Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 28

Aufgaben

Aufgabe

Es sei ${}f=z^{2}(z-1)^{3}(z-5)^{2}$. Bestimme die Quotientengarbe zum injektiven Modulhomomorphismus

${\mathcal {O}}_{\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} },\,1\longmapsto f.$

Aufgabe *

Bestimme die Quotientengarbe zum Polynom ${}f=(z-2)(z-3)^{2}(z-{\mathrm {i} })^{3}(z-5)$, aufgefasst als Modulhomomorphismus

${\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}(7\cdot \{\infty \}).$

Aufgabe

Es sei ${}X$ eine zusammenhängende riemannsche Fläche und seien ${}{\mathcal {L}},{\mathcal {M}}$ invertierbare Garben auf ${}X$. Es sei ${}\theta \colon {\mathcal {L}}\rightarrow {\mathcal {M}}$ ein Modulhomomorphismus. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. ${}\theta$ ist nicht die Nullabbildung.
2. ${}\theta$ ist injektiv.
3. Über ${}\theta$ ist ${}{\mathcal {L}}$ eine Untergarbe von ${}{\mathcal {M}}$.

Aufgabe

Es sei ${}D=\sum _{P\in X}n_{P}P$ ein effektiver Divisor auf einer riemannschen Fläche ${}X$ und sei ${}{\mathcal {O}}_{X}(D)$ die zugehörige invertierbare Garbe mit dem zum Divisor gehörigen Modulhomomorphismus

${\mathcal {O}}_{X}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X}(D).$

Zeige, dass der Halm der Quotientengarbe ${}{\mathcal {O}}_{X}(D)/{\mathcal {O}}_{X}$ in jedem Punkt ${}P$ ein ${}{\mathbb {C} }$- Vektorraum der Dimension ${}n_{P}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und sei ${}{\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe vom Grad ${}0$. Ferner besitze ${}{\mathcal {L}}$ einen nichttrivialen Schnitt. Zeige, dass ${}{\mathcal {L}}$ die Strukturgarbe ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und seien ${}{\mathcal {L}},{\mathcal {M}}$ invertierbare Garben vom gleichen Grad. Es sei ${}\varphi \colon {\mathcal {L}}\rightarrow {\mathcal {M}}$ ein Modulhomomorphismus. Zeige, dass ${}\varphi$ ein Isomorphismus ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche vom Geschlecht ${}g$ und sei ${}{\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf ${}X$ mit einem globalen Schnitt ${}s\in \Gamma (X,{\mathcal {L}})$, ${}s\neq 0$. Zeige

${}h^{1}(X,{\mathcal {L}})\leq g\,.$

Aufgabe

Es sei ${}{\mathcal {I}}$ eine Idealgarbe ${}\neq 0,{\mathcal {O}}_{X}$ auf einer kompakten zusammenhängenden riemannschen Fläche ${}X$ vom Geschlecht ${}g$. Berechne die Dimension von ${}H^{1}(X,{\mathcal {I}})$.

Für die folgende Aufgabe ziehe man Aufgabe 20.18 heran.

Aufgabe

Bestimme mit dem Satz von Riemann-Roch die Dimensionen ${}h^{0}({\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1},{\mathcal {L}})$ und ${}h^{1}({\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1},{\mathcal {L}})$ für sämtliche invertierbare Garben auf der projektiven Geraden.