Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Vorlesung 44/latex
\setcounter{section}{44}
\zwischenueberschrift{Bilinearformen}
Reelle Skalarprodukte sind positiv definite symmetrische Bilinearformen. In dieser Vorlesung besprechen wir Bilinearformen allgemein. Neben Skalarprodukten sind die Minkowski-Formen, mit denen man die spezielle Relativitätstheorie beschreiben kann, und die Hesse-Formen wichtig, die in der höherdimensionalen Analysis betrachtet werden, um Extrema von Funktionen in mehreren Variablen zu bestimmen, siehe die folgenden Vorlesungen.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Eine Abbildung
\maabbeledisp {} {V \times V } {K
} {(v,w)} {\left\langle v , w \right\rangle
} {,}
heißt \definitionswort {Bilinearform}{,} wenn für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die induzierten Abbildungen
\maabbeledisp {} {V} {K
} {w} { \left\langle v , w \right\rangle
} {,}
und für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{w
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die induzierten Abbildungen
\maabbeledisp {} {V} {K
} {v} { \left\langle v , w \right\rangle
} {,}
$K$-\definitionsverweis {linear}{}{}
sind.
}
Bilinear bedeutet einfach multilinear in zwei Komponenten, diese Eigenschaft haben wir schon im Zusammenhang mit Determinanten kennengelernt. Ein extremes Beispiel ist die \stichwort {Nullform} {,} die jedem Paar den Nullwert zuordnet. Es ist einfach, eine Vielzahl von Bilinearformen auf dem $K^n$ anzugeben.
\inputbeispiel{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ = }{K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_{ij}
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1
}
{ \leq }{i,j
}
{ \leq }{n
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
fixiert. Dann ist die Zuordnung
\mathdisp {( \begin{pmatrix} x_1 \\\vdots\\ x_n \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} y_1 \\\vdots\\ y_n \end{pmatrix} ) \longmapsto \Psi(x_1 , \ldots , x_n,y_1 , \ldots , y_n) = \sum_{ij} a_{ij} x_iy_j} { }
eine
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{.}
Bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_{ij}
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle $i,j$ ist dies die Nullform; bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_{ij}
}
{ =} { \delta_{ij}
}
{ =} { \begin{cases} 1, \text{ falls } i = j \, , \\ 0 \text{ sonst} \, , \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
liegt das Standardskalarprodukt vor
\zusatzklammer {wobei der Ausdruck für jeden Körper einen Sinn ergibt, aber die Eigenschaft, positiv definit zu sein, gegenstandslos ist} {} {.}
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Psi(x_1 , \ldots , x_4 ,y_1 , \ldots , y_4)
}
{ =} { x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3-x_4y_4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
spricht man von einer \stichwort {Minkowski-Form} {.} Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Psi(x_1,x_2,y_1,y_2)
}
{ =} { x_1y_2-x_2y_1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
handelt es sich um die Determinante im zweidimensionalen Fall.
}
\zwischenueberschrift{Die Gramsche Matrix}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektor\-raum}{}{}
und
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
auf $V$. Es sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$. Dann heißt die
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\left\langle v_{ i } , v_{ j } \right\rangle _{ 1 \leq i , j \leq n }} { }
die \definitionswort {Gramsche Matrix}{} von
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} bezüglich dieser Basis.
}
In
Beispiel 44.2
bildet
\mathl{(a_{ij})_{ij}}{} die Gramsche Matrix der Bilinearform $\Psi$ bezüglich der Standardbasis des $K^n$, im Fall des Standardskalarproduktes ist das die Einheitsmatrix. Wenn die Gramsche Matrix zu einer Bilinearform
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} bezüglich einer Basis
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} gegeben ist, so kann man daraus
\mathl{\left\langle v , w \right\rangle}{} für beliebige Vektoren berechnen. Man schreibt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ = }{ \sum_{i = 1}^n b_i v_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{w
}
{ = }{ \sum_{i= 1}^n c_i v_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und erhält mit dem allgemeinen Distributivgesetz
\zusatzklammer {siehe
Aufgabe 44.26} {} {}
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \left\langle v , w \right\rangle
}
{ =} { \left\langle \sum_{i = 1}^n b_i v_i , \sum_{j = 1}^n c_j v_j \right\rangle
}
{ =} { \sum_{ 1 \leq i , j \leq n} b_i c_j \left\langle v_i , w_j \right\rangle
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n b_i { \left( \sum_{j = 1 }^n c_j \left\langle v_i , w_j \right\rangle \right) }
}
{ =} { (b_1 , \ldots , b_n) G \begin{pmatrix} c_1 \\\vdots\\ c_n \end{pmatrix}
}
}
{}
{}{.}
Man erhält also den Wert der Bilinearform an zwei Vektoren, indem man die Gramsche Matrix auf das Koordinatentupel des zweiten Vektors anwendet und das Ergebnis
\zusatzklammer {ein Spaltenvektor} {} {}
mit dem Koordinatentupel des ersten Vektors als Zeilentupel von links multipliziert. Kurz und etwas ungenau ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , w \right\rangle
}
{ =} { { v^{ \text{tr} } } Gw
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Bilinearform/Gramsche Matrix unter Basiswechsel/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektor\-raum}{}{}
und
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
auf $V$. Es seien
\mathkor {} {\mathfrak{ v } = v_1 , \ldots , v_n} {und} {\mathfrak{ w } = w_1 , \ldots , w_n} {}
zwei
\definitionsverweis {Basen}{}{}
von $V$ und es seien
\mathkor {} {G} {bzw.} {H} {}
die
\definitionsverweis {Gramschen Matrizen}{}{}
von
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} bezüglich dieser Basen.}
\faktvoraussetzung {Zwischen den Basiselementen gelte die Beziehungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{w_j
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n a_{ij} v_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
die wir durch die
\definitionsverweis {Übergangsmatrix}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A
}
{ = }{ { \left( a_{ij} \right) }_{i,j}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ausdrücken.}
\faktfolgerung {Dann besteht zwischen den Gramschen Matrizen die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{H
}
{ =} { { A^{ \text{tr} } } G A
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \left\langle w_r , w_s \right\rangle
}
{ =} { \left\langle \sum_{i = 1}^n a_{ir} v_i , \sum_{k = 1}^n a_{ks} v_k \right\rangle
}
{ =} { \sum_{1 \leq i,k \leq n} a_{ir} a_{ks} \left\langle v_i , v_k \right\rangle
}
{ =} { \sum_{1 \leq i \leq n} a_{ir} { \left( \sum_{1 \leq k \leq n} a_{ks} \left\langle v_i , v_k \right\rangle \right) }
}
{ =} { \sum_{1 \leq i \leq n} a_{ir} { \left( G \circ A \right) }_{is}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \left( { A^{ \text{tr} } } \circ { \left( G \circ A \right) } \right) }_{rs}
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
\zwischenueberschrift{Symmetrische Bilinearformen}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
auf $V$. Die Bilinearform heißt \definitionswort {symmetrisch}{,} wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , w \right\rangle
}
{ =} { \left\langle w , v \right\rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v,w
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine
\definitionsverweis {symmetrische Bilinearform}{}{}
auf $V$. Zwei Vektoren
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v,w
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißen \definitionswort {orthogonal}{,} wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , w \right\rangle
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine
\definitionsverweis {symmetrische Bilinearform}{}{}
auf $V$. Eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathl{v_i,\, i \in I}{,} von $V$ heißt \definitionswort {Orthogonalbasis}{,} wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v_i , v_j \right\rangle
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{i
}
{ \neq} {j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
} Für eine symmetrische Bilinearform ist es durchaus möglich, dass, anders als bei Skalarprodukten, ein von $0$ verschiedener Vektor zu sich selbst orthogonal ist. Es kann auch, im ausgearteten Fall, von $0$ verschiedene Vektoren geben, die orthogonal zu allen Vektoren sind. Wie im Fall eines Skalarproduktes gibt es Orthogonalbasen.
{Symmetrische Bilinearform/Orthogonalbasis/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine
\definitionsverweis {symmetrische Bilinearform}{}{}
auf $V$.}
\faktfolgerung {Dann besitzt $V$ eine
\definitionsverweis {Orthogonalbasis}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 44.9. }
\zwischenueberschrift{Definitheit von Bilinearformen}
Wir möchten die symmetrischen Bilinearformen über den reellen Zahlen klassifizieren\zusatzfussnote {Unter einer \stichwort {Klassifikation} {} versteht man in der Mathematik, eine Menge an mathematischen Objekten vollständig und übersichtlich zu beschreiben, Kriterien anzugeben, wann zwei Objekte im Wesentlichen gleich
\zusatzklammer {oder äquivalent} {} {}
sind und die verschiedenen Objekte durch numerische Invariante zu erfassen und für die Objekte möglichst einfache Vertreter anzugeben. Beispielsweise werden endlichdimensionale Vektorräume durch ihre Dimension klassifiziert, gleichdimensionale Vektorräume sind zueinander isomorph.
Lineare Abbildungen von ${\mathbb C}^n$ in sich werden über die jordansche Normalform klassifiziert. Die entscheidende Frage ist hierbei, welche Jordanblöcke mit welcher Länge und zu welchen Eigenwerten wie oft vorkommen? Hier besprechen wir den Typ einer reell-symmetrischen Bilinearform. Andere Klassifikationsresultate in der linearen Algebra beziehen sich auf quadratische Formen und auf endliche Bewegungsgruppen im Raum.} {} {.}
Dabei spielen die Skalarprodukte als Extremfall eine Schlüsselrolle.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {symmetrischen}{}{}
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Diese Bilinearform heißt
\aufzaehlungfuenf{\definitionswort {positiv definit}{,} wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left\langle v , v \right\rangle
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mathbed {v \in V} {}
{v \neq 0} {}
{} {} {} {}
ist.
}{\definitionswort {negativ definit}{,} wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left\langle v , v \right\rangle
}
{ < }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mathbed {v \in V} {}
{v \neq 0} {}
{} {} {} {}
ist.
}{\definitionswort {positiv semidefinit}{,} wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left\langle v , v \right\rangle
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}{\definitionswort {negativ semidefinit}{,} wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left\langle v , v \right\rangle
}
{ \leq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}{\definitionswort {indefinit}{,} wenn
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} weder positiv semidefinit noch negativ semidefinit ist.
}
}
Positiv definite symmetrische Bilinearformen sind genau die reellen Skalarprodukte. Eine indefinite Form liegt vor, wenn es Vektoren \mathkor {} {v} {und} {w} {} mit \mathkor {} {\left\langle v , v \right\rangle > 0} {und} {\left\langle w , w \right\rangle < 0} {} gibt. Die Nullform ist zugleich positiv semidefinit und negativ semidefinit, aber weder positiv definit noch negativ definit \zusatzklammer {außer auf dem Nullraum} {} {.}
Eine Bilinearform auf $V$ kann man auf einen Untervektorraum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
einschränken, wodurch sich eine Bilinearform auf $U$ ergibt. Wenn die ursprüngliche Form positiv definit ist, so überträgt sich dies auf die Einschränkung. Allerdings kann eine beliebige Form eingeschränkt auf gewisse Unterräume positiv definit werden und auf andere negativ definit. Dies führt zu folgender Definition.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {symmetrischen}{}{}
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Man sagt, dass eine solche Bilinearform den \definitionswort {Typ}{}
\mathdisp {(p,q)} { }
besitzt, wobei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ p
}
{ \defeq} {{\max { \left( \dim_{ \R } { \left( U \right) } , U \subseteq V, \, \left\langle - , - \right\rangle {{|}}_U \text{ positiv definit} \right) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ q
}
{ \defeq} {{\max { \left( \dim_{ \R } { \left( U \right) } , U \subseteq V, \, \left\langle - , - \right\rangle {{|}}_U \text{ negativ definit} \right) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
Bei einem Skalarprodukt auf einem $n$-dimensionalen reellen Vektorraum ist der Typ
\mathl{(n,0)}{.} Nach
Aufgabe 44.11
ist stets
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{p+q
}
{ \leq} { \dim_{ K } { \left( V \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}} { }
ist die Gramsche Matrix zu einer symmetrischen Bilinearform auf dem $\R^3$, sagen wir bezüglich der Standardbasis. Die Einschränkung der Form auf
\mathl{\R e_1}{} ist positiv definit, die Einschränkung auf
\mathl{\R e_2}{} ist negativ definit, die Einschränkung auf
\mathl{\R e_3}{} ist die Nullform. Daher sind
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p,q
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
es ist aber nicht unmittelbar klar, ob es nicht auch zweidimensionale Untervektorräume geben könnte, auf denen die Einschränkung positiv definit ist. Eine Untersuchung \anfuehrung{aller}{} Untervektorräume, wie es die Definition verlangt, scheint aussichtslos. Es gibt aber mehrere Möglichkeiten, den Typ einer symmetrischen Bilinearform zu bestimmen, ohne alle Untervektorräume von $V$ zu überblicken. Die folgende Aussage nennt man den \stichwort {Trägheitssatz von Sylvester} {.}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {James_Joseph_Sylvester.jpg} }
\end{center}
\bildtext {James Joseph Sylvester (1814-1897)} }
\bildlizenz { James Joseph Sylvester.jpg } {nicht bekannt} {} {Commons} {PD} {Altes Photo}
\inputfaktbeweisnichtvorgefuehrt
{Bilinearform/Symmetrisch/Typ/Trägheitssatz/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {symmetrischen}{}{}
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} vom
\definitionsverweis {Typ}{}{}
\mathl{(p,q)}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die
\definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{}
von
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} bezüglich einer jeden
\definitionsverweis {Orthogonalbasis}{}{}
eine
\definitionsverweis {Diagonalmatrix}{}{}
mit $p$ positiven und $q$ negativen Einträgen.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Bezüglich einer
\definitionsverweis {Orthogonalbasis}{}{}
\mathl{u_1 , \ldots , u_n}{} von $V$
\zusatzklammer {die es nach
Fakt *****
gibt} {} {}
hat die Gramsche Matrix natürlich Diagonalgestalt. Es sei $p'$ die Anzahl der positiven Diagonaleinträge und $q'$ die Anzahl der negativen Diagonaleinträge. Die Basis sei so geordnet, dass die ersten $p'$ Diagonaleinträge positiv, die folgenden $q'$ Diagonaleinträge negativ und die übrigen $0$ seien. Auf dem $p'$-dimensionalen Unterraum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ = }{ \langle u_1 , \ldots , u_{p'} \rangle
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die eingeschränkte Bilinearform
\definitionsverweis {positiv definit}{}{,}
sodass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p'
}
{ \leq }{p
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{W
}
{ = }{ \langle u_{p'+1} , \ldots , u_{n} \rangle
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
auf diesem Unterraum ist die Bilinearform
\definitionsverweis {negativ semidefinit}{}{.}
Dabei ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ = }{U \oplus W
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
und diese beiden Räume sind orthogonal zueinander.
Angenommen, es gebe einen Unterraum $U'$, auf dem die Bilinearform positiv definit ist, und dessen Dimension $p$ größer als $p'$ ist. Die Dimension von $W$ ist
\mathl{n-p'}{} und daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{W \cap U'
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nach
Fakt *****.
Für einen Vektor
\mathbed {w \in W \cap U'} {}
{w \neq 0} {}
{} {} {} {,}
ergibt sich aber direkt der Widerspruch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left\langle w , w \right\rangle
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left\langle w , w \right\rangle
}
{ \leq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Indem man die Orthogonalvektoren umskaliert, kann man erreichen, dass in der Diagonalen nur die Werte
\mathl{1,-1,0}{} vorkommen. Die auf dem $\R^n$ durch die Diagonalmatrix mit $p$ Einsen, $q$ Minuseinsen und
\mathl{n-p-q}{} Nullen gegebene Form zeigt, dass jeder Typ, der
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{p+q
}
{ \leq} {n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllt, realisiert werden kann. Man spricht von der \stichwort {Standardform zum Typ} {}
\mathl{(p,q)}{} auf dem $\R^n$.
\zwischenueberschrift{Typkriterien für symmetrische Bilinearformen}
Es gibt mehrere Methoden, den Typ einer symmetrischen Bilinearform zu bestimmen, wobei der Sylvestersche Trägheitssatz eine erste Möglichkeit ist, die aber den Nachteil hat, dass man eine Orthogonalbasis bestimmen muss. Wir besprechen das \stichwort {Minorenkriterium} {} und das \stichwort {Eigenwertkriterium} {.} Unter einem \stichwort {Minor} {} versteht man die Determinante einer quadratischen Untermatrix einer Matrix. Man könnte also bei dem folgenden Kriterium genauso gut von einem Determinantenkriterium sprechen.
\inputfaktbeweisnichtvorgefuehrt
{Bilinearform/Symmetrisch/Minorenkriterium für Typ/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine
\definitionsverweis {symmetrische Bilinearform}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{}
\definitionsverweis {reellen Vektorraum}{}{}
$V$ und sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$. Es sei $G$ die
\definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{}
zu
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} bezüglich dieser Basis.}
\faktvoraussetzung {Die
\definitionsverweis {Determinanten}{}{}
$D_k$ der
\definitionsverweis {quadratischen}{}{}
\definitionsverweis {Untermatrizen}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M_k
}
{ =} { ( \left\langle v_i , v_j \right\rangle )_{1 \leq i,j \leq k}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
seien für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ = }{1 , \ldots , n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
von $0$ verschieden. Es sei $a$ die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge
\mathdisp {D_0=1,\, D_1= \det M_1 ,\, D_2 = \det M_2 , \ldots , D_n = \det M_n = \det G} { . }
}
\faktfolgerung {Dann ist
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} vom
\definitionsverweis {Typ}{}{}
\mathl{(n-a,a)}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Da nach Voraussetzung insbesondere die Determinante der Gramschen Matrix nicht $0$ ist, ist nach
Aufgabe *****
die Bilinearform
\definitionsverweis {nicht ausgeartet}{}{}
und daher hat der Typ die Form
\mathl{(n-q,q)}{.} Wir müssen zeigen, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ = }{a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
Wir beweisen die Aussage durch Induktion über die Dimension von $V$, wobei der Induktionsanfang trivial ist. Die Aussage sei bis zur Dimension
\mathl{n-1}{} bewiesen und es liege ein $n$-dimensionaler Raum mit einer Basis
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} mit den angegebenen Eigenschaften vor. Der
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U
}
{ =} { \langle v_1 , \ldots , v_{n-1} \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
hat die Dimension
\mathl{n-1}{} und die Folge der Determinanten der Untermatrizen der
\definitionsverweis {Gramschen Matrix}{}{}
zur eingeschränkten Form
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle {{|}}_U}{} stimmt mit der vorgegebenen Folge überein, wobei lediglich das letzte Glied
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ D_n
}
{ =} { \det M_n
}
{ =} { \det G
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
weggelassen wird. Nach Induktionsvoraussetzung besitzt
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle {{|}}_U}{} den Typ
\mathl{(n-1-b,b)}{,} wobei $b$ die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge
\mathdisp {D_0=1,\, D_1 , \ldots , D_{n-1}} { }
ist. Aufgrund der Definition des
\definitionsverweis {Typs}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b
}
{ \leq} {q
}
{ \leq} {b+1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
da ein $q$-dimensionaler Untervektorraum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{W
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
auf dem die Bilinearform
\definitionsverweis {negativ definit}{}{}
ist, zu einem Untervektorraum
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{W'
}
{ =} {U \cap W
}
{ \subseteq} { U
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
führt, der die Dimension
\mathkor {} {q} {oder} {q-1} {}
besitzt und auf dem die eingeschränkte Form ebenfalls negativ definit ist. Nach
Aufgabe *****
ist das Vorzeichen von
\mathl{D_{n-1}}{} gleich
\mathl{(-1)^b}{} und das Vorzeichen von
\mathl{D_n}{} gleich
\mathl{(-1)^q}{.} Das bedeutet, dass zwischen
\mathkor {} {D_{n-1}} {und} {D_n} {}
ein zusätzlicher Vorzeichenwechsel
\zusatzklammer {und somit
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{a
}
{ = }{b+1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
genau dann vorliegt, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{q
}
{ =} {b+1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
\inputfaktbeweisnichtvorgefuehrt
{Bilinearform/Symmetrisch/Minorenkriterium für Definitheit/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine
\definitionsverweis {symmetrische Bilinearform}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{}
\definitionsverweis {reellen Vektorraum}{}{}
und sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$. Es sei $G$ die
\definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{}
zu
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} bezüglich dieser Basis und es seien $D_k$ die
\definitionsverweis {Determinanten}{}{}
der
\definitionsverweis {quadratischen}{}{}
\definitionsverweis {Untermatrizen}{}{}
\mathdisp {M_k = ( \left\langle v_i , v_j \right\rangle )_{1 \leq i,j \leq k}, \, k=1 , \ldots , n} { . }
}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungzwei {Genau dann ist
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{}
\definitionsverweis {positiv definit}{}{,}
wenn alle $D_k$ positiv sind.
} {Genau dann ist
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{}
\definitionsverweis {negativ definit}{}{,}
wenn das Vorzeichen in der Folge
\mathl{D_0=1,\, D_1, \, D_2 , \ldots , D_n}{} an jeder Stelle wechselt.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{(1). \teilbeweis {}{}{}
{Wenn die Bilinearform
\definitionsverweis {positiv definit}{}{}
ist, so ist nach
Aufgabe *****
das Vorzeichen der
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
der
\definitionsverweis {Gramschen Matrix}{}{}
gleich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (-1)^0
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also positiv. Da die Einschränkung der Form auf die Unterräume
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U_i
}
{ = }{ \langle v_1 , \ldots , v_i \rangle
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ebenfalls positiv definit ist, sind auch die Determinanten zu den Untermatrizen positiv.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Wenn umgekehrt die Determinanten alle positiv sind, so folgt aus
Fakt *****, dass die Bilinearform positiv definit ist.}
{}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(2) folgt aus (1), indem man die negative Bilinearform, also
\mathl{- \left\langle - , - \right\rangle}{,} betrachtet.}
{}
Wir erwähnen noch das folgende \stichwort {Eigenwertkriterium} {.}
\inputfakt{Bilinearform/Symmetrisch/Eigenwertkriterium/Fakt}{Satz}{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine
\definitionsverweis {symmetrische Bilinearform}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{}
\definitionsverweis {reellen Vektorraum}{}{}
und sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$. Es sei $G$ die
\definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{}
zu
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} bezüglich dieser Basis.}
\faktfolgerung {Dann besitzt der
\definitionsverweis {Typ}{}{}
\mathl{(p,q)}{} der Form folgende Interpretation: $p$ ist die Summe der Dimensionen der
\definitionsverweis {Eigenräume}{}{}
zu $G$ zu positiven
\definitionsverweis {Eigenwerten}{}{}
und $q$ ist die Summe der Dimensionen der Eigenräume zu $G$ zu negativen Eigenwerten.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}