Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 32
- Aufgaben
Zur folgenden Aufgabe vergleiche Aufgabe 20.19.
Aufgabe
Es sei eine glatte irreduzible projektive Kurve über und sei die zugehörige kompakte riemannsche Fläche. Es seien Punkte und . Charakterisiere den algebraischen Schnittring
in , also allein durch analytische Konzepte.
Aufgabe
Es sei eine glatte irreduzible projektive Kurve über und sei die zugehörige kompakte riemannsche Fläche und sei ein Punkt. Charakterisiere den algebraischen Halm in , also allein durch analytische Konzepte. Man erläutere ferner, dass eine solche Charakterisierung allein innerhalb des analytischen Halmes nicht möglich ist.
Aufgabe *
Es sei ein glatter Punkt einer ebenen irreduziblen Kurve. Zeige, dass der zugehörige lokale Ring ein diskreter Bewertungsring ist.
Aufgabe
Es sei ein diskreter Bewertungsring und sei . Es sei der Restklassenkörper von . Zeige, dass es für jedes einen - Modulisomorphismus
gibt.
Aufgabe *
Es sei eine - Algebra, die ein diskreter Bewertungsring ist, deren Restklassenkörper gleich ist. Es sei eine Ortsuniformisierende. Zeige die folgenden Aussagen.
- Jedes Element
kann man als
mit schreiben.
- Zu jedem
besitzt jedes Element
eine Darstellung
mit und .
- Der Restklassenmodul ist isomorph zum - Vektorraum mit der Basis .
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