sei ${}v_{1},\ldots ,v_{m}$ eine Basis von diesem Eigenraum, die wir durch ${}w_{1},\ldots ,w_{n-m}$ zu einer Basis von ${}V$ ergänzen. Bezüglich dieser Basis hat die beschreibende Matrix die Gestalt

${\begin{pmatrix}\lambda E_{m}&B\\0&C\end{pmatrix}}.$

Das charakteristische Polynom ist daher nach Aufgabe 26.9 gleich ${}(X-\lambda )^{m}\cdot \chi _{C}$, sodass die algebraische Vielfachheit mindestens ${}m$ ist.

$\Box$

Beispiel

Wir betrachten ${}2\times 2$-Scherungsmatrizen

${}M={\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}}\,$

mit ${}a\in K$. Das charakteristische Polynom ist

${}\chi _{M}=(X-1)(X-1)\,,$

sodass ${}1$ der einzige Eigenwert von ${}M$ ist. Den zugehörigen Eigenraum berechnet man als

${}\operatorname {Eig} _{1}{\left(M\right)}=\operatorname {kern} {\begin{pmatrix}0&-a\\0&0\end{pmatrix}}\,.$

Aus

${}{\begin{pmatrix}0&-a\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}r\\s\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-as\\0\end{pmatrix}}\,$

folgt, dass ${}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ ein Eigenvektor ist, und dass bei ${}a\neq 0$ der Eigenraum eindimensional ist (bei ${}a=0$ liegt die Identität vor und der Eigenraum ist zweidimensional). Bei ${}a\neq 0$ ist die algebraische Vielfachheit des Eigenwerts ${}1$ gleich ${}2$, die geometrische Vielfachheit gleich ${}1$.

Diagonalisierbarkeit

Die Einschränkung einer linearen Abbildung auf einen Eigenraum ist die Streckung um den zugehörigen Eigenwert, also eine besonders einfache lineare Abbildung. Viele Eigenwerte mit hochdimensionalen Eigenräumen korrespondieren zu strukturell einfachen linearen Abbildungen. Ein Extremfall liegt bei den sogenannten diagonalisierbaren Abbildungen vor.

Bei einer Diagonalmatrix

${\begin{pmatrix}d_{1}&0&\cdots &\cdots &0\\0&d_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&d_{n-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&d_{n}\end{pmatrix}}$

ist das charakteristische Polynom einfach gleich

$(X-d_{1})(X-d_{2})\cdots (X-d_{n}).$

Wenn die Zahl ${}d$ in den Diagonalelementen ${}k$-mal vorkommt, so kommt auch der Linearfaktor ${}X-d$ mit dem Exponenten ${}k$ in der Faktorisierung des charakteristischen Polynoms vor. Dies gilt auch, wenn nur eine obere Dreiecksmatrix vorliegt. Anders aber als bei einer oberen Dreiecksmatrix kann man bei einer Diagonalmatrix sofort die Eigenräume angeben, siehe Beispiel 27.7, und zwar besteht der Eigenraum zu ${}d$ aus allen Linearkombinationen der Standardvektoren ${}e_{i}$, für die ${}d_{i}$ gleich ${}d$ ist. Insbesondere ist die Dimension des Eigenraums gleich der Anzahl, wie oft ${}d$ als Diagonalelement auftritt. Bei einer Diagonalmatrix stimmen also algebraische und geometrische Vielfachheiten überein.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Dann heißt ${}\varphi$ diagonalisierbar, wenn ${}V$ eine Basis aus Eigenvektoren zu ${}\varphi$ besitzt.

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}\varphi$ ist diagonalisierbar.
2. Es gibt eine Basis ${}{\mathfrak {v}}$ von ${}V$ derart, dass die beschreibende Matrix ${}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )$ eine Diagonalmatrix ist.
3. Für jede beschreibende Matrix ${}M=M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {w}}(\varphi )$ bezüglich einer Basis ${}{\mathfrak {w}}$ gibt es eine invertierbare Matrix ${}B$ derart, dass

   $BMB^{-1}$

   eine Diagonalmatrix ist.

Beweis

Die Äquivalenz von (1) und (2) folgt aus der Definition, aus Beispiel 27.7 und der Korrespondenz zwischen linearen Abbildungen und Matrizen. Die Äquivalenz von (2) und (3) folgt aus Korollar 25.9.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung, die ${}n=\dim _{K}{\left(V\right)}$ verschiedene Eigenwerte besitze.

Dann ist ${}\varphi$ diagonalisierbar.

Beweis

Aufgrund von Lemma 27.14 gibt es ${}n$ linear unabhängige Eigenvektoren. Diese bilden nach Korollar 23.21 eine Basis.

$\Box$

Beispiel

Wir schließen an Beispiel 27.9 an. Es gibt die beiden Eigenvektoren ${}{\begin{pmatrix}{\sqrt {5}}\\1\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}-{\sqrt {5}}\\1\end{pmatrix}}$ zu den verschiedenen Eigenwerten ${}{\sqrt {5}}$ und ${}-{\sqrt {5}}$, sodass die Abbildung nach Korollar 28.10 diagonalisierbar ist. Bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {u}}$ aus diesen Eigenvektoren wird die lineare Abbildung durch die Diagonalmatrix

${\begin{pmatrix}{\sqrt {5}}&0\\0&-{\sqrt {5}}\end{pmatrix}}.$

beschrieben.

Die Übergangsmatrix von der Basis ${}{\mathfrak {u}}$ zur durch ${}e_{1}$ und ${}e_{2}$ gegebenen Standardbasis ${}{\mathfrak {v}}$ ist einfach

${}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}={\begin{pmatrix}{\sqrt {5}}&-{\sqrt {5}}\\1&1\end{pmatrix}}\,.$

Die inverse Matrix dazu ist

${}{\frac {1}{2{\sqrt {5}}}}{\begin{pmatrix}1&{\sqrt {5}}\\-1&{\sqrt {5}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2{\sqrt {5}}}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {-1}{2{\sqrt {5}}}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}\,.$

Gemäß Korollar 25.9 besteht die Beziehung

${}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}{\sqrt {5}}&0\\0&-{\sqrt {5}}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {5}}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {-{\sqrt {5}}}{2}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\sqrt {5}}&-{\sqrt {5}}\\1&1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2{\sqrt {5}}}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {-1}{2{\sqrt {5}}}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&5\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\sqrt {5}}&-{\sqrt {5}}\\1&1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Vielfachheiten und diagonalisierbare Abbildungen

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung.

Dann ist ${}\varphi$ genau dann diagonalisierbar, wenn das charakteristische Polynom ${}\chi _{\varphi }$ in Linearfaktoren zerfällt und wenn für jede Nullstelle ${}\lambda$ mit der algebraischen Vielfachheit ${}\mu _{\lambda }$ die Gleichheit

${}\mu _{\lambda }=\dim _{K}{\left(\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}\right)}\,$

gilt.

Beweis

Dieser Beweis wurde in der Vorlesung nicht vorgeführt.

Wenn ${}\varphi$ diagonalisierbar ist, so kann man sofort annehmen, dass ${}\varphi$ bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren durch eine Diagonalmatrix beschrieben wird. Die Diagonaleinträge dieser Matrix sind die Eigenwerte, und diese wiederholen sich gemäß ihrer geometrischen Vielfachheit. Das charakteristische Polynom lässt sich auch direkt aus dieser Diagonalmatrix ablesen, jeder Diagonaleintrag ${}\lambda$ trägt als Linearfaktor ${}X-\lambda$ bei.

Für die Umkehrung seien ${}\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k}$ die verschiedenen Eigenwerte und

${}\mu _{i}:=\mu _{\lambda _{i}}(\varphi )=\dim _{K}{\left(\operatorname {Eig} _{\lambda _{i}}{\left(\varphi \right)}\right)}\,$

seien die (geometrischen und algebraischen) Vielfachheiten. Da nach Voraussetzung das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt, muss die Summe dieser Zahlen gleich ${}n=\dim _{K}{\left(V\right)}$ sein. Nach Lemma 22.6 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) ist die Summe der Eigenräume

${}\operatorname {Eig} _{\lambda _{1}}{\left(\varphi \right)}\oplus \cdots \oplus \operatorname {Eig} _{\lambda _{k}}{\left(\varphi \right)}\subseteq V\,$

direkt. Nach Voraussetzung ist die Dimension links ebenfalls gleich ${}n$, sodass Gleichheit vorliegt. Nach Lemma 22.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) ist ${}\varphi$ diagonalisierbar.

$\Box$

 

Das Produkt von zwei Diagonalmatrizen ist natürlich wieder eine Diagonalmatrix. Das folgende Beispiel zeigt, dass das Produkt von diagonalisierbaren Matrizen nicht diagonalisierbar sein muss.

Beispiel

Es seien ${}G_{1}$ und ${}G_{2}$ zwei Geraden im ${}\mathbb {R} ^{2}$ durch den Nullpunkt und es seien ${}\varphi _{1}$ und ${}\varphi _{2}$ die Achsenspiegelungen an diesen Achsen. Eine Achsenspiegelung ist stets diagonalisierbar, und zwar sind die Spiegelungsachse und die dazu senkrechte Gerade Eigengeraden (zu den Eigenwerten ${}1$ und ${}-1$). Die Hintereinanderschaltung

${}\psi =\varphi _{2}\circ \varphi _{1}\,$

dieser Spiegelungen ist eine Drehung, und zwar ist der Drehwinkel das Doppelte des Winkels zwischen den beiden Achsen. Eine Drehung ist aber nur dann diagonalisierbar, wenn der Drehwinkel ${}0$ oder ${}180$ Grad beträgt. Wenn der Winkel zwischen den Achsen von ${}0,90$ Grad verschieden ist, so besitzt ${}\psi$ keinen Eigenvektor.

Trigonalisierbare Abbildungen

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Eine lineare Abbildung ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ heißt trigonalisierbar, wenn sie bezüglich einer geeigneten Basis durch eine obere Dreiecksmatrix beschrieben wird.

Diagonalisierbare lineare Abbildungen sind insbesondere trigonalisierbar. Die Umkehrung gilt nicht, wie Beispiel 28.7 zeigt.

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}\varphi$ ist trigonalisierbar.
2. Das charakteristische Polynom ${}\chi _{\varphi }$ zerfällt in Linearfaktoren.

Wenn ${}\varphi$ trigonalisierbar ist und bezüglich einer Basis durch die Matrix ${}M$ beschrieben wird, so gibt es eine invertierbare Matrix ${}B\in \operatorname {Mat} _{n\times n}(K)$ derart, dass ${}BMB^{-1}$ eine obere Dreiecksmatrix ist.

Beweis

Dieser Beweis wurde in der Vorlesung nicht vorgeführt.

Von (1) nach (2). Das charakteristische Polynom von ${}\varphi$ ist gleich dem charakteristischen Polynom ${}\chi _{M}$, wobei ${}M$ eine beschreibende Matrix bezüglich einer beliebigen Basis ist. Wir können also annehmen, dass ${}M$ eine obere Dreiecksmatrix ist. Dann ist nach Lemma 26.8 das charakteristische Polynom das Produkt der Linearfaktoren zu den Diagonaleinträgen.

Von (2) nach (1). Wir beweisen die Aussage durch Induktion nach ${}n$, wobei die Fälle

${}n=0,1\,$

klar sind. Nach Voraussetzung und nach Satz 28.2 besitzt ${}\varphi$ einen Eigenwert, sagen wir ${}\lambda$. Nach Lemma 25.4 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) gibt es einen ${}(n-1)$-dimensionalen Untervektorraum

${}V_{n-1}\subset V\,,$

der ${}\varphi$- invariant. Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n-1}$ eine Basis von ${}V_{n-1}$, die wir durch ${}v_{n}\in V\setminus V_{n-1}$ zu einer Basis von ${}V$ ergänzen. Bezüglich dieser Basis wird ${}\varphi$ durch eine Matrix der Gestalt

${\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1,n-1}&a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\a_{n-1,1}&\cdots &a_{n-1,n-1}&a_{n-1,n}\\0&\ldots &0&a_{nn}\end{pmatrix}}$

beschrieben. Die ${}(n-1)\times (n-1)$-Untermatrix beschreibt dabei die Einschränkung ${}\varphi {|}_{V_{n-1}}$ von ${}\varphi$ auf ${}V_{n-1}$ bezüglich der gegebenen Basis. Da man das charakteristische Polynom mit jeder beschreibenden Matrix ausrechnen kann, ist (Entwicklung nach der letzten Zeile)

${}\chi _{\varphi }=\chi _{\varphi {|}_{V_{n-1}}}\cdot (X-a_{nn})\,.$

Daher muss auch das charakteristische Polynom ${}\chi _{\varphi {|}_{V_{n-1}}}$ in Linearfaktoren zerfallen. Wir können also auf

$\varphi {|}_{V_{n-1}}\colon V_{n-1}\longrightarrow V_{n-1}$

die Induktionsvoraussetzung anwenden und erhalten das Resultat.

$\Box$

 

Satz

Es sei ${}M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {C} })$ eine quadratische Matrix mit komplexen Einträgen.

Dann ist ${}M$ trigonalisierbar.

Beweis

Dies folgt aus Satz 28.15 und dem Fundamentalsatz der Algebra.

$\Box$

Fußnoten

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