Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 32

Aufgaben

Zur folgenden Aufgabe vergleiche Aufgabe 20.19.

Aufgabe

Es sei ${}X$ eine glatte irreduzible projektive Kurve über ${}{\mathbb {C} }$ und sei ${}X_{\operatorname {an} }$ die zugehörige kompakte riemannsche Fläche. Es seien ${}P_{1},\ldots ,P_{n}\in X$ Punkte und ${}U=X\setminus \{P_{1},\ldots ,P_{n}\}$. Charakterisiere den algebraischen Schnittring

$\Gamma {\left(X_{\operatorname {alg} },{\mathcal {O}}_{X_{\operatorname {alg} }}\right)}$

in ${}X_{\operatorname {an} }$, also allein durch analytische Konzepte.

Aufgabe

Es sei ${}X$ eine glatte irreduzible projektive Kurve über ${}{\mathbb {C} }$ und sei ${}X_{\operatorname {an} }$ die zugehörige kompakte riemannsche Fläche und sei ${}P\in X$ ein Punkt. Charakterisiere den algebraischen Halm ${}{\mathcal {O}}_{X_{\operatorname {alg} },P}$ in ${}X_{\operatorname {an} }$, also allein durch analytische Konzepte. Man erläutere ferner, dass eine solche Charakterisierung allein innerhalb des analytischen Halmes ${}{\mathcal {O}}_{X_{\operatorname {an} },P}$ nicht möglich ist.

Aufgabe *

Es sei ${}P\in C=V(F)\subset {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ ein glatter Punkt einer ebenen irreduziblen Kurve. Zeige, dass der zugehörige lokale Ring ein diskreter Bewertungsring ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein diskreter Bewertungsring und sei ${}{\mathfrak {m}}=(\pi )$. Es sei ${}K=R/(\pi )$ der Restklassenkörper von ${}R$. Zeige, dass es für jedes ${}n\in \mathbb {N}$ einen ${}R$- Modulisomorphismus

$(\pi ^{n})/(\pi ^{n+1})\longrightarrow K$

gibt.

Aufgabe *

Es sei ${}R$ eine ${}{\mathbb {C} }$- Algebra, die ein diskreter Bewertungsring ist, deren Restklassenkörper gleich ${}{\mathbb {C} }$ ist. Es sei ${}\pi$ eine Ortsuniformisierende. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Jedes Element ${}r\in R$ kann man als

   ${}r=\pi s+r_{0}\,$

   mit ${}r_{0}\in {\mathbb {C} }$ schreiben.

2. Zu jedem ${}n\in \mathbb {N}$ besitzt jedes Element ${}r\in R$ eine Darstellung

   ${}r=s_{n}\pi ^{n}+r_{n-1}\pi ^{n-1}+\cdots +r_{2}\pi ^{2}+r_{1}\pi +r_{0}\,$

   mit ${}r_{j}\in {\mathbb {C} }$ und ${}s_{n}\in R$.

3. Der Restklassenmodul ${}Q(R)/R$ ist isomorph zum ${}{\mathbb {C} }$- Vektorraum mit der Basis ${}\pi ^{-1},\pi ^{-2},\dots$.