Kurs:Reelle und komplexe Analysis (Sheffield 2007)/Abschnitt 2.2/kontrolle

Sei ${}f\colon {\mathbb {K} }^{n}\rightarrow {\mathbb {K} }$ eine durch

(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto f(x_{1},\ldots ,x_{n})

gegebene Abbildung. Betrachtet man für einen fixierten Index ${}i$ die übrigen Variablen ${}x_{j}$ , ${}j\neq i$ , als Konstanten, so erhält man eine Abbildung ${}{\mathbb {K} }\rightarrow {\mathbb {K} }$ , die nur von ${}x_{i}$ abhängt (entsprechend betrachtet man die übrigen Variablen als Parameter). Falls diese Funktion, als Funktion in einer Variablen, differenzierbar ist, so sagen wir, dass ${}f$ partiell differenzierbar bezüglich ${}x_{i}$ ist und bezeichnen diese Ableitung mit ${}\partial f/\partial x_{i}$ . Der Vorteil der partiellen Ableitungen liegt darin, dass man diese konkret berechnen kann. Jedoch hängen sie von der Wahl einer Basis ab. Die partiellen Ableitungen sind selbst Abbildungen von ${}{\mathbb {K} }^{n}\rightarrow {\mathbb {K} }$ . Im Folgenden wollen wir den Zusammenhang zwischen den partiellen Ableitungen und dem totalen Differential verstehen.

Definition Referenznummer erstellen

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale normierte Vektorräume, ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge, und ${}f\colon G\rightarrow W$ eine Abbildung. Weiter sei ${}P\in G$ ein Punkt und ${}v\in V$ ein fixierter Vektor. Dann heißt ${}f$ differenzierbar in ${}P$ in Richtung ${}v$ , falls der Grenzwert

\operatorname {lim} _{s\rightarrow 0,s\neq 0}\,{\frac {f(P+sv)-f(P)}{s}}

existiert. In diesem Fall heißt dieser Grenzwert die Ableitung von ${}f$ in ${}P$ in Richtung ${}v$ . Er wird mit

{\left(D_{v}f\right)}{\left(P\right)}

bezeichnet.

Die Existenz von ${}{\left(D_{v}\varphi \right)}{\left(P\right)}$ hängt nur von der Abbildung ${}{\mathbb {K} }\supseteq U{\left(0,\delta \right)}\longrightarrow W$ , ${}s\longmapsto \varphi (P+sv)$ , ab (wobei das Intervall (im reellen Fall) bzw. der offene Ball (im komplexen Fall) so gewählt ist, dass ${}s\in U{\left(0,\delta \right)}$ auch ${}P+sv\in G$ impliziert). Die Richtungsableitung in einem Punkt und in eine Richtung ist ein Vektor in ${}W$ .

Totale Differenzierbarkeit impliziert richtungsweise Differenzierbarkeit.

Proposition Referenznummer erstellen

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$ - Vektorräume, es sei ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge und ${}\varphi \colon G\rightarrow W$ eine im Punkt ${}P\in G$ differenzierbare Abbildung.

Dann ist ${}\varphi$ in ${}P$ in jede Richtung ${}v$ differenzierbar, und es gilt

${}{\left(D_{v}\varphi \right)}{\left(P\right)}={\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}\,.$

Beweis

Da ${}\left(D\varphi \right)_{P}$ eine lineare Abbildung von ${}V$ nach ${}W$ ist, liefert die Anwendung dieser Abbildung auf einen Vektor ${}v\in V$ einen Vektor in ${}{\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}\in W$ . Nach Voraussetzung haben wir

{}\varphi (P+v)=\varphi (P)+{\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}+\Vert {v}\Vert \cdot r(v)\,

(mit den üblichen Bedingungen an ${}r$ ). Insbesondere gilt für (hinreichend kleines) ${}s\in {\mathbb {K} }$

{}\varphi (P+sv)=\varphi (P)+s{\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}+\vert {s}\vert \cdot \Vert {v}\Vert \cdot r(sv)\,.

Also gilt

{}{\begin{aligned}\operatorname {lim} _{s\rightarrow 0,s\neq 0}\,{\frac {\varphi (P+sv)-\varphi (P)}{s}}&=\operatorname {lim} _{s\rightarrow 0,s\neq 0}\,{\frac {s{\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}+\vert {s}\vert \cdot \Vert {v}\Vert \cdot r(sv)}{s}}\\&=\operatorname {lim} _{s\rightarrow 0,s\neq 0}\,\left({\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}+{\frac {\vert {s}\vert }{s}}\Vert {v}\Vert \cdot r(sv)\right)\\&={\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)},\end{aligned}}

da ${}\operatorname {lim} _{s\rightarrow 0}\,r(sv)=0$ und der Ausdruck ${}{\frac {\vert {s}\vert }{s}}\Vert {v}\Vert$ beschränkt ist.

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Die partiellen Ableitungen sind im Wesentlichen die Richtungsableitungen in Richtung der Basisvektoren. Insbesondere machen partielle Ableitungen nur dann Sinn, wenn eine Basis im Vektorraum, der den Definitionsbereich einer Abbildung darstellt, gewählt worden ist.

Definition Referenznummer erstellen

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {K} }^{n}$ offen und sei eine Abbildung ${}f\colon G\rightarrow {\mathbb {K} }^{m}$ durch

{}f(x_{1},\ldots ,x_{n})=(f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,f_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n}))\,

gegeben. Es sei ${}P=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in G$ ein Punkt. Für fixierte Indizes ${}i$ und ${}j$ betrachten wir die Abbildung

I\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x_{i}\longmapsto f_{j}(a_{1},\ldots ,a_{i-1},x_{i},a_{i+1},\ldots ,a_{n}),

(wobei

{}I

ein reelles Intervall (bzw. eine offene Kreisscheibe) mit

${}a_{i}\in I$ derart sei, dass ${}\{(a_{1},\ldots ,a_{i-1})\}\times I\times \{(a_{i+1},\ldots ,a_{n})\}\subseteq G$ gilt) als Funktion in einer Variablen, wobei die übrigen Variablen ${}a_{k}$ , ${}k\neq i$ , fixiert seien. Ist diese Funktion in ${}a_{i}$ differenzierbar, so heißt ${}f_{j}$ partiell differenzierbar in ${}P$ bezüglich der Koordinate ${}x_{i}$ . Man bezeichnet diese Ableitung (welche ein Element in ${}{\mathbb {K} }$ ist) mit

{\frac {\partial f_{j}}{\partial x_{i}}}(P)

und nennt sie die ${}i$ -te partielle Ableitung von ${}f_{j}$ in ${}P$ .

Die Abbildung ${}f$ heißt partiell differenzierbar im Punkt ${}P$ , falls für alle ${}i$ und ${}j$ die partiellen Ableitungen in ${}P$ existieren. Die ${}i$ -te partielle Ableitung von ${}f$ in ${}P$ wird mit

{}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(P):={\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{i}}}(P),\ldots ,{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{i}}}(P)\right)}\,

bezeichnet.

Lemma Referenznummer erstellen

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {K} }^{n}$ offen, ${}P\in G$ ein Punkt und sei

f\colon G\longrightarrow {\mathbb {K} }^{m},\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto f(x_{1},\ldots ,x_{n})=(f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,f_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n})),

eine Abbildung.

Dann ist ${}f$ in ${}P$ genau dann partiell differenzierbar, wenn die Richtungsableitungen von sämtlichen Komponentenfunktionen ${}f_{j}$ in ${}P$ in Richtung eines jeden Standardvektors existieren.

In diesem Fall stimmt die ${}i$ -te partielle Ableitung ${}{\frac {\partial f_{j}}{\partial x_{i}}}(P)$ von ${}f$ in ${}P$ mit der Richtungsableitung ${}{\left(D_{e_{i}}f_{j}\right)}{\left(P\right)}$ von ${}f_{j}$ in ${}P$ in Richtung des ${}i$ -ten Standardvektors ${}e_{i}$ überein, und ${}f$ ist in ${}P$ genau dann partiell differenzierbar, wenn die Richtungsableitungen in ${}P$ in Richtung eines jeden Standardvektors existieren.

Beweis

Es sei ${}P=(a_{1},\ldots ,a_{n})$ . Wir können uns wegen Fakt ***** auf eine einzige Komponentenfunktion ${}f_{j}$ beschränken. Da partielle Ableitungen die Ableitungen von Funktionen in einer Variablen sind, ergibt sich

{}{\begin{aligned}{\frac {\partial f_{j}}{\partial x_{i}}}(P)&=\operatorname {lim} _{s\rightarrow 0,s\neq 0}\,{\frac {f_{j}(a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i}+s,a_{i+1},\ldots ,a_{n})-f_{j}(a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i},a_{i+1},\ldots ,a_{n})}{s}}\\&=\operatorname {lim} _{s\rightarrow 0,s\neq 0}\,{\frac {f_{j}(P+se_{i})-f_{j}(P)}{s}}\\&={\left(D_{e_{i}}f_{j}\right)}{\left(P\right)}.\,\end{aligned}}

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Das folgende einfache Beispiel zeigt, dass durchaus alle Richtungsableitungen existieren können (und damit insbesondere alle partiellen Ableitungen), die Abbildung selbst aber noch nicht einmal stetig sein muss (und damit erst recht nicht total differenzierbar).

Beispiel Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Funktion ${}f\colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ mit

f(x,y):={\begin{cases}{\frac {xy^{3}}{x^{2}+y^{6}}}{\text{ für }}(x,y)\neq (0,0)\,,\\0{\text{ für }}(x,y)=(0,0)\,.\end{cases}}

Für einen Vektor ${}v=(a,b)$ und einen reellen Parameter ${}s$ erhalten wir auf der Geraden ${}\mathbb {R} v$ die Funktion

f_{v}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,s\longmapsto f(sa,sb)={\frac {sas^{3}b^{3}}{s^{2}a^{2}+s^{6}b^{6}}}={\frac {s^{2}ab^{3}}{a^{2}+s^{4}b^{6}}}.

Für ${}a\neq 0$ ist der Nenner stets positiv und die Funktion ${}f_{v}$ ist stetig mit dem Wert ${}0$ bei ${}s=0$ , und als rationale Funktion in ${}s$ differenzierbar. Für ${}a=0$ ist die Funktion ${}f_{v}$ konstant ${}=0$ und damit ebenfalls differenzierbar. Also existieren in ${}0$ alle Richtungsableitungen zu ${}f$ . Die Funktion ${}f$ ist allerdings nicht stetig: Für die Folge ${}(1/n^{3},1/n)$ (die gegen ${}0=\left(0,\,0\right)$ konvergiert) gilt

{}f{\left({\frac {1}{n^{3}}},{\frac {1}{n}}\right)}={\frac {(1/n^{3})(1/n^{3})}{(1/n^{6})+(1/n^{6})}}={\frac {1}{2}}\,,

aber ${}f(0,0)=0$ .

In diesem Beispiel sind die partiellen Ableitungen nicht stetig in ${}0$ .

Vor dem Beweis der nächsten Aussage erinnern wir an den Mittelwertsatz für Kurven: Sei ${}h\colon [a,b]\rightarrow {\mathbb {K} }^{n}$ differenzierbar. Dann existiert ein ${}c\in [a,b]$ mit

\Vert {h(b)-h(a)}\Vert \leq (b-a)\Vert {h'(c)}\Vert .

Satz Referenznummer erstellen

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {K} }^{n}$ offen und ${}\varphi \colon G\rightarrow {\mathbb {K} }^{m}$ eine Abbildung. Es seien ${}x_{i}$ , ${}i=1,\ldots ,n$ , die Koordinaten von ${}{\mathbb {K} }^{n}$ und ${}P\in G$ ein Punkt. Es sei angenommen, dass alle partiellen Ableitungen von ${}\varphi$ in einer offenen Umgebung von ${}P$ existieren und in ${}P$ stetig sind.

Dann ist ${}\varphi$ in ${}P$ (total) differenzierbar.

Ist die Abbildung ${}\varphi$ bezüglich der Standardbasis des ${}{\mathbb {K} }^{m}$ durch die Koordinatenfunktionen ${}f_{1},\ldots ,f_{m}$ gegeben, so wird unter diesen Bedingungen das totale Differential in ${}P$ durch die Jacobi-Matrix

{\left({\frac {\partial f_{j}}{\partial x_{i}}}(P)\right)}_{1\leq i\leq n,1\leq j\leq m}

beschrieben.

Beweis

Indem wir ${}G$ durch eine eventuell kleinere offene Umgebung von ${}P$ ersetzen, können wir annehmen, dass auf ${}G$ die Richtungsableitungen

Q\longmapsto (D_{i}\varphi )(Q):={\left(D_{e_{i}}\varphi \right)}{\left(Q\right)}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{i}}}(Q)\\\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{i}}}(Q)\end{pmatrix}}\in {\mathbb {K} }^{m}

existieren und in ${}P$ stetig sind. Daher ist nach Fakt ***** die lineare Abbildung

{\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{m},\,v=(v_{1},\ldots ,v_{n})\longmapsto \sum _{i=1}^{n}v_{i}(D_{i}\varphi )(P),

der einzige Kandidat für das totale Differential. Daher müssen wir zeigen, dass diese lineare Abbildung die definierende Eigenschaft des totalen Differentials besitzt. Setze ${}P_{i}:=P+v_{1}e_{1}+\cdots +v_{i}e_{i}$ (abhängig von ${}v$ ). Dann gelten mit dem Ansatz

{}r(v):={\frac {\varphi (P+v)-\varphi (P)-\sum _{i=1}^{n}v_{i}(D_{i}(\varphi ))(P)}{\Vert {v}\Vert }}\,

(für ${}v$ hinreichend klein) die Abschätzungen

{}{\begin{aligned}\Vert {r(v)}\Vert &={\frac {\Vert {\varphi (P+v)-\varphi (P)-\sum _{i=1}^{n}v_{i}(D_{i}(\varphi ))(P)}\Vert }{\Vert {v}\Vert }}\\&={\frac {\Vert {\sum _{i=1}^{n}(\varphi (P_{i})-\varphi (P_{i-1})-v_{i}(D_{i}(\varphi ))(P))}\Vert }{\Vert {v}\Vert }}\\&\leq \sum _{i=1}^{n}{\frac {\Vert {\varphi (P_{i})-\varphi (P_{i-1})-v_{i}(D_{i}(\varphi ))(P)}\Vert }{\Vert {v}\Vert }}\\&=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\Vert {\varphi (P_{i-1}+v_{i}e_{i})-\varphi (P_{i-1})-v_{i}(D_{i}(\varphi ))(P)}\Vert }{\Vert {v}\Vert }}.\end{aligned}}

Wir betrachten jeden Summanden einzeln. Für fixiertes ${}i$ ist die Abbildung (die auf dem Einheitsintervall definiert ist)

h_{i}:s\longmapsto \varphi (P_{i-1}+sv_{i}e_{i})-sv_{i}(D_{i}(\varphi ))(P)

differenzierbar (aufgrund der Existenz der partiellen Ableitungen auf ${}G$ ) mit der Ableitung

s\longmapsto v_{i}(D_{i}(\varphi ))(P_{i-1}+sv_{i}e_{i})-v_{i}(D_{i}(\varphi ))(P).

Nach der Mittelwertabschätzung existiert eine reelle Zahl

{}0\leq c_{i}=1\,,

sodass (dies ist die Norm von $h_{i}(1)-h_{i}(0)$ )

{}{\begin{aligned}\Vert {\varphi (P_{i-1}+v_{i}e_{i})-\varphi (P_{i-1})-v_{i}(D_{i}(\varphi ))(P)}\Vert &\leq \Vert {v_{i}(D_{i}(\varphi ))(P_{i-1}+c_{i}v_{i}e_{i})-v_{i}(D_{i}(\varphi ))(P)}\Vert \\&=\vert {v_{i}}\vert \cdot \Vert {(D_{i}(\varphi ))(P_{i-1}+c_{i}v_{i}e_{i})-(D_{i}(\varphi ))(P)}\Vert \\&\leq \Vert {v}\Vert \cdot \Vert {(D_{i}(\varphi ))(P_{i-1}+c_{i}v_{i}e_{i})-(D_{i}(\varphi ))(P)}\Vert \,\end{aligned}}

gilt. Aufsummieren liefert also, dass unser Ausdruck ${}\Vert {r(v)}\Vert$ nach oben beschränkt ist durch

{}{\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}{\frac {\Vert {v}\Vert \cdot \Vert {(D_{i}(\varphi ))(P_{i-1}+c_{i}v_{i}e_{i})-(D_{i}(\varphi ))(P)}\Vert }{\Vert {v}\Vert }}&\leq \sum _{i=1}^{n}\Vert {(D_{i}(\varphi ))(P_{i-1}+c_{i}v_{i}e_{i})-(D_{i}(\varphi ))(P)}\Vert \\\,\end{aligned}}

Da die partiellen Ableitungen ${}D_{i}(\varphi )$ stetig in ${}P$ sind, wird die Summe rechts mit ${}v$ beliebig klein, da dann ${}P_{i-1}+c_{i}v_{i}e_{i}$ gegen ${}P$ konvergiert. Also ist der Grenzwert für ${}v\rightarrow 0$ gleich ${}0$ .

\Box

Bemerkung Referenznummer erstellen

Fakt ***** lässt sich sofort auf Polynomfunktionen in beliebig vielen Variablen anwenden, aber auch auf holomorphe Funktionen wie etwa die Exponentialfunktion oder trigonometrische Funktionen. Wie Fakt ***** zeigt, muss man allerdings vorsichtig sein, wenn man eine solche Funktion invertiert.

Beispiel Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Abbildung ${}f\colon {\mathbb {K} }^{3}\rightarrow {\mathbb {K} }^{2}$ , die durch

(x,y,z)\longmapsto {\left(xy^{2}-z^{3},\sin(xy)+x^{2}\cdot \exp z\right)}=(f_{1}(x,y,z),f_{2}(x,y,z))

gegeben sei. Die partiellen Ableitungen von ${}f_{1}$ sind

{\frac {\partial f_{1}}{\partial x}}=y^{2},\,{\frac {\partial f_{1}}{\partial y}}=2xy,\,{\frac {\partial f_{1}}{\partial z}}=-3z^{2},

und die partiellen Ableitungen von ${}f_{2}$ sind

{\frac {\partial f_{2}}{\partial x}}=y\cos(xy)+2x\cdot \exp z,\,{\frac {\partial f_{2}}{\partial y}}=x\cdot \cos(xy),\,{\frac {\partial f_{2}}{\partial z}}=x^{2}\cdot \exp(z).

Damit erhalten wir für einen beliebigen Punkt ${}P=(x,y,z)$ die Jacobi-Matrix

{\begin{pmatrix}y^{2}&2xy&-3z^{2}\\y\cos(xy)+2x\exp(z)&x\cos(xy)&x^{2}\exp(z)\end{pmatrix}}.

Für einen speziellen Punkt, z.B. ${}P=(2,1,3)$ , setzt man einfach ein:

{\begin{pmatrix}1&4&-27\\\cos(2)+4\exp(3)&2\cos(2)&4\exp(3)\end{pmatrix}}.

Das folgende Beispiel illustriert, dass das totale Differential unabhängig von der Wahl einer Basis ist, die partiellen Ableitungen aber nicht.

Beispiel Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Abbildung ${}f\colon {\mathbb {K} }^{3}\rightarrow {\mathbb {K} }$ , die durch

(x,y,z)\longmapsto 2xy^{2}+x^{2}z^{3}+z^{2}

gegeben sei. Es ist leicht die partiellen Ableitungen in jedem Punkt zu berechnen, nämlich:

\left({\frac {\partial f}{\partial x}},\,{\frac {\partial f}{\partial y}},\,{\frac {\partial f}{\partial z}}\right)_{(x,y,z)}=\left(2y^{2}+2xz^{3},\,4xy,\,3x^{2}z^{2}+2z\right)\,.

Da diese alle stetig sind, haben wir nach Fakt ***** das totale Differential in jedem Punkt gefunden.

Nehmen wir nun an, dass wir nur an der Restriktion dieser Funktion auf die Ebene

E\subset {\mathbb {K} }^{3},\,E={\left\{(x,y,z)\mid 3x+2y-5z=0\right\}}

interessiert sind. ${}E$ ist also der Kern der linearen Abbildung

L\colon {\mathbb {K} }^{3}\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x,y,z)\longmapsto 3x+2y-5z.

Als Kern ist ${}E$ selbst ein (zweidimensionaler) Vektorraum. Die Einschränkung von ${}f$ auf die Ebene ergibt also die Abbildung

{\tilde {f}}=f{|}_{E}\colon E\longrightarrow {\mathbb {K} }.

Diese Abbildung kann man als die Komposition ${}E\subset {\mathbb {K} }^{3}\rightarrow {\mathbb {K} }$ auffassen und diese ist nach der Kettenregel differenzierbar. Wenn wir die Inklusion von ${}E$ in ${}{\mathbb {K} }^{3}$ mit ${}N$ bezeichnen, so ist das totale Differential der Komposition in einem Punkt ${}P\in E$ gemäß der Kettenregel gerade die Abbildung

\left(D{\tilde {f}}\right)_{P}=\left(Df\right)_{P}\circ N\colon E\longrightarrow {\mathbb {K} }.

Daher ergibt es hier Sinn vom totalen Differential zu sprechen.

Es ergibt allerdings keinen Sinn von partiellen Ableitungen der Abbildung ${}f{|}_{E}\colon E\rightarrow {\mathbb {K} }$ zu sprechen, da es keine natürliche Basis auf ${}E$ gibt und daher auch keine natürlichen Koordinaten. Es ist leicht eine Basis von ${}E$ zu finden und damit Koordinaten, es gibt aber keine „beste Wahl“, und die partiellen Ableitungen sehen in jeder Basis verschieden aus.

Eine Basis von ${}E$ ist beispielsweise durch ${}v_{1}=(0,5,2)$ und ${}v_{2}=(5,0,3)$ gegeben, und eine weitere durch ${}w_{1}=(1,1,1)$ und ${}w_{2}=(2,-3,0)$ . Mit solchen Basen erhalten wir Identifikationen ${}{\mathbb {K} }^{2}\rightarrow E$ und somit numerische Beschreibungen der Abbildung ${}{\mathbb {K} }^{2}\cong E\rightarrow {\mathbb {K} }$ , womit wir die partiellen Ableitungen bezüglich der gewählten Basen berechnen können.