Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 27

Aufgaben

Aufgabe *

Bestimme für die projektive Gerade ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ eine meromorphe Funktion, die die Hauptteilverteilung realisiert, die in ${}0$ den Hauptteil ${}{\frac {1}{z}}$, in ${}2$ den Hauptteil ${}{\frac {4}{(z-2)^{3}}}$ und in ${}\infty$ den Hauptteil ${}{\frac {1}{w^{2}}}=z^{2}$ besitzt.

Aufgabe *

Bestimme für die projektive Gerade ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ eine meromorphe Funktion, die die Hauptteilverteilung realisiert, die in ${}1$ den Hauptteil ${}{\frac {3}{z(z-1)^{2}}}$ und in ${}4$ den Hauptteil ${}-{\frac {1}{z(z-4)}}$ besitzt.

Zur folgenden Aufgabe vergleiche Aufgabe 19.12.

Aufgabe

Begründe, dass eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche genau dann das Geschlecht ${}0$ besitzt, wenn ihre Divisorenklassengruppe vom Grad ${}0$ trivial ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}P=X^{n}-c\in K[X]$ ein irreduzibles Polynom. Es sei

${}f=a_{n-1}X^{n-1}+a_{n-2}X^{n-2}+\cdots +a_{1}X+a_{0}\,$

ein Element in der einfachen endlichen Körpererweiterung ${}K\subseteq L=K[X]/(P)$ vom Grad ${}n$. Zeige, dass die Spur von ${}f$ gleich ${}na_{0}$ ist.

Aufgabe

Wir betrachten die Potenzierung

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,w\longmapsto w^{n}=z,$

und die zugehörige Körpererweiterung

${\mathbb {C} }(z)\longrightarrow {\mathbb {C} }(w),\,z\longmapsto w^{n}.$

Bestimme die Spur von ${}w$ und von der holomorphen Differentialform ${}dw$.

Aufgabe

Es sei ${}p\colon Y\rightarrow X$ eine endliche holomorphe Abbildung mit der Blätterzahl ${}n$ zwischen den riemannschen Flächen ${}Y$ und ${}X$. Es sei ${}\tau$ eine holomorphe Differentialform auf ${}X$ mit der zurückgezogenen Differentialform ${}p^{*}\tau$ auf ${}Y$. Zeige ${}\operatorname {Spur} {\left(p^{*}\tau \right)}=n\tau$.

Aufgabe

Zeige, wie man aus Satz 27.10 zurückerhalten  (die Trivialität geht ja selbst in den Beweis ein) kann, dass auf der projektiven Geraden alle holomorphen Differentialformen trivial sind.

Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel für eine nichtkompakte zusammenhängende riemannsche Fläche ${}X$ zusammen mit einer meromorphen Funktion ${}f$ mit einem Hauptdivisor der Form ${}P-Q$ und einer holomorphen Differentialform ${}\omega$ derart, dass ${}\int _{\gamma }\omega$ nicht zur Periodengruppe von ${}\omega$ gehört, wobei ${}\gamma$ ein Verbindungsweg von ${}Q$ nach ${}P$ ist.