Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 30

Aufgaben

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien ${}K$- Vektorräume über ${}K$ und

$\Psi \colon V\times W\longrightarrow K$

sei eine Bilinearform. Man sagt, dass ${}\Psi$ eine vollständige Dualität definiert, wenn die Abbildung

$V\longrightarrow {W}^{*},\,v\longmapsto {\left(w\mapsto \Psi (v,w)\right)},$

bijektiv ist.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum mit dem Dualraum ${}{V}^{*}$. Zeige, dass die Abbildung

$V\times {V}^{*}\longrightarrow K,\,(v,f)\longmapsto f(v),$

eine vollständige Dualität zwischen ${}V$ und ${}{V}^{*}$ stiftet.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum und sei ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine Bilinearform auf ${}V$. Zeige, dass die Bilinearform genau dann nichtausgeartet ist, wenn

$V\times V\longrightarrow K,\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$

eine vollständige Dualität ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}K$- Vektorräume. Zeige, dass durch die Spur

$\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\times \operatorname {Hom} _{K}{\left(W,V\right)}\longrightarrow K,\,(A,B)\longmapsto \operatorname {Spur} {\left(A\circ B\right)},$

eine vollständige Dualität gestiftet wird, dass also ${}\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$ und ${}\operatorname {Hom} _{K}{\left(W,V\right)}$ in natürlicher Weise dual zueinander sind.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien endlichdimensionale ${}K$- Vektorräume über ${}K$ und

$\Psi \colon V\times W\longrightarrow K$

sei eine Bilinearform, die eine vollständige Dualität definiere. Zeige, dass dann auch die Abbildung

$W\longrightarrow {V}^{*},\,w\longmapsto {\left(v\mapsto \Psi (v,w)\right)},$

bijektiv ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,L\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,M\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,N\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

eine kurze exakte Sequenz von ${}K$- Vektorräumen ${}L,M,N$. Zeige, dass dies zu einer kurzen exakten Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{N}^{*}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{M}^{*}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{L}^{*}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

der Dualräume führt.

Aufgabe

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und ${}{\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf ${}X$. Zeige, dass ${}H^{1}(X,{\mathcal {L}})$ in natürlicher Weise dual zu ${}\operatorname {Hom} {\left({\mathcal {L}},\Omega _{X}\right)}$ ist.

Aufgabe *

Formuliere den Satz von Riemann-Roch ohne erste Kohomologie.

Aufgabe

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche vom Geschlecht ${}g$. Zeige, dass für jede invertierbare Garbe ${}{\mathcal {L}}$, deren Grad ${}\geq 2g-1$ ist,

${}H^{1}(X,{\mathcal {L}})=0\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche vom Geschlecht ${}g$ und sei ${}{\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf ${}X$.

1. Der Grad von ${}{\mathcal {L}}$ sei positiv. Zeige, dass ${}h^{0}(X,{\mathcal {L}}^{n})$ für ${}n$ hinreichend groß mit einem linearen Polynom in ${}n$ übereinstimmt.
2. Der Grad von ${}{\mathcal {L}}$ sei negativ. Zeige, dass ${}h^{0}(X,{\mathcal {L}}^{n})$ für ${}n$ hinreichend groß mit dem Nullpolynom übereinstimmt.
3. Was gilt, wenn der Grad von ${}{\mathcal {L}}$ gleich ${}0$ ist?

Aufgabe

Zeige, dass das Geschlecht eines komplexen Torus ${}{\mathbb {C} }/\Gamma$ gleich ${}1$ ist.

Aufgabe *

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche vom Geschlecht ${}1$. Zeige, dass ${}\Omega _{X}$ isomorph zur Strukturgarbe ${}{\mathcal {O}}_{X}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und ${}{\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf ${}X$. Zeige, dass es eine invertierbare Garbe ${}{\mathcal {M}}$ und eine Einbettung ${}{\mathcal {L}}\subseteq {\mathcal {M}}$ derart gibt, dass die zugehörige Abbildung

$H^{1}(X,{\mathcal {L}})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {M}})$

die Nullabbildung ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche vom Geschlecht ${}g$. Es seien ${}P_{1},\ldots ,P_{n}\in X$ Punkte mit ${}n\geq 2g-1$. Zeige, dass es einen surjektiven verbindenen Homomorphismus

$\delta \colon H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(\sum _{i=1}^{n}P_{i})/{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})$

gibt.

Die beiden folgenden Aufgaben sind typisch für Einbettungsfragen für kompakte riemannsche Flächen. Es geht darum, wie man die Flächen mit Hilfe der globalen Schnitte von invertierbaren Garben in projektive Räume einbetten kann. Der Satz von Riemann-Roch ermöglicht in Verbindung mit Aufgabe 30.8 die Kontrolle der Dimension der globalen Schnitte.

Aufgabe *

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche vom Geschlecht ${}1$. Es sei ${}D$ ein Divisor auf ${}X$ vom Grad ${}3$ und sei ${}{\mathcal {O}}_{X}(D)$ die zugehörige invertierbare Garbe auf ${}X$.

1. Zeige, dass ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(D)\right)}$ die Dimension ${}3$ besitzt.
2. Es sei ${}x,y,z$ eine Basis von ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(D)\right)}$. Zeige, dass es in ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(3D)\right)}$ eine nichttriviale Beziehung zwischen den Monomen in ${}x,y,z$ vom Grad ${}3$ geben muss.

Aufgabe *

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche. Es sei ${}D$ ein Divisor auf ${}X$ vom Grad ${}4$ und sei ${}{\mathcal {O}}_{X}(D)$ die zugehörige invertierbare Garbe auf ${}X$.

1. Zeige, dass ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(D)\right)}$ die Dimension ${}4$ besitzt.
2. Es sei ${}x,y,z,w$ eine Basis von ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(D)\right)}$. Zeige, dass es in ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(2D)\right)}$ zumindest zwei linear unabhängige Beziehungen zwischen den Monomen in ${}x,y,z,w$ vom Grad ${}2$ geben muss.