Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Vorlesung 21

Čech-Kohomologie

Für die Garbe der holomorphen Funktionen auf einer riemannschen Fläche ${}X$ haben wir die kurzen exakten Sequenzen

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {E}}\,{\stackrel {d^{a}}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {E}}^{(0,1)}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

und

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {M}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {T}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

(siehe Satz 16.14 und Lemma 18.12) kennen gelernt. Im ersten Fall werden die holomorphen Funktionen in die reell-differenzierbaren Funktionen und im zweiten Fall in die meromorphen Funktionen eingebettet. In beiden Fällen ist die globale Auswertung im Allgemeinen hinten nicht surjektiv. Diese globale Nichtsurjektivität wollen wir systematisch verstehen. Es stellt sich heraus, dass in beiden Fällen die Nichtsurjektivität durch eine einzige Gruppe gemessen wird, die nur von der Strukturgarbe abhängt, nämlich durch die sogenannte erste Kohomologiegruppe ${}H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})$.

Eine wesentliche Idee dazu kann man sich folgendermaßen klar machen. Es sei

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {F}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {G}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {H}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

eine kurze exakte Sequenz von Garben von kommutativen Gruppen auf einem topologischen Raum ${}X$. Die globale Auswertung

$0\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {F}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {G}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {H}}\right)}$

ist exakt, wobei die hintere Abbildung im Allgemeinen nicht surjektiv ist. Es sei ${}t\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {H}}\right)}$. Aufgrund der Garbensurjektivität gibt es eine offene Überdeckung

${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,$

und Schnitte ${}s_{i}\in \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {H}}\right)}$, die auf ${}t{|}_{U_{i}}$ abbilden. Die Differenzen ${}s_{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}-s_{j}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}$ sind somit Schnitte von ${}{\mathcal {G}}$ über ${}U_{i}\cap U_{j}$, die auf ${}0$ in ${}{\mathcal {H}}{\left(U_{i}\cap U_{j}\right)}$ abbilden und daher zu ${}{\mathcal {F}}{\left(U_{i}\cap U_{j}\right)}$ gehören. Wir erhalten also eine Familie ${}r_{ij}=s_{i}-s_{j}\in {\mathcal {F}}{\left(U_{i}\cap U_{j}\right)}$, die allein auf die Garbe ${}{\mathcal {F}}$ und auf die Zweierdurchschnitte der Überdeckung Bezug nimmt. Ferner gilt auf den Dreierdurchschnitten ${}U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k}$ die sogenannte Kozykelbeziehung

${}r_{ij}+r_{jk}=s_{i}-s_{j}+(s_{j}-s_{k})=s_{i}-s_{k}=r_{ik}\,$

Dabei handelt es sich um einen ersten Čech-Kozykel in ${}{\mathcal {F}}$.

Wir entwicklen die zugehörigen Begrifflichkeiten.

Es sei ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung eines topologischen Raumes ${}X$. Für eine endliche Teilmenge ${}J\subseteq I$ setzen wir ${}U_{J}:=\bigcap _{i\in J}U_{i}$. Für ${}J\subseteq L\subseteq I$ ist ${}U_{L}\subseteq U_{J}$. Für eine Garbe ${}{\mathcal {G}}$ von kommutativen Gruppen auf ${}X$ betrachtet man die Auswertungen ${}{\mathcal {G}}{\left(U_{J}\right)}$ zu den verschiedenen ${}J$, und zu ${}J\subseteq L$ gehören die Restriktionen ${}{\mathcal {G}}{\left(U_{J}\right)}\rightarrow {\mathcal {G}}{\left(U_{L}\right)}$. Für ein Element ${}s\in {\mathcal {G}}{\left(U_{J}\right)}$ schreiben wir dann abkürzend

${}s{|}_{L}=s{|}_{U_{L}}\,$

und oft häufig einfach ${}s$. Wir fixieren eine Wohlordnung auf ${}I$ (man braucht hauptsächlich den Fall für endliches ${}I$). Damit können wir nun Čech-Koketten, Čech-Ableitungen, Čech-Kozykel, Čech-Koränder, den Čech-Komplex und die Čech-Kohomologie definieren, die ein wichtiges Werkzeug zur Berechnung von Garbenkohomologien ist.

Definition

Es sei ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung ${}{\mathcal {U}}$ eines topologischen Raumes ${}X$ und ${}{\mathcal {G}}$ eine Garbe von kommutativen Gruppen auf ${}X$. Unter einer ${}k$-ten Čech-Kokette versteht man ein Element

${}(s_{J})\in {\check {C}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}}):=\prod _{\left\{J\mid {\#\left(J\right)}=k+1\right\}}{\mathcal {G}}{\left(U_{J}\right)}\,,$

wobei ${}U_{J}:=\bigcap _{i\in J}U_{i}$ bezeichnet.

Die Menge der ${}k$-ten Čech-Koketten ${}{\check {C}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})$ bildet mit der komponentenweisen Addition, wobei eine Komponente durch eine Teilmenge ${}J\subseteq I$ gegeben ist, eine kommutative Gruppe. Für ${}k=0$ ist speziell

${}{\check {C}}^{0}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})=\prod _{i\in I}{\mathcal {G}}{\left(U_{i}\right)}\,,$

für ${}k=1$ ist

${}{\check {C}}^{1}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})=\prod _{\{i,j\}\subseteq I}{\mathcal {G}}{\left(U_{i}\cap U_{j}\right)}\,$

und für ${}k=2$ ist

${}{\check {C}}^{2}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})=\prod _{\{i,j,k\}\subseteq I}{\mathcal {G}}{\left(U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k}\right)}\,.$

Bei ${}k={\#\left(I\right)}+1$ ist

${}{\check {C}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})={\mathcal {G}}{\left(\bigcap _{i\in I}U_{i}\right)}\,.$

Wenn ${}k>{\#\left(I\right)}+1$ ist, so ist die Indexmenge zu ${}{\check {C}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})$ leer und dieser Term ist einfach ${}0$. Ebenso setzt man für negatives ${}k$ die Kokettengruppe gleich ${}0$.

Die Koketten zu verschieden ${}k$ werden durch die Čech-Ableitung miteinander in Beziehung gesetzt.

Definition

Es sei ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung ${}{\mathcal {U}}$ eines topologischen Raumes ${}X$ mit einer wohlgeordneten Indexmenge ${}I$ und ${}{\mathcal {G}}$ eine Garbe von kommutativen Gruppen auf ${}X$. Zu ${}k\in \mathbb {N}$ nennt man den Gruppenhomomorphismus

$\delta _{k}\colon {\check {C}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})\longrightarrow {\check {C}}^{k+1}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}}),\,s={\left(s_{J}\right)}_{J}\longmapsto \delta _{k}(s)={\left(\delta _{k}(s)_{L}\right)}_{L}$

zwischen den Gruppen der Čech-Koketten, der durch

${}{\left(\delta _{k}(s)\right)}_{L}:=\sum _{\ell =0}^{k+1}(-1)^{\ell }s{|}_{L\setminus \{i_{\ell }\}}\,$

gegeben ist, wobei man ${}L=\{i_{0},i_{1},\ldots ,i_{k+1}\}$ gemäß der Ordnung auf ${}I$ schreibt, die ${}k$-te Čech-Ableitung (zur Garbe ${}{\mathcal {G}}$ und zur Überdeckung).

Die verschiedenen Kokettengruppen und die Ableitungen fasst man zum Čech-Komplex

${}{\check {C}}^{\bullet }({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})={\left({\check {C}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}}),k\geq 0,\,\delta _{k}\right)}\,$

zusammen (zur Garbe ${}{\mathcal {G}}$ und zur Überdeckung ${}{\mathcal {U}}$). Bei einer Überdeckung aus zwei offenen Mengen ${}U$ und ${}V$ ist der Komplex gleich

$0\longrightarrow \Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}\times \Gamma {\left(V,{\mathcal {G}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(U\cap V,{\mathcal {G}}\right)}\longrightarrow 0,$

wobei ${}(s,t)$ auf ${}t{|}_{U}-s{|}_{U}$ abgebildet wird, und bei einer Überdeckung aus drei offenen Mengen ${}U,V$ und ${}W$ ist der Komplex gleich

$0\longrightarrow \Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}\times \Gamma {\left(V,{\mathcal {G}}\right)}\times \Gamma {\left(W,{\mathcal {G}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(V\cap W,{\mathcal {G}}\right)}\times \Gamma {\left(U\cap W,{\mathcal {G}}\right)}\times \Gamma {\left(U\cap V,{\mathcal {G}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(U\cap V\cap W,{\mathcal {G}}\right)}\longrightarrow 0.$

Zum Verständnis der Homomorphismen ist es schon in diesen Fällen sinnvoll, mit den durchnummerierten Bezeichnungen ${}U_{1},U_{2},U_{3}$ zu arbeiten. Die erste Abbildung ist

$\left(s_{1},\,s_{2},\,s_{3}\right)\longmapsto \left(s_{3}-s_{2},\,s_{3}-s_{1},\,s_{2}-s_{1}\right)$

und die zweite Abbildung ist

$\left(t_{23},\,t_{13},\,t_{12}\right)\longmapsto t_{23}-t_{13}+t_{12}.$

Definition

Es sei ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung ${}{\mathcal {U}}$ eines topologischen Raumes ${}X$ und ${}{\mathcal {G}}$ eine Garbe von kommutativen Gruppen auf ${}X$. Eine ${}k$-te Čech-Kokette ${}(s_{J})\in {\check {C}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})=\prod _{\left\{J\mid {\#\left(J\right)}=k+1\right\}}{\mathcal {G}}{\left(U_{J}\right)}$ heißt ein ${}k$-ter Čech-Kozykel (zur Überdeckung ${}{\mathcal {U}}$ und zur Garbe ${}{\mathcal {G}}$), wenn sie zum Kern der Čech-Ableitung

$\delta _{k}\colon {\check {C}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})\longrightarrow {\check {C}}^{k+1}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})$

gehört. Die Gruppe der ${}k$-ten Čech-Kozykel wird mit ${}{\check {Z}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})$ bezeichnet.

Definition

Es sei ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung ${}{\mathcal {U}}$ eines topologischen Raumes ${}X$ und ${}{\mathcal {G}}$ eine Garbe von kommutativen Gruppen auf ${}X$. Eine ${}k$-te Čech-Kokette ${}(t_{J})\in {\check {C}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})=\prod _{\left\{J\mid {\#\left(J\right)}=k+1\right\}}{\mathcal {G}}{\left(U_{J}\right)}$ heißt ein ${}k$-ter Čech-Korand (zur Überdeckung ${}{\mathcal {U}}$ und zur Garbe ${}{\mathcal {G}}$), wenn sie zum Bild der Čech-Ableitung

$\delta _{k-1}\colon {\check {C}}^{k-1}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})\longrightarrow {\check {C}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})$

gehört. Die Gruppe der ${}k$-ten Čech-Koränder wird mit ${}{\check {B}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})$ bezeichnet.

Lemma

Der Čech-Komplex

ist in der Tat ein Komplex.

Beweis

Siehe Aufgabe 21.3.

$\Box$

Für eine Überdeckung

${}X=U_{1}\cup U_{2}\cup U_{3}\,$

mit drei offenen Teilmengen und ${}k=1$ geht es um die Gesamtabbildung

$0\longrightarrow \Gamma {\left(U_{1},{\mathcal {G}}\right)}\times \Gamma {\left(U_{2},{\mathcal {G}}\right)}\times \Gamma {\left(U_{3},{\mathcal {G}}\right)}{\stackrel {\delta _{1}}{\longrightarrow }}\Gamma {\left(U_{2}\cap U_{3},{\mathcal {G}}\right)}\times \Gamma {\left(U_{1}\cap U_{3},{\mathcal {G}}\right)}\times \Gamma {\left(U_{1}\cap U_{2},{\mathcal {G}}\right)}{\stackrel {\delta _{2}}{\longrightarrow }}\Gamma {\left(U_{1}\cap U_{2}\cap U_{3},{\mathcal {G}}\right)}.$

Um nachzuweisen, dass die Hintereinanderschaltung die Nullabbildung ist, kann man sich auf einen Schnitt der Form ${}s\in \Gamma {\left(U_{1},{\mathcal {G}}\right)}$ beschränken (die anderen Komponenten seien also gleich ${}0$). Dieses Element wird auf ${}\left(0,\,-s{|}_{U_{1}\cap U_{2}},\,-s{|}_{U_{1}\cap U_{3}}\right)$ abgebildet, und dieses wiederum auf ${}s{|}_{U_{1}\cap U_{2}\cap U_{3}}-s{|}_{U_{1}\cap U_{2}\cap U_{3}}$, also auf ${}0$.

Definition

Es sei ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung ${}{\mathcal {U}}$ eines topologischen Raumes ${}X$ und ${}{\mathcal {G}}$ eine Garbe von kommutativen Gruppen auf ${}X$. Zu ${}k\in \mathbb {N}$ definiert man die ${}k$-te Čech-Kohomologie ${}{\check {H}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})$ als die ${}k$-te Homologie des Čech-Komplexes ${}{\check {C}}^{\bullet }({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})$.

Es ist also

${}{\check {H}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})={\check {Z}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})/{\check {B}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})\,.$

Wie bei jeder Homologie zu einem Komplex geht es also um die Restklassengruppe aus dem Kern modulo dem Bild an einer jeden Stelle des Komplexes. Das zu einem Čech-Kozykel gehörige Element in der ${}k$-ten Čech-Kohomologie nennt man auch Čech-Kohomologieklasse. Die nullte Čech-Kohomologiegruppe ist einfach gleich ${}{\mathcal {G}}{\left(X\right)}$, wie direkt aus der Garbeneigenschaft folgt, siehe Aufgabe 21.1.

Beispiel

Wir betrachten auf dem Kreis ${}S^{1}$ die Überdeckung mit zwei offenen (zu reellen Intervallen homöomorphen) Kreissegmenten ${}S^{1}=U_{1}\cup U_{2}$, deren Durchschnitt ${}U_{1}\cap U_{2}=S\cup T$ die disjunkte Vereinigung von zwei Intervallen ist. Es sei ${}G$ eine diskrete topologische Gruppe und ${}{\mathcal {G}}$ die Garbe der stetigen also lokal konstanten ${}G$-wertigen Funktionen auf dem Kreis. Auf ${}U_{1}$ bzw. ${}U_{2}$ und ebenso auf ${}S^{1}$ sind die lokal-konstanten Funktionen konstant. Auf ${}S\cup T$ hingegen ist eine lokal konstante Funktion dadurch gegeben, dass auf ${}S$ und davon unabhängig auf ${}T$ ein konstanter Wert vorgegeben ist. Der relevante Čech-Komplex ist daher

$\Gamma {\left(U_{1},{\mathcal {G}}\right)}\times \Gamma {\left(U_{2},{\mathcal {G}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(U_{1}\cap U_{2},{\mathcal {G}}\right)}\cong G\times G\longrightarrow 0,$

wobei ${}(f,g)$ auf ${}g-f$ (auf beiden Zusammenhangskomponenten) abgebildet wird. Dabei werden genau die lokal konstanten Funktionen auf ${}S\cup T$ erreicht, die konstant sind. Die erste Čech-Kohomologie ist daher ${}{\check {H}}^{1}(U_{1},U_{2},{\mathcal {G}})\cong G$.

Beispiel

Wir betrachten auf der zweidimensionalen Sphäre ${}S^{2}$ die Überdeckung mit zwei offenen (zu offenen Kreisscheiben homöomorphen) überlappenden Schalen ${}S^{2}=U_{1}\cup U_{2}$, deren Durchschnitt ${}U_{1}\cap U_{2}$ homöomorph zum Produkt ${}S^{1}\times I$ mit einem offenen Intervall ${}I$ ist. Es sei ${}G$ eine diskrete topologische Gruppe und ${}{\mathcal {G}}$ die Garbe der stetigen also lokal konstanten ${}G$-wertigen Funktionen auf der Sphäre. Auf ${}U_{1}$ bzw. ${}U_{2}$ und ebenso auf ${}U_{1}\cap U_{2}$ sind die lokal-konstanten Funktionen konstant. Der relevante Čech-Komplex ist daher

$\Gamma {\left(U_{1},{\mathcal {G}}\right)}\times \Gamma {\left(U_{2},{\mathcal {G}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(U_{1}\cap U_{2},{\mathcal {G}}\right)}\cong G\longrightarrow 0,$

wobei ${}(f,g)$ auf ${}g-f$ abgebildet wird. Diese Abbildung ist surjektiv. Die erste Čech-Kohomologie ist daher ${}{\check {H}}^{1}(U_{1},U_{2},{\mathcal {G}})\cong 0$.

Beispiel

Wir betrachten auf dem Kreis ${}S^{1}$ die Überdeckung mit zwei offenen (zu reellen Intervallen homöomorphen) Kreissegmenten ${}S^{1}=U_{1}\cup U_{2}$, deren Durchschnitt ${}U_{1}\cap U_{2}=S\cup T$ die disjunkte Vereinigung von zwei Intervallen ist. Es sei ${}{\mathcal {G}}$ die Garbe der stetigen ${}\mathbb {R}$-wertigen Funktionen auf dem Kreis. Eine stetige Funktion auf ${}S\cup T$ ist durch eine stetige Funktion auf ${}S$ und durch eine davon unabhängige stetige Funktion auf ${}T$ gegeben. Wir betrachten im Anschluss an Beispiel 21.7 eine lokal konstante Funktion, die auf ${}S$ den Wert ${}a$ und auf ${}T$ den Wert ${}b\neq a$ besitzt und eine nichttriviale Kohomologieklasse in ${}{\check {H}}^{1}(U_{1},U_{2},\mathbb {R} )=\mathbb {R}$ definiert, wobei ${}\mathbb {R}$ links die Garbe der lokal konstanten reellwertigen Funktionen bezeichnet. In der größeren Garbe ${}{\mathcal {G}}$ ist die entsprechende Kohomologieklasse aber trivial, da man auf ${}U_{1}$ eine stetige Funktion finden kann, die auf ${}S$ den Wert ${}-a$ und auf ${}T$ den Wert ${}-b$ besitzt und dazwischen (beispielsweise linear) interpoliert. Zusammen mit der Nullfunktion auf ${}U_{2}$ erhält man ein Urbild, der den Kozykel als Korand nachweist.

In Satz 25.4 wird gezeigt, dass in der vorstehenden Situation die erste Kohomologiegruppe zu ${}{\mathcal {G}}$ und zu jeder Überdeckung gleich ${}0$ ist.

Beispiel

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche und ${}{\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf ${}X$. Dies bedeutet, dass es eine offene Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und Trivialisierungen

$\varphi _{i}\colon {\mathcal {L}}{|}_{U_{i}}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X}{|}_{U_{i}}$

gibt. Für offene Mengen ${}U_{i},U_{j}$ ergeben sich auf ${}U_{i}\cap U_{j}$ die Übergangsabbildungen

$\varphi _{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\circ \varphi _{j}^{-1}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\colon {\mathcal {O}}_{X}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}.$

Diese Isomorphien sind durch Multiplikationen mit holomorphen Einheiten ${}r_{ij}\in \Gamma {\left(U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\right)}$ gegeben. Da die Daten von der einen invertierbaren Garbe ${}{\mathcal {L}}$ herrühren, gilt dabei die Kozykelbedingung ${}r_{kj}\cdot r_{ji}=r_{ki}$, was man auch als ${}r_{kj}\cdot r_{ki}^{-1}\cdot r_{ji}=1$ schreiben kann. Es liegt also ein Čech-Kozykel in der Garbe der holomorphen Einheiten vor. Ein solcher Datensatz ${}r_{ij}$ legt umgekehrt durch eine Verklebung eine invertierbare Garbe fest.

Wenn die invertierbare Garbe ${}{\mathcal {L}}$ trivial ist, so gibt es einen globalen ${}{\mathcal {O}}_{X}$- Modulisomorphismus ${}\psi \colon {\mathcal {O}}_{X}\rightarrow {\mathcal {L}}$. Dann liegen auf den ${}U_{i}$ die Isomorphismen

${\mathcal {O}}_{X}{|}_{U_{i}}{\stackrel {\psi {|}_{U_{i}}}{\longrightarrow }}{\mathcal {L}}{|}_{U_{i}}{\stackrel {\varphi _{i}}{\longrightarrow }}{\mathcal {O}}_{X}{|}_{U_{i}}$

vor, die insgesamt durch Einheiten ${}s_{i}\in \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\right)}$ festgelegt sind. Für diese gilt die Beziehung

${}s_{i}\cdot s_{j}^{-1}={\left(\varphi _{i}\circ \psi \right)}\circ {\left(\varphi _{j}\circ \psi \right)}^{-1}=r_{ij}\,$

für alle ${}i,j$. Wenn umgekehrt solche realisierende Einheiten ${}s_{i}$ gegeben sind, so werden durch

${}\psi {|}_{U_{i}}:=\varphi _{i}^{-1}\circ s_{i}\,$

Modulisomorphismen von ${}{\mathcal {O}}_{U_{i}}$ nach ${}{\mathcal {L}}_{U_{i}}$ auf ${}U_{i}$ festgelegt, die verträglich sind und daher einen globalen Isomorphismus zwischen ${}{\mathcal {O}}_{X}$ und ${}{\mathcal {L}}$ festlegen. Eine invertierbare Garbe mit Trivialisierungen auf ${}U_{i}$ kann man also mit dem Datensatz ${}(U_{i},r_{ij})$, der die Kozykelbedingung erfüllt, identifizieren, wobei ein solcher Datensatz als trivial anzusehen ist, wenn es Einheiten ${}s_{i}$ mit

${}r_{ij}=s_{i}\cdot s_{j}^{-1}\,$

gibt. Diese Situation kann man insgesamt durch den Komplex

$\prod _{i\in I}\Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\right)}\longrightarrow \prod _{i<j}\Gamma {\left(U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\right)}\longrightarrow \prod _{i<j<k}\Gamma {\left(U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k},{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\right)}$

ausdrücken, der einfach der Anfang des Čech-Komplexes ist.

Verfeinerung der Überdeckung

Die zu Beginn der Vorlesung beschriebene Situation eines surjektiven Garbenhomomorphismus und Beispiel 21.10 machen deutlich, dass es nicht genügen kann, immer mit einer einzigen fixierten Überdeckung zu arbeiten, sondern dass man mit verschiedenen Überdeckungen simultan arbeiten muss.

Definition

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum. Eine offene Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ heißt eine Verfeinerung einer offenen Überdeckung ${}X=\bigcup _{j\in J}V_{j}$, wenn es eine Abbildung ${}\alpha \colon I\rightarrow J$ derart gibt, dass ${}U_{i}\subseteq V_{\alpha (i)}$ gilt.

Es sei nun eine Garbe von kommutativen Gruppen ${}{\mathcal {G}}$ auf ${}X$ gegeben. Eine Verfeinerung definiert einen Kokettenhomomorphismus

${\check {C}}^{1}({\mathcal {V}},{\mathcal {G}})\longrightarrow {\check {C}}^{1}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}}),\,s_{\{j_{1},j_{2}\}}\longmapsto s_{\{i_{1},i_{2}\}},$

wobei die Bildkokette an der Stelle ${}\{i_{1},i_{2}\}$ durch

${}s_{\{i_{1},i_{2}\}}:=s_{\{\alpha (i_{1}),\alpha (i_{2})\}}{|}_{U_{i_{1}}\cap U_{i_{2}}}\,$

definiert ist (bei ${}\alpha (i_{1})=\alpha (i_{2})$ ist dies als ${}0$ zu interpretieren). Diese Abbildung führt Kozykel in Kozykel und Koränder in Koränder über und definiert daher einen Verfeinerungshomomorphismus

${\check {H}}^{1}({\mathfrak {V}},{\mathcal {F}})\longrightarrow {\check {H}}^{1}({\mathfrak {U}},{\mathcal {F}}).$

Lemma

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und ${}{\mathcal {G}}$ eine Garbe von kommutativen Gruppen auf ${}X$. Es sei ${}U_{i}$, ${}i\in I$, eine offene Überdeckung von ${}X$, die eine Verfeinerung der offenen Überdeckung ${}V_{j}$, ${}j\in J$, sei.

Dann ist die Verfeinerungsabbildung

${\check {H}}^{1}({\mathfrak {V}},{\mathcal {F}})\longrightarrow {\check {H}}^{1}({\mathfrak {U}},{\mathcal {F}})$

unabhängig von der Indexabbildung ${}\alpha \colon I\rightarrow J$.

Beweis

Siehe Aufgabe 21.11.

$\Box$

Definition

Es sei ${}{\mathcal {F}}$ eine Garbe von kommutativen Gruppen auf einem topologischen Raum ${}X$. Man bezeichnet

${}{\check {H}}^{1}(X,{\mathcal {F}}):=\lim _{{\mathfrak {U}}{\text{ offene Überdeckung von }}X}{\check {H}}^{1}({\mathfrak {U}},{\mathcal {F}})\,$

als die erste Čech-Kohomologie von ${}{\mathcal {F}}$ auf ${}X$.

Der (direkte oder induktive) Limes wird hier über alle Čech-Komologien zu Überdeckungen genommen, die untereinander durch die Verfeinerungshomomorphismen miteinander verbunden sind.

Der verbindende Homomorphismus

Lemma

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und sei ${}\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ ein Homomorphismus zwischen den Garben von kommutativen Gruppen ${}{\mathcal {F}}$ und ${}{\mathcal {G}}$ auf ${}X$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Zu einer offenen Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ gibt es einen natürlichen Gruppenhomomorphismus

   ${\check {H}}^{1}(U_{i},{\mathcal {F}})\longrightarrow {\check {H}}^{1}(U_{i},{\mathcal {G}}).$

2. Es gibt einen natürlichen Gruppenhomomorphismus

   ${\check {H}}^{1}(X,{\mathcal {F}})\longrightarrow {\check {H}}^{1}(X,{\mathcal {G}}).$

Beweis

Siehe Aufgabe 21.12.

$\Box$

Lemma

Es sei

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {F}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {G}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {H}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

eine kurze exakte Sequenz von Garben von kommutativen Gruppen auf einem topologischen Raum ${}X$.

Dann liegt eine lange exakte Sequenz

$0\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {F}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {G}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {H}}\right)}{\stackrel {\delta }{\longrightarrow }}{\check {H}}^{1}(X,{\mathcal {F}})\longrightarrow {\check {H}}^{1}(X,{\mathcal {G}})\longrightarrow {\check {H}}^{1}(X,{\mathcal {H}})$

vor.

Beweis

Siehe Aufgabe 21.13.

$\Box$

Dabei heißt das ${}\delta$ der verbindende Homomorphismus. Er wird wie zu Beginn der Vorlesung beschrieben konstruiert.

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