Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 31

Aufgaben

Aufgabe *

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche. Zeige

${}H^{1}(X,{\mathcal {M}})=0\,.$

Aufgabe

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine nichtkonstante holomorphe Abbildung zwischen den zusammenhängenden riemannschen Fläche ${}X$ und ${}Y$ mit dem Verzweigungsdivisor ${}R$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Der Verzweigungsdivisor ist in der Tat ein Divisor.
2. Es ist ${}\varphi$ genau in den Punkten des Trägers von ${}R$ verzweigt.
3. Wenn ${}\varphi$ lokal auf offenen Kreisscheiben ${}U\subseteq X$ bzw. ${}V\subseteq Y$ durch eine holomorphe Funktion ${}f\colon U\rightarrow V$ beschrieben wird, so ist für ${}P\in U$ die Ordnung ${}R_{P}$ gleich der Nullstellenordnung von ${}f'$ in ${}P$.

Aufgabe

Zeige, dass es zwischen je zwei zusammenhängenden kompakten riemannschen Flächen ${}X$ und ${}Y$ eine nichtkonstante stetige Abbildung ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ gibt.

Aufgabe

Es sei ${}\varphi \colon {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}\rightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ eine nichtkonstante holomorphe Abbildung von der projektiven Geraden in sich. Zeige, dass zwischen dem Grad von ${}\varphi$ und dem Verzweigungsdivisor ${}R$ die Beziehung

${}\operatorname {Grad} \,(R)=2{\left(\operatorname {Grad} \,(\varphi )-1\right)}\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}\varphi \colon {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$, ${}z\longmapsto z^{n}$, die durch die Potenzierung (${}n\in \mathbb {N} _{+}$) gegebene holomorphe Abbildung von der projektiven Geraden in sich. Bestimme den Verzweigungsdivisor ${}R$ von ${}\varphi$ und beweise die Formel von Riemann-Hurwitz

${}\operatorname {Grad} \,(R)=2{\left(\operatorname {Grad} \,(\varphi )-1\right)}\,$

in diesem Fall direkt.

Aufgabe *

Es sei ${}F\in {\mathbb {C} }[z]$ ein Polynom vom Grad ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und sei ${}\varphi \colon {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$, ${}z\longmapsto F(z)$, die zugehörige holomorphe Abbildung von der projektiven Geraden in sich.

1. Bestimme den Verzweigungsdivisor ${}R$ von ${}\varphi$.
2. Beweise die Formel von Riemann-Hurwitz

   ${}\operatorname {Grad} \,(R)=2{\left(\operatorname {Grad} \,(\varphi )-1\right)}\,$

   in diesem Fall direkt.

Aufgabe *

Es sei ${}\varphi \colon {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$, ${}z\longmapsto {\frac {(z-1)(z+1)}{z}}$, die durch die rationale Funktion ${}{\frac {(z-1)(z+1)}{z}}$ gegebene holomorphe Abbildung von der projektiven Geraden in sich.

1. Bestimme den Verzweigungsdivisor ${}R$ von ${}\varphi$.
2. Beweise die Formel von Riemann-Hurwitz

   ${}\operatorname {Grad} \,(R)=2{\left(\operatorname {Grad} \,(\varphi )-1\right)}\,$

   in diesem Fall direkt.

Aufgabe *

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine nichtkonstante holomorphe Abbildung zwischen den kompakten zusammenhängenden riemannschen Flächen ${}X$ und ${}Y$.

1. Zeige, dass der Rückzug von holomorphen Differentialformen injektiv ist.
2. Man folgere aus (1), dass für die Geschlechter die Abschätzung

   ${}g(X)\geq g(Y)\,$

   gilt.

Aufgabe

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine nichtkonstante holomorphe Abbildung zwischen kompakten zusammenhängenden riemannschen Flächen. Folgt aus einer Isomorphie ${}\varphi ^{*}\Omega _{Y}\cong \Omega _{X}$, dass ${}\varphi$ biholomorph ist?

Aufgabe

Es sei ${}X$ eine hyperelliptische riemannsche Fläche mit einer endlichen holomorphen Abbildung ${}\varphi \colon X\rightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ vom Grad ${}2$. Zeige, dass für das Geschlecht ${}g$ und den Verzweigungsdivisor ${}R$ von ${}\varphi$ die Beziehung

${}\operatorname {Grad} \,(R)=2g+2\,$

gilt.

Zur folgenden Aufgabe vergleiche man den Beweis zu Satz 26.2.

Aufgabe *

Zeige, dass es kompakte zusammenhängende riemannsche Flächen ${}X$ vom Geschlecht ${}g\geq 2$ gibt mit einem Punkt ${}P\in X$ und einem lokalen Parameter ${}z$ in ${}P$ derart, dass die Kohomologieklassen in ${}H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ zu den Hauptteilen ${}{\frac {1}{z}},\ldots ,{\frac {1}{z^{g}}}$ nicht linear unabhängig sind.