Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Vorlesung 9/latex
\setcounter{section}{9}
\zwischenueberschrift{Verzweigung}
Bei einer Überlagerung mit konstanter endlicher Blätterzahl sind die Fasern alle endliche diskrete Mengen zu dieser Anzahl. Bei der Abbildung
\maabbeledisp {} { {\mathbb C} } { {\mathbb C}
} {z} {z^n
} {,}
sind die Fasern zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
alle $n$-elementig, dagegen ist die Faser im Nullpunkt einelementig. Allerdings kann man diese Abweichung auffangen, indem man die Nullstellen der Ableitungen mitzählt. In diesem Sinne ist für jedes Polynom $P$ vom Grad $n$ und jeden Punkt $a$ die Faser über $a$ $n$-anzahlig, wenn man die Exponenten
\zusatzklammer {Vielfachheiten} {} {}
der Linearfaktoren von $P-a$ mitzählt. Dies gilt allgemeiner für holomorphe Abbildungen, die
\definitionsverweis {endlich}{}{}
sind, also endliche Fasern haben und
\definitionsverweis {eigentlich}{}{}
sind.
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\maabb {\varphi} {X} {Y
} {}
eine nichtkonstante
\definitionsverweis {holomorphe Abbildung}{}{}
zwischen den
\definitionsverweis {zusammenhängenden}{}{}
\definitionsverweis {riemannschen Flächen}{}{}
\mathkor {} {X} {und} {Y} {.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ = }{ \varphi(x)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei $z$ ein
\definitionsverweis {lokaler Parameter}{}{}
um $y$. Dann nennt man die
\definitionsverweis {Nullstellenordnung}{}{}
der
\zusatzklammer {in einer offenen Umgebung von $x$ definierten} {} {}
\definitionsverweis {holomorphen Funktion}{}{}
$z \circ \varphi$ im Punkt $x$ den
\definitionswort {Verzweigungsindex}{}
von $\varphi$ in $x$. Sie wird mit
\mathl{\operatorname{Verz} { \left( x {{|}} \varphi(x) \right) }}{} bezeichnet.
}
Statt Verzweigungsindex sagt man auch Verzweigungsordnung, was insofern etwas problematisch ist, dass die Vielfachheit des
\definitionsverweis {Verzweigungsdivisor}{}{}
um $1$ niedriger ist. Wenn in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Verzweigungsindex $\geq 2$ ist, so sagt man, dass dort Verzweigung vorliegt. Die Menge aller Verzweigungspunkte nennt man auch den \stichwort {Verzweigungsort} {} und die Bildpunkte aller Verzweigungspunkte nennt man auch das \stichwort {Verzweigungsbild} {.} Über einem Punkt des Verzweigungsbildes liegt also zumindest ein Verzweigungspunkt, es muss aber nicht jeder Urbildpunkt ein Verzweigungspunkt sein. Der Verzweigungsort ist eine diskrete Teilmenge, da Verzweigung lokal durch das Verschwinden der ersten Ableitung charakterisiert ist. Das Verzweigungsbild ist im endlichen Fall ebenfalls diskret. Wir werden später sehen, dass dieser Verzweigungsbegriff auch mit dem Verzweigungsbegriff für diskrete Bewertungsringe übereinstimmt.
\inputfaktbeweis
{Riemannsche Fläche/Holomorphe Abbildung/Verzweigungsordnung/Charakterisierung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabb {\varphi} {X} {Y
} {}
eine nichtkonstante
\definitionsverweis {holomorphe Abbildung}{}{}
zwischen den
\definitionsverweis {zusammenhängenden}{}{}
\definitionsverweis {riemannschen Flächen}{}{}
\mathkor {} {X} {und} {Y} {}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann stimmt der
\definitionsverweis {Verzweigungsindex}{}{}
von $\varphi$ in $x$ mit dem Exponenten einer lokalen Beschreibung von $\varphi$ im Sinne von
Satz 2.1
überein.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wegen der Nichtkonstanz können wir nach
Satz 2.1
davon ausgehen, dass eine Potenzierung
\mathl{z \mapsto z^n}{} auf einer Kreisscheibe vorliegt und dass $x$ der Nullpunkt ist. Die Nullstellenordnung von $z^n$ ist aber $n$.
\inputfaktbeweis
{Riemannsche Fläche/Holomorphe Abbildung/Unverzweigt und lokaler Homöomorphismus/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabb {\varphi} {X} {Y
} {}
eine nichtkonstante
\definitionsverweis {holomorphe Abbildung}{}{}
zwischen den
\definitionsverweis {zusammenhängenden}{}{}
\definitionsverweis {riemannschen Flächen}{}{}
\mathkor {} {X} {und} {Y} {.}}
\faktfolgerung {Dann ist $\varphi$ genau dann
\definitionsverweis {unverzweigt}{}{,}
wenn $\varphi$ ein
\definitionsverweis {lokaler Homöomorphismus}{}{}
ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Unverzweigt bedeutet nach
Lemma 9.2,
dass die Abbildung lokal in geeigneten Koordinaten die Form
\mathl{z \mapsto z}{} besitzt. Dabei handelt es sich um einen lokalen Homöomorphismus. Bei
\mathl{z \mapsto z^n}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
liegt lokal keine Bijektion vor.
\zwischenueberschrift{Verzweigung bei endlichen Abbildungen}
\inputfaktbeweis
{Polynom/C/Endliche Abbildung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Eine nichtkonstante Polynomfunktion
\maabbdisp {f} { {\mathbb C} } { {\mathbb C}
} {}}
\faktfolgerung {ist eine
\definitionsverweis {endliche Abbildung}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Das Polynom definiert eine holomorphe Funktion
\maabb {f} { {\mathbb C} } { {\mathbb C}
} {,}
diese lässt sich nach
Lemma 3.19
zu einer
\definitionsverweis {holomorphen Abbildung}{}{}
\maabb {\tilde{f}} { {\mathbb P}^{1}_{ {\mathbb C} } } {{\mathbb P}^{1}_{ {\mathbb C} }
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{f} (\infty)
}
{ = }{ \infty
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
fortsetzen. Diese Abbildung ist nach
Lemma Anhang 3.3
\definitionsverweis {eigentlich}{}{}
und somit
\definitionsverweis {endlich}{}{.}
Diese Eigenschaft überträgt sich nach
Lemma Anhang X.Y
auf $f$ zurück.
\inputfaktbeweis
{Polynom ohne mehrfache Nullstelle/C/Quadratwurzel/Endliche Abbildung/Verzweigung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ {\mathbb C} [Z]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Polynom ohne mehrfache Nullstelle und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ = }{ { \left\{ (z,w) \mid w^2 = f(z) \right\} }
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}^2
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die zugehörige riemannsche Wurzelfläche mit der Projektion
\maabbele {p} {V} {{\mathbb C}
} {(z,w)} { z
} {.}}
\faktfolgerung {Dann ist $p$ eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {holomorphe Abbildung}{}{,}
die genau in den Punkten $(z,w)$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(z)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {verzweigt}{}{}
ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Bereits in
Korollar 2.8
wurde gezeigt, dass eine riemannsche Fläche vorliegt. Eine kompakte Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist nach
dem Satz von Heine-Borel
\definitionsverweis {beschränkt}{}{}
und
\definitionsverweis {abgeschlossen}{}{.}
Das Urbild
\mathl{p^{-1}(T)}{} ist abgeschlossen in $V$ wegen der Stetigkeit und auch abgeschossen in ${\mathbb C}^2$, da $V$ abgeschossen in ${\mathbb C}^2$ ist. Aufgrund der Beschränktheit ist auch
\mathl{{ \left\{ f(z) \mid z \in T \right\} }}{} beschränkt und damit ist auch
\mathl{{ \left\{ w \in {\mathbb C} \mid w^2 = f(z) , \, z\in T \right\} }}{} beschränkt. Also ist $p^{-1}(T)$ kompakt und $p$ ist
\definitionsverweis {eigentlich}{}{,}
also endlich. Die Aussage über die Verzweigung folgt direkt durch eine lokale Betrachtung oder aus
Satz 9.7.
\inputfaktbeweis
{Riemannsche Fläche/Endliche Abbildung/Struktursatz/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabb {\varphi} {X} {Y
} {}
eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {holomorphe Abbildung}{}{}
zwischen den
\definitionsverweis {riemannschen Flächen}{}{}
\mathkor {} {X} {und} {Y} {.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ \in }{ Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine offene Umgebung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ \in }{ V
}
{ \subseteq }{Y
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass das Urbild
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ = }{ \varphi^{-1} (V)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine disjunkte Zerlegung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ = }{ \biguplus_{ i \in I} U_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\definitionsverweis {Kartengebieten}{}{}
$U_i$ besitzt derart, dass die Einschränkung
\maabb {\varphi_i} {U_i} {V
} {}
biholomorph zu einer Potenzabbildung $z \mapsto z^{r_i}$ ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ \in }{ Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
fixiert. Die Endlichkeit bleibt erhalten, wenn man zu einer offenen Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ \in }{V
}
{ \subseteq }{Y
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
übergeht und
\maabbdisp {} { \varphi^{-1}(V)} {V
} {}
betrachtet. Wir können davon ausgehen, dass $V$ ein Kartengebiet ist mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und dass außerhalb von $0$ keine Verzweigung vorliegt. Es liegt dann nach
Satz 6.19
und
Korollar 9.3
eine endliche Überlagerung
\maabbdisp {} { \varphi^{-1}(V) \setminus \varphi^{-1}(0) } { V \setminus \{ 0 \}
} {}
mit einer gewissen
\definitionsverweis {Blätterzahl}{}{}
vor. Es seien
\mathl{x_1 , \ldots , x_m}{} die Urbildpunkte von $0$. Durch Verkleinerung von $V$ kann man annehmen, dass $\varphi^{-1}(V)$ die disjunkte Vereinigung von offenen Umgebungen $U_i$ ist mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_i
}
{ \in }{U_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Würde es nämlich eine weitere disjunkte offene Menge $U'$ im Urbild geben, die keinen Urbildpunkt von $0$ enthält, so sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x'
}
{ \in }{U'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit dem Bildpunkt $y'$. Dann wäre die Liftung eines Verbindungsweges von
\mathkor {} {y'} {nach} {0} {,}
die es nach
Satz 6.11
gibt, in $U'$ nicht abgeschlossen, was der Eigentlichkeit widerspricht. Nach einer weiteren Verkleinerung können wir nach
Satz 2.1
davon ausgehen, dass jede eingeschränkte Abbildung
\maabb {} {U_i} {V
} {}
nach einem Kartenwechsel eine Potenzierung $z \mapsto z^{r_i}$ ist.
Zu einer holomorphen Abbildung
\maabb {\varphi} { X} {Y
} {}
und einen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ \in }{ Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nennt man die Summe
\mathl{\sum_{ x \in \varphi^{-1}(y)} \operatorname{Verz} { \left( x {{|}} y \right) }}{}
\zusatzklammer {falls diese endlich ist} {} {}
die \stichwort {Gesamtordnung} {} von $f$ über $y$, man sagt, dass $y$ mit dieser Gesamtordnung angenommen wird. Speziell bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ = }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
spricht man von der \stichwort {Gesamtnullstellenordnung} {} von $\varphi$.
\inputfaktbeweis
{Riemannsche Fläche/Endlich/Faser mit Verzweigungsordnung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabb {\varphi} {X} {Y
} {}
eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {holomorphe Abbildung}{}{}
zwischen den
\definitionsverweis {riemannschen Flächen}{}{}
\mathkor {} {X} {und} {Y} {}
mit $Y$
\definitionsverweis {zusammenhängend}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die Summe
\mathl{\sum_{ x \in \varphi^{-1}(y)} \operatorname{Verz} { \left( x {{|}} y \right) }}{} konstant, also unabhängig von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ \in }{Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Aufgrund von dieser Aussage nennt man, den Sprachgebrauch von Überlagerungen erweiterend, bei einer endlichen holomorphen Abbildung die konstante Anzahl
\zusatzklammer {wenn man die Verzweigungspunkte richtig zählt} {} {}
der Elemente in der Faser die \stichwort {Blätterzahl} {} der Abbildung. Solche Abbildung werden manchmal auch \stichwort {verzweigte Überlagerungen} {} genannt.
Die Begriffe \stichwort {Decktransformation} {,} \stichwort {Decktransformationsgruppe} {} und \stichwort {normal} {} verwenden wir auch in dieser allgemeineren Situation.
\inputfaktbeweis
{Kompakte riemannsche Flächen/Holomorphe Abbildung/Grad/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabb {\varphi} {X} {Y
} {}
eine nichtkonstante
\definitionsverweis {holomorphe Abbildung}{}{}
zwischen den
\definitionsverweis {zusammenhängenden}{}{}
\definitionsverweis {riemannschen Flächen}{}{}
\mathkor {} {X} {und} {Y} {}
mit $X$
\definitionsverweis {kompakt}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ \in }{Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Summe
\mathl{\sum_{ x \in \varphi^{-1}(y)} \operatorname{Verz} { \left( x {{|}} y \right) }}{} konstant.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt aus Lemma Anhang 3.3 und Satz 9.7.
\inputfaktbeweis
{Kompakte riemannsche Fläche/Projektive Gerade/Holomorphe Abbildung/Grad/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabb {\varphi} {X} { {\mathbb P}^{1}_{ {\mathbb C} }
} {}
eine nichtkonstante
\definitionsverweis {holomorphe Abbildung}{}{}
von der
\definitionsverweis {zusammenhängenden}{}{}
\definitionsverweis {kompakten}{}{}
\definitionsverweis {riemannschen Fläche}{}{}
$X$ in die projektive Gerade.}
\faktfolgerung {Dann ist für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ \in }{ {\mathbb P}^{1}_{ {\mathbb C} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Summe
\mathl{\sum_{ x \in \varphi^{-1}(y)} \operatorname{Verz} { \left( x {{|}} y \right) }}{} konstant.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt unmittelbar aus Satz 9.8.
\inputfaktbeweis
{Riemannsche Fläche/Endliche Abbildung/Überlagerung/Lokaler Homöomorphismus/Faseranzahl/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabb {\varphi} {X} {Y
} {}
eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {holomorphe Abbildung}{}{}
zwischen den
\definitionsverweis {zusammenhängenden}{}{}
\definitionsverweis {riemannschen Flächen}{}{}
\mathkor {} {X} {und} {Y} {.}}
\faktuebergang {Dann sind folgende Aussagen äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungvier{$\varphi$ ist
\definitionsverweis {unverzweigt}{}{.}
}{$\varphi$ ist ein
\definitionsverweis {lokaler Homöomorphismus}{}{.}
}{$\varphi$ ist eine
\definitionsverweis {Überlagerung}{}{.}
}{Die Faseranzahl ${ \# \left( \varphi^{-1}(y) \right) }$ ist konstant für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ \in }{ Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Äquivalenz von (1) und (2) ergibt sich aus Korollar 9.3. Die Äquivalenz von (2) und (3) folgt aus Satz 6.19. Die Äquivalenz von (1) und (4) ergibt sich aus Satz 9.7.
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{}
\maabbeledisp {f} { {\mathbb C} \setminus \{-1,1\} } { {\mathbb C}
} {z} { { \frac{ 1 }{ 3 } } z^3-z
} {.}
Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f'(z)
}
{ =} { z^2-1
}
{ =} { (z-1)(z+1)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist die Abbildung überall
\definitionsverweis {unverzweigt}{}{}
und nach
Korollar 9.3
ein
\definitionsverweis {lokaler Homöomorphismus}{}{.}
Die entsprechende polynomiale Abbildung $\tilde{f}$ auf ${\mathbb C}$ ist surjektiv, sie hat an der Stelle $1$ den Wert $- { \frac{ 2 }{ 3 } }$ und an der Stelle $-1$ den Wert ${ \frac{ 2 }{ 3 } }$. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ 3 } } z^3-z + { \frac{ 2 }{ 3 } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 3 } } { \left( z^3-3z + 2 \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 3 } } { \left( z-1 \right) }^2 { \left( z+2 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ 3 } } z^3-z - { \frac{ 2 }{ 3 } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 3 } } { \left( z^3-3z - 2 \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 3 } } { \left( z+1 \right) }^2 { \left( z-2 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
daher ist auch $f$ selbst surjektiv. Es liegt keine
\definitionsverweis {Überlagerung}{}{}
vor, da über ${ \frac{ 2 }{ 3 } }$ und über $- { \frac{ 2 }{ 3 } }$ je ein Punkt und sonst stets drei Punkte liegen. Aus
Satz 9.10
folgt, dass $f$ nicht
\definitionsverweis {endlich}{}{}
ist. Dies kann man auch direkt und explizit sehen. Die Folge ${ \frac{ 2 }{ 3 } } + { \frac{ 1 }{ n } }$ konvergiert gegen ${ \frac{ 2 }{ 3 } }$ und die Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ = }{ { \left\{ { \frac{ 2 }{ 3 } } + { \frac{ 1 }{ n } } \mid n \in \N_+ \right\} } \cup \{ { \frac{ 2 }{ 3 } } \}
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\definitionsverweis {kompakt}{}{.}
Die Urbildmenge von $T$ unter der polynomialen Abbildung $\tilde{f}$ ist kompakt, durch die Herausnahme der beiden Punkte geht die Kompaktheit verloren.
}
\inputfaktbeweis
{Riemannsche Fläche/Endliche Abbildung/Punktierte Scheibe/Liftung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabb {p} {Y} {X
} {}
eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {holomorphe Abbildung}{}{}
zwischen den
\definitionsverweis {riemannschen Flächen}{}{}
\mathkor {} {X} {und} {Y} {.}
Es sei $W$ eine offene Kreisscheibe,
\maabb {\theta} {W} {X
} {}
eine holomorphe Abbildung und
\maabbdisp {\tilde{\theta}} { W \setminus \{0\} } { Y
} {}
eine holomorphe
\definitionsverweis {Liftung}{}{}
von $\theta {{|}}_{U \setminus \{0\} }$}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine eindeutige holomorphe Liftung von $\theta$, die $\tilde{\theta}$ fortsetzt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \theta(0)
}
{ = }{ P
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Über einer geeigneten offenen Scheibenumgebung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist $p^{-1}(U)$ nach
Satz 9.6
die disjunkte Vereinigung von Kreisscheiben $V_1 , \ldots , V_m$, wobei die Einschränkungen
\mathl{p {{|}}_{V_i}}{} Potenzabbildungen mit dem Bild $U$ sind. Wir können $W$ durch eine kleinere Scheibenumgebung von $0$ ersetzen und annehmen, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \theta(W)
}
{ \subseteq }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Da das Bild
\mathl{\tilde{\theta} (W \setminus \{0\})}{}
\definitionsverweis {zusammenhängend}{}{}
ist, gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tilde{\theta} (W \setminus \{0\})
}
{ \subseteq} { V_i
}
{ \defeqr} { V
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für ein $i$. Es liegt also ein kommutatives Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} W \setminus \{0\} & \stackrel{ \tilde{\theta} }{\longrightarrow} & V & \\ \downarrow & & \downarrow z^k \!\!\!\!\! & \\ W & \stackrel{ \theta }{\longrightarrow} & U & \!\!\!\!\! \\ \end{matrix}} { }
mit Kreisscheiben $U,V,W$ vor. Da $\betrag { \tilde{\theta}(w)^k }$ für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ \in }{ W \setminus \{0\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {beschränkt}{}{}
ist, ist auch $\betrag { \tilde{\theta}(w) }$ selbst beschränkt und somit gibt es nach
dem Riemannschen Hebbarkeitssatz
eine eindeutig bestimmte holomorphe Fortsetzung von $\tilde{\theta}$ nach $W$.
\inputfaktbeweis
{Riemannsche Fläche/Endliche Abbildung/Decktransformationsgruppe/Außerhalb diskreter Teilmenge/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabb {p} {Y} {X
} {}
eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {holomorphe Abbildung}{}{}
zwischen den
\definitionsverweis {riemannschen Flächen}{}{}
\mathkor {} {X} {und} {Y} {.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D
}
{ \subseteq }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {diskrete Teilmenge}{}{,}
wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X'
}
{ \defeq }{ X \setminus D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y'
}
{ \defeq }{ p^{-1} (X')
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die natürliche Restriktionsabbildung zwischen den
\definitionsverweis {Decktransformationsgruppen}{}{}
\maabbeledisp {} { \operatorname{Deck} { \left( Y {{|}} X \right) } } { \operatorname{Deck} { \left( Y' {{|}} X' \right) }
} {\varphi} { \varphi {{|}}_{Y'}
} {,}
ein
\definitionsverweis {Gruppenisomorphismus}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Homomorphieeigenschaft ist klar. Es ist $Y'$
\definitionsverweis {dicht}{}{}
in $Y$, daher ist die Abbildung injektiv. Zum Beweis der Surjektivität sei
\maabbdisp {\varphi} {Y'} {Y' \subseteq Y
} {}
eine Decktransformation über $X'$. Es liegt ein kommutatives Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} Y' & \stackrel{ \varphi }{\longrightarrow} & Y & \\ \downarrow & & \downarrow p \!\!\!\!\! & \\ Y & \stackrel{ p }{\longrightarrow} & X & \!\!\!\!\! \\ \end{matrix}} { }
vor, wobei die vertikale Abbildung links die Einbettung von $Y'$ in $Y$ ist. Für jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ \in }{ p^{-1}(D)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
können wir
Lemma 9.12
anwenden und erhalten eine Fortsetzung
\maabbdisp {\tilde{\varphi}} { Y} {Y
} {.}