Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Vorlesung 3/latex
\setcounter{section}{3}
\zwischenueberschrift{Holomorphe Funktionen auf einer riemannschen Fläche}
\inputdefinition
{}
{
Eine Funktion
\maabb {f} {X} { {\mathbb C}
} {}
auf einer
\definitionsverweis {riemannschen Fläche}{}{}
$X$ heißt
\definitionswort {holomorph}{,}
wenn es eine offene Überdeckung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X
}
{ =} { \bigcup_{i \in I} U_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit Karten
\maabbdisp {\alpha_i} {U_i} {V_i \subseteq {\mathbb C}
} {}
derart gibt, dass
\maabbdisp {f \circ \alpha_i^{-1}} { V_i} { {\mathbb C}
} {}
\definitionsverweis {holomorph}{}{}
sind.
}
{Riemannsche Fläche/Holomorphe Funktion/Charakterisierungen/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $X$ eine
\definitionsverweis {riemannschen Fläche}{}{}
und
\maabb {f} {X} { {\mathbb C}
} {}
eine Funktion.}
\faktuebergang {Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{$f$ ist
\definitionsverweis {holomorph}{}{.}
}{Für jede mit der komplexen Struktur kompatible Karte
\maabbdisp {\alpha} {U} {V \subseteq {\mathbb C}
} {}
ist
\mathl{f \circ \alpha^{-1}}{}
\definitionsverweis {holomorph}{}{.}
}{$f$ ist in jedem Punkt durch eine
\definitionsverweis {komplexe Potenzreihe}{}{}
beschreibbar.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 3.1. }
Dabei ist die Potenzreihe auf dem Kartenbild definiert und hängt von der gewählten Karte ab. Die Eigenschaft (2) zeigt, dass man den Atlas durch kompatible Karten auffüllen kann, ohne dabei die holomorphen Funktionen zu verändern. Deshalb nimmt man häufig kompatible Karten hinzu, etwa solche, die zusammenhängend sind oder die homöomorph zu einer Kreisscheibe sind oder hinreichend klein, um gewissen Punkten auszuweichen und Ähnliches.
\inputfaktbeweis
{Komplexe Zahlen/Offene Teilmenge/Holomorph/Riemannsche Fläche/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Für eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und eine Funktion
\maabb {f} {U} { {\mathbb C}
} {}}
\faktfolgerung {bedeutet die
\definitionsverweis {Holomorphie}{}{}
von $f$ als Funktion der
\definitionsverweis {riemannschen Fläche}{}{}
$U$ einfach die
\definitionsverweis {Holomorphie}{}{}
von $f$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt unmittelbar aus Lemma 3.2.
{Riemannsche Fläche/Holomorphe Funktionen/Ringstruktur/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $X$ eine
\definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungvier{Konstante Funktionen sind
\definitionsverweis {holomorph}{}{.}
}{Die Summe von holomorphen Funktionen ist holomorph.
}{Das Produkt von holomorphen Funktionen ist holomorph.
}{Zu einer nullstellenfreien holomorphen Funktion $f$ ist auch $f^{-1}$ holomorph.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 3.4. }
Die letzte Teilaussage wird zumeist auf holomorphe Funktionen angewendet, die Nullstellen haben, und wo man dann $f$ auf die nullstellenfreie offene Teilmenge einschränkt und dort holomorph invertiert.
Viele substantielle Ergebnisse der komplexen Funktionentheorie übertragen sich direkt auf riemannsche Flächen. Gelegentlich braucht man die Bedingung, dass die riemannsche Fläche zusammenhängend ist. Häufig wird eine riemannsche Fläche als zusammenhängend definiert.
\inputfaktbeweis
{Riemannsche Fläche/Holomorphe Funktion/Nullstellen/Diskret/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $X$ eine
\definitionsverweis {zusammenhängende}{}{}
\definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{}
und sei
\maabbdisp {f} {X} { {\mathbb C}
} {}
eine von der Nullfunktion verschiedene
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{}
auf $X$.}
\faktfolgerung {Dann ist die Nullstellenmenge von $f$ eine
\definitionsverweis {diskrete Teilmenge}{}{}
von $X$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nehmen wir an, dass die Nullstellenmenge nicht diskret ist. Dann gibt es einen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Nullstelle derart, dass es in jeder offenen Umgebung von $x$ unendliche viele Punkte der Nullstellenmenge gibt. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Kartenumgebung und
\maabbdisp {\alpha} {U} {V \subseteq {\mathbb C}
} {}
die Kartenabbildung. Nach
Satz 1.3
ist dann $f {{|}}_U \circ \alpha^{-1}$ die Nullfunktion. Wir zeigen, dass dann $f$ überhaupt die Nullfunktion ist im Widerspruch zur Voraussetzung. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ \in }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein weiterer Punkt und sei
\maabbdisp {\gamma} { [0,1]} {X
} {}
ein stetiger Weg, der
\mathkor {} {x} {mit} {y} {}
verbindet. Es seien
\mathl{U_1 = U, U_2 , \ldots , U_n}{} offene zusammenhängende Kartenumgebungen, die das
\zusatzklammer {kompakte} {} {}
Bild dieses Weges überdecken und die
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U_i \cap U_{i+1}
}
{ \neq }{ \emptyset
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erfüllen. Dann ist, wie eben bemerkt,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f {{|}}_{U_1}
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Da die holomorphe Funktion
\mathl{f {{|}}_{U_2} \circ \alpha_2^{-1}}{} auf $V_2$ holomorph ist, und auf
\mathl{\alpha_2 (U_1 \cap U_2)}{} die Nullfunktion ist, folgt, wieder mit
Satz 1.3,
dass
\mathl{f {{|}}_{U_2} \circ \alpha_2^{-1}}{} und damit auch $f {{|}}_{U_2}$ die Nullfunktion ist. Induktiv fortfahrend ergibt sich, dass
\mathl{f {{|}}_{U_i}}{} für alle $i$ die Nullfunktion ist und dass insbesondere
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(y)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
\inputfaktbeweis
{Riemannsche Fläche/Identitätssatz/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $X$ eine
\definitionsverweis {zusammenhängende}{}{}
\definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{}
und seien
\maabbdisp {f,g} {X} { {\mathbb C}
} {}
\definitionsverweis {holomorphe Funktionen}{}{}
auf $X$.}
\faktvoraussetzung {Es gebe eine Folge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_n
}
{ \in }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einem
\definitionsverweis {Häufungspunkt}{}{}
\zusatzklammer {der kein Folgenglied sei} {} {}
derart, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x_n)
}
{ =} {g(x_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ = }{g
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir betrachten die Differenz
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{h
}
{ = }{f-g
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die nach
Lemma 3.4
wieder holomorph ist. Es ist dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h(x_n)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und da die Folgenglieder
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} einen Häufungspunkt besitzen, handelt es sich um eine nichtdiskrete Menge. Nach
Satz 3.5
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{h
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und damit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ = }{g
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Riemannsche Fläche/Kompakt und zusammenhängend/Holomorphe Funktion/Konstant/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $X$ eine
\definitionsverweis {kompakte}{}{}
\definitionsverweis {zusammenhängende}{}{}
\definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es auf $X$ nur die konstanten
\definitionsverweis {holomorphen Funktionen}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nach
Satz Anhang 2.9
ist das Bild von $X$ unter der stetigen Abbildung $\betrag { f }$ wieder kompakt. Nach
dem Satz von Heine-Borel
ist somit das Bild von $\betrag { f }$ abgeschlossen und beschränkt. Das bedeutet insbesondere, dass das Maximum von $\betrag { f }$ unter der Funktion angenommen wird. Es gibt also ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { f(P) }
}
{ \geq }{ \betrag { f(Q) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{ U
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein zusammenhängendes Kartengebiet. Aus
dem Maximumsprinzip,
angewendet auf $f \circ \alpha^{-1}$ folgt, dass
\mathl{f {{|}}_U}{} konstant ist. Also ist $f$ nach
Satz 3.5
überhaupt konstant.
\inputdefinition
{}
{
Zu einer
\definitionsverweis {riemannschen Fläche}{}{}
$X$ bezeichnet man den Ring der
\definitionsverweis {holomorphen Funktionen}{}{}
auf $X$ mit
\mathdisp {\Gamma (X, {\mathcal O}_X )} { }
und spricht von der
\zusatzklammer {globalen Auswertung der} {} {}
\definitionswort {Strukturgarbe}{}
auf $X$.
}
Es ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Gamma (X, {\mathcal O}_X )
}
{ =} { { \left\{ f:X \longrightarrow {\mathbb C} \mid f \text{ holomorph} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zu jeder offenen Telmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist $U$ wieder eine riemannsche Fläche und somit ist auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Gamma (U, {\mathcal O}_X )
}
{ =} { \Gamma (U, {\mathcal O}_U )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert. Man spricht von der Auswertung der Strukturgarbe ${\mathcal O}_{ X }$ auf $U$. Wir werden später das abstrakte Garbenkonzept kennenlernen. Die wichtigsten Eigenschaften werden in der folgenden Aussage zusammengefasst.
\inputfaktbeweis
{Riemannsche Fläche/Holomorphe Funktion/Ringstruktur/Garbeneigenschaft/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $X$ eine
\definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungfuenf{Zu offenen Mengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ \subseteq }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
von $X$ und einer
\definitionsverweis {holomorphen Funktion}{}{}
\maabbdisp {f} {U} { {\mathbb C}
} {}
ist die Einschränkung
\mathl{f {{|}}_V}{} eine holomorphe Funktion auf $V$.
}{Zu offenen Mengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ \subseteq }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die Einschränkungsabbildung
\maabbeledisp {} { \Gamma (U, {\mathcal O}_X ) } { \Gamma (V, {\mathcal O}_X )
} {f} { f {{|}}_V
} {,}
ein
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{.}
}{Zu offenen Mengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ \subseteq }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit $U$
\definitionsverweis {zusammenhängend}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ \neq }{ \emptyset
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die Einschränkungsabbildung
\maabbeledisp {} { \Gamma (U, {\mathcal O}_X ) } { \Gamma (V, {\mathcal O}_X )
} {f} { f {{|}}_V
} {}
\definitionsverweis {injektiv}{}{.}
}{Es sei $U$ eine offene Menge und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ = }{ \bigcup_{i \in I} U_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Überdeckung}{}{}
und seien holomorphe Funktionen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f,g
}
{ \in }{ \Gamma (U, {\mathcal O}_X )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f {{|}}_{U_i}
}
{ =} { g {{|}}_{U_i }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle $i$ gegeben. Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ = }{g
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es sei $U$ eine offene Menge und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ = }{ \bigcup_{i \in I} U_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Überdeckung}{}{}
und seien holomorphe Funktionen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f_i
}
{ \in }{ \Gamma (U_i, {\mathcal O}_X )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f_i {{|}}_{U_i \cap U_j}
}
{ =} { f_j {{|}}_{U_i \cap U_j}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle $i,j$ gegeben. Dann gibt es eine holomorphe Funktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{ \Gamma (U, {\mathcal O}_X )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f {{|}}_{U_i}
}
{ =} { f_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
alle $i$.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\aufzaehlungfuenf{ist klar aufgrund der lokalen Definition von holomorph. }{ist klar, da die algebraischen Operationen punktweise definiert sind. }{folgt aus Satz 3.5. }{ist klar, da die Gleichheit von Funktionen punktweise definiert ist. }{Zunächst ergibt sich durch punktweise Festlegung direkt eine Funktion \maabb {f} {X} { {\mathbb C} } {,} die auf die vorgegebenen Funktionen einschränkt. Diese ist holomorph, da die Holomorphie eine lokale Eigenschaft ist.}
\zwischenueberschrift{Holomorphe Abbildungen}
\inputdefinition
{}
{
Es seien
\mathkor {} {X} {und} {Y} {}
\definitionsverweis {riemannsche Flächen}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {X} {Y
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{.}
Man nennt $\varphi$
\definitionswort {holomorph}{,}
wenn für jede offene Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ \subseteq }{Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und jede
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{ \Gamma (V, {\mathcal O}_Y )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die zusammengesetzte Funktion
\mathl{f \circ \varphi {{|}}_{ \varphi^{-1} (V) }}{} holomorph ist.
}
Gemäß der Definition muss man also für jede offene Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ \subseteq }{Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und jede holomorphe Funktion
\maabb {f} {V} { {\mathbb C}
} {}
die Hintereinanderschaltung
\mathdisp {\varphi^{-1}(V) \stackrel{\varphi {{|}}_{ \varphi^{-1}(V)} }{\longrightarrow} V \stackrel{f}{\longrightarrow} {\mathbb C}} { }
betrachten und als holomorph auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi^{-1}(V)
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nachweisen.
\inputfaktbeweis
{Riemannsche Flächen/Holomorphe Abbildung/Charakterisierungen/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {X} {und} {Y} {}
\definitionsverweis {riemannsche Flächen}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {X} {Y
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{.}}
\faktuebergang {Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungfuenf{$\varphi$ ist
\definitionsverweis {holomorph}{}{.}
}{Für jedes
\definitionsverweis {Kartengebiet}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ \subseteq }{Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und für jede
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{ \Gamma (V, {\mathcal O}_Y )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mathl{f \circ \varphi {{|}}_{ \varphi^{-1} (V) }}{} holomorph.
}{Es gibt eine
\definitionsverweis {offene Überdeckung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y
}
{ = }{ \bigcup_{i \in I} V_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit Kartengebieten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V_i
}
{ \subseteq }{Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass für jede
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f_i
}
{ \in }{ \Gamma (V_i, {\mathcal O}_Y )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auch
\mathl{f_i \circ \varphi {{|}}_{ \varphi^{-1} (V_i) }}{} holomorph ist.
}{Für beliebige Kartengebiete
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ \subseteq }{Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq} { \varphi^{-1} (V)
}
{ \subseteq} {X
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit Kartenabbildungen
\maabb {\beta} {V} { \beta(V) \subseteq {\mathbb C}
} {}
und
\maabb {\alpha} {U} { \alpha (U) \subseteq {\mathbb C}
} {}
ist
\maabbdisp {\beta \circ \varphi {{|}}_U \circ \alpha^{-1}} { \alpha(U)} { \beta(V)
} {}
\definitionsverweis {holomorph}{}{.}
}{Es gibt eine offene Überdeckung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y
}
{ = }{ \bigcup_{i \in I} V_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit Kartengebieten $V_i$ und offene Überdeckungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi^{-1} (V_i)
}
{ = }{ \bigcup_{j \in J_i} U_j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit Kartengebieten $U_j$ von $X$ derart, dass die Hintereinanderschaltungen
\maabbdisp {\beta_i \circ \varphi {{|}}_{U_j} \circ \alpha_{j}^{-1}} { \alpha(U_j)} { \beta(V_i)
} {}
holomorph sind.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Von (1) nach (2) und von (2) nach (3) sind Einschränkungen. Es sei (3) erfüllt. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ \subseteq }{Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine offene Teilmenge und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{ \Gamma (V, {\mathcal O}_Y )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine holomorphe Funktion. Die Durchschnitte
\mathbed {V \cap V_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
bilden dann eine offene Überdeckung von $V$. Nach (3) sind dann die
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f {{|}}_{V \cap V_i} \circ \varphi {{|}}_{\varphi^{-1}(V \cap V_i) }
}
{ =} { { \left( f \circ { \left( \varphi {{|}}_{\varphi^{-1}(V)} \right) } \right) } {{|}}_{\varphi^{-1}(V \cap V_i) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
holomorph. Da die Holomorphie eine lokale Eigenschaft ist, ist $f \circ { \left( \varphi {{|}}_{\varphi^{-1}(V)} \right) }$ selbst holomorph.
Von (2) nach (4) und von (4) nach (5) ist klar. Es sei also (5) erfüllt, wir werden (3) zeigen. Ohne Einschränkung können wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ = }{\{i\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V_i
}
{ =} {Y
}
{ \subseteq} { {\mathbb C}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
offen und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X
}
{ =} { \bigcup_{j \in J} U_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit Kartengebieten $U_j$ annehmen. Es sei $f$ eine holomorphe Funktion auf $Y$. Es ist die Holomorphie von
\maabbdisp {f \circ \varphi {{|}}_{U_j}} { U_j} { Y \subseteq {\mathbb C}
} {}
für jedes $U_j$ nachzuweisen. Somit ist zu zeigen, dass
\maabbdisp {f \circ \varphi {{|}}_{U_j} \circ \alpha_j^{-1}} { \alpha_j(U_j) } { Y \subseteq {\mathbb C}
} {}
holomorph ist. Nach Voraussetzung (5) ist
\mathl{\varphi {{|}}_{U_j} \circ \alpha_j^{-1}}{} holomorph und somit ist auch diese Hintereinanderschaltung mit $f$ holomorph.
Die Situation in
Lemma 3.11 (4)
kann man sich durch das kommutative Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} U & \stackrel{ \varphi {{|}}_U }{\longrightarrow} & V & \\ \!\!\!\!\! \alpha \downarrow & & \downarrow \beta \!\!\!\!\! & \\ \alpha(V) & \stackrel{ \beta \circ \varphi {{|}}_U \circ \alpha^{-1} }{\longrightarrow} & \beta(V) & \!\!\!\!\! \\ \end{matrix}} { }
veranschaulichen, wobei sich die untere Zeile allein in ${\mathbb C}$ abspielt.
\inputfaktbeweis
{Riemannsche Flächen/Holomorphe Abbildung nach C/Funktion/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $X$ eine
\definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist eine
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{}
auf $X$ und eine
\definitionsverweis {holomorphe Abbildung}{}{}
von $X$ nach ${\mathbb C}$ dasselbe.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt aus Lemma 3.2 und Lemma 3.11.
{Riemannsche Flächen/Holomorphe Abbildungen/Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{Die Identität
\maabb {} {X} {X
} {}
auf einer
\definitionsverweis {riemannschen Fläche}{}{}
ist eine
\definitionsverweis {holomorphe Abbildung}{}{.}
}{Zu einer offenen Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
einer riemannschen Fläche $X$ ist die Inklusion
\maabbdisp {} {U} {X
} {}
eine holomorphe Abbildung.
}{Es seien
\maabb {\varphi} {X} {Y
} {}
und
\maabb {\psi} {Y} {Z
} {}
holomorphe Abbildungen zwischen riemannschen Flächen $X,Y,Z$. Dann ist auch die Hintereinanderschaltung
\maabbdisp {\psi \circ \varphi} {X} {Z
} {}
holomorph.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 3.10. }
Eine direkte Verallgemeinerung von
Lemma 3.9
ist die folgende Aussage.
{Riemannsche Fläche/Holomorphe Abbildung/Garbeneigenschaft/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {X} {und} {Y} {}
\definitionsverweis {riemannsche Flächen}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X
}
{ = }{ \bigcup_{i \in I} U_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Überdeckung}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungzwei {\definitionsverweis {Holomorphe Abbildungen}{}{}
\maabbdisp {\varphi , \psi} {X} { Y
} {}
stimmen genau dann überein, wenn die Einschränkungen
\mathkor {} {\varphi {{|}}_{U_i}} {und} {\psi {{|}}_{U_i}} {}
für alle $i$ übereinstimmen.
} {Es seien holomorphe Abbildungen
\maabb {\varphi_i} {U_i} {Y
} {}
gegeben, die
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi_i {{|}}_{U_i \cap U_j}
}
{ = }{ \varphi_j {{|}}_{U_i \cap U_j}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $i,j$ erfüllen. Dann gibt es eine holomorphe Abbildung
\maabb {\varphi} {X} {Y
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi {{|}}_{U_i}
}
{ =} { \varphi_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle $i$.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 3.12. }
\inputfaktbeweis
{Riemannsche Flächen/Holomorphe Abbildung/Offen/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabb {\varphi} {X} {Y
} {}
eine nichtkonstante
\definitionsverweis {holomorphe Abbildung}{}{}
zwischen
\definitionsverweis {zusammenhängenden}{}{}
\definitionsverweis {riemannschen Flächen}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $\varphi$
\definitionsverweis {offen}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt aus dem Offenheitssatz für \definitionsverweis {holomorphe Funktionen}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Riemannsche Flächen/Holomorphe Abbildung/Bijektiv/Umkehrabbildung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {X} {und} {Y} {}
\definitionsverweis {riemannsche Flächen}{}{}
und sei
\maabb {\varphi} {X} {Y
} {}
eine
\definitionsverweis {bijektive}{}{}
\definitionsverweis {holomorphe Abbildung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist auch die
\definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{}
\maabb {\varphi^{-1}} {Y} {X
} {}
holomorph.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wegen Satz 3.15 ist auch die Umkehrabbildung $\varphi^{-1}$ stetig. Die Holomorphe der Umkehrabbildung folgt mit Lemma 3.11 (5) aus der lokalen Version Satz 2.3.
\inputdefinition
{}
{
Zwei
\definitionsverweis {riemannsche Flächen}{}{}
\mathkor {} {X} {und} {Y} {}
heißen
\definitionswort {biholomorph}{,}
wenn es
\definitionsverweis {holomorphe Abbildungen}{}{}
\maabb {\varphi} {X} {Y
} {}
und
\maabb {\psi} {Y} {X
} {}
gibt mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \psi \circ \varphi
}
{ = }{
\operatorname{Id}_{ X }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi \circ \psi
}
{ = }{
\operatorname{Id}_{ Y }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
Statt biholomorph sagt man häufig auch einfach isomorph.
Satz 3.16
besagt, dass eine bijektive holomorphe Abbildung automatisch biholomorph ist. Biholomorphe riemannsche Flächen sind insbesondere
\definitionsverweis {homöomorph}{}{}
und als reelle Mannigfaltigkeiten
\definitionsverweis {diffeomorph}{}{.}
Die Umkehrung gilt dabei nicht, wie das folgende Beispiel zeigt.
\inputbeispiel{}
{
Die komplexen Zahlen ${\mathbb C}$ und die offene Kreisscheibe
\mathl{U { \left( 0,1 \right) }}{} sind nicht
\definitionsverweis {biholomorph}{}{,}
da jede
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{}
\maabb {} { {\mathbb C} } {U { \left( 0,1 \right) }
} {}
nach
Satz 1.7
konstant ist.
}
\inputfaktbeweis
{Komplexe Zahlen/Polynom/Abbildung auf projektiver Gerade/Lokale Gestalt/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ {\mathbb C} [Z]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein nichtkonstantes
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$k$.}
\faktfolgerung {Dann definiert $f$ eine
\definitionsverweis {holomorphe Abbildung}{}{}
\maabb {\tilde{f}} { {\mathbb P}^{1}_{ {\mathbb C} } } { {\mathbb P}^{1}_{ {\mathbb C} }
} {,}
die auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathbb C}
}
{ =} { {\mathbb P}^{1}_{ {\mathbb C} } \setminus \{\infty \}
}
{ =} { S^2 \setminus \{N\}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit $f$ übereinstimmt, die $\infty$ auf $\infty$ abbildet und die lokal in einer offenen Umgebung von $\infty$ eine $k$-te Potenzierung ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ = }{ z^{-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Z
}
{ = }{ { \left\{ z \in {\mathbb C} \mid f(z) = 0 \right\} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für die endliche Nullstellenmenge von $f$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Z'
}
{ = }{ { \left\{ z^{-1} \in {\mathbb C} \mid f(z) = 0 , \, z \neq 0 \right\} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für das Bild davon unter der Invertierungsabbildung. Auf
\mathl{{\mathbb C} ^{\times} \setminus Z}{} kommutiert das Diagramm
\zusatzklammer {$\tilde{f}$ gibt es noch nicht} {} {}
\mathdisp {\begin{matrix} {\mathbb C} ^{\times} \setminus Z \subseteq {\mathbb C}^{\times} \subseteq {\mathbb C} & & & \stackrel{ f }{\longrightarrow} & & & {\mathbb C} \supseteq {\mathbb C}^{\times} \\
& \searrow & & & & \swarrow & \\
\!\!\!\!\! z \mapsto z^{-1} \downarrow & & {\mathbb P}^{1}_{ {\mathbb C} } & \stackrel{ \tilde{f} }{\longrightarrow} & {\mathbb P}^{1}_{ {\mathbb C} } & & \, \, \, \, \downarrow u \mapsto u^{-1} \\
& \nearrow & & & & \nwarrow & \\
{\mathbb C} ^{\times} \setminus Z' \subseteq {\mathbb C}^{\times} \subseteq {\mathbb C} & & & \stackrel{ { \frac{ 1 }{ f(w^{-1} ) } } }{\longrightarrow} & & & {\mathbb C} \supseteq {\mathbb C}^{\times} \!\!\!\!\!
\end{matrix}} { }
auf ${\mathbb C} ^{\times} \setminus Z$. Auf
\mathl{{\mathbb C} ^{\times} \setminus Z'}{} ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \frac{ 1 }{ f(w^{-1} ) } }
}
{ =} { { \frac{ w^k }{ w^k f(w^{-1} ) } }
}
{ =} { { \frac{ w^k }{ w^k { \left( \sum_{n = 0}^k c_n w^{-n} \right) } } }
}
{ =} { { \frac{ w^k }{ \sum_{n = 0}^k c_n w^{k-n} } }
}
{ =} { { \frac{ w^k }{ \sum_{j = 0}^k c_{ k-j } w^{j} } }
}
}
{}
{}{.}
Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c_k
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist das Nennerpolynom im Nullpunkt
\zusatzklammer {für $w$} {} {}
invertierbar, es sei $g(w)$ die inverse holomorphe Funktion dazu, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ f(w^{-1} ) } }
}
{ =} { w^kg(w)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Diese Funktion kann man in den Nullpunkt
\zusatzklammer {von ${\mathbb C}$ unten links, also $\infty$ von ${\mathbb C}$ oben links} {} {}
fortsetzen mit dem Wert $0$, sie ist also auf einer offenen Umgebung von $0$ definiert und stimmt auf dem Übergang mit $f$ überein. Daher wird nach
Lemma 3.14
eine Funktion $\tilde{f}$ auf ganz ${\mathbb P}^{1}_{ {\mathbb C} }$ festgelegt. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g(w)
}
{ \neq} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist die lokale Gestalt $w^k$.
Die vorstehende Aussage werden wir in
Satz 18.6
wesentlich verallgemeinern.