Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Vorlesung 17/latex
\setcounter{section}{17}
\zwischenueberschrift{Assoziierter graduierter Ring}
\inputdefinition
{}
{
Zu einem
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ nennt man die
\definitionsverweis {direkte Summe}{}{}
von
$R/ {\mathfrak a}$-\definitionsverweis {Moduln}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Gr}_{ {\mathfrak a} } R
}
{ =} { R/ {\mathfrak a} \oplus {\mathfrak a} /{\mathfrak a}^2 \oplus {\mathfrak a}^2 /{\mathfrak a}^3 \oplus \ldots
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit der durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{[f] \cdot [g]
}
{ \defeq }{ [fg]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegebenen Multiplikation den
\definitionswort {assoziierten graduierten Ring}{}
zu ${\mathfrak a}$.
}
Diese Verknüpfung ist wohldefiniert. Der assoziierte graduierte Ring ist
$\N$-\definitionsverweis {graduiert}{}{}
und von der ersten Stufe erzeugt. Diese Konstruktion erlaubt es häufig, Fragen für einen beliebigen kommutativen Ring auf eine graduierte Situation zurückzuführen. Wenn ${\mathfrak a}$ ein endlich erzeugtes Ideal ist, so ist der graduierte Ring als Algebra endlich erzeugt, und zwar liefert ein Modulerzeugendensystem von
\mathl{{\mathfrak a}/{\mathfrak a}^2}{} ein Algebraerzeugendensystem, siehe
Aufgabe 17.4.
Wenn $R$ ein noetherscher lokaler Ring ist und man das maximale Ideale ${\mathfrak m}$ nimmt, so erhält man eine
\definitionsverweis {standard-graduierte Algebra}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {Restekörper}{}{}
\mathl{R/ {\mathfrak m}}{} als nullte Stufe.
\inputbeispiel{}
{
Zum Ring der Neilschen Parabel, also zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{ K[X,Y]/ { \left( X^2-Y^3 \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit dem maximalen Ideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ = }{ { \left( X,Y \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
kann man den
\definitionsverweis {assoziierten graduierten Ring}{}{}
wie folgt berechnen. Es gibt eine surjektive Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {K[S,T]} { \operatorname{Gr}_{ {\mathfrak m} } R
} {,}
die $S$ auf die Restklasse von $X$ und $T$ auf die Restklasse von $Y$ in
\mathl{{\mathfrak m}/ {\mathfrak m}^2}{} abbildet. Dabei ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi { \left( S^2 \right) }
}
{ =} { [X]^2
}
{ =} { [X^2]
}
{ =} { [Y^3]
}
{ =} { 0
}
}
{}{}{,}
da ja die dritte Potenz von $Y$ zu
\mathl{{\mathfrak m}^3}{} gehört. Da die Monome
\mathl{X^iY^j}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ = }{ 0,1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nicht in einer höheren Potenz liegen, hat man die Isomorphie
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K[S,T]/ { \left( S^2 \right) }
}
{ \cong} { \operatorname{Gr}_{ {\mathfrak m} } R
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Insbesondere ist der assoziierte graduierte Ring nicht reduziert, obwohl $R$ ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
ist.
}
Zu einem
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
$M$ und einem
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besitzt die Folge der
$R$-\definitionsverweis {Untermoduln}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M_n
}
{ =} { {\mathfrak a}^n M
}
{ \subseteq} { M
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Eigenschaften
\aufzaehlungzwei {
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M_{n+1}
}
{ \subseteq }{ M_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
} {Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} M_n
}
{ = }{ M_{n+1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ und $M$ ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}
Dann nennt man die
\definitionsverweis {direkte Summe}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Gr}_{ {\mathfrak a} } M
}
{ =} { M/ {\mathfrak a} M \oplus {\mathfrak a} M / {\mathfrak a}^2 M \oplus {\mathfrak a}^2 M / {\mathfrak a}^3 M\oplus \ldots
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
den
\definitionswort {assoziierten graduierten Modul}{}
zu ${\mathfrak a}$.
}
\inputfaktbeweis
{Kommutativer Ring/Modul/Ideal/Assoziierter graduierter Modul/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ und $M$ ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist der
\definitionsverweis {assoziierte graduierte Modul}{}{}
\mathl{\operatorname{Gr}_{ {\mathfrak a} } M}{} in natürlicher Weise ein
\definitionsverweis {graduierter Modul}{}{}
über dem
\definitionsverweis {assoziierten graduierten Ring}{}{}
\mathl{\operatorname{Gr}_{ {\mathfrak a} } R}{.} Wenn der Modul $M$
\definitionsverweis {endlich erzeugt}{}{}
ist, so ist
\mathl{\operatorname{Gr}_{ {\mathfrak a} } M}{} ein endlich erzeugter
\mathl{\operatorname{Gr}_{ {\mathfrak a} } R}{-}Modul.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir gehen aus von der Multiplikation
\maabbeledisp {} { {\mathfrak a}^d \times {\mathfrak a}^n M } { {\mathfrak a}^{d+n} M
} { (f,v)} { fv
} {,}
die wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}^d {\mathfrak a}^n M
}
{ = }{ {\mathfrak a}^{d+n} M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
wohldefiniert ist. Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{{\mathfrak a}^{d+1} {\mathfrak a}^n M
}
{ = }{ {\mathfrak a}^{d} {\mathfrak a}^{n+1} M
}
{ = }{ {\mathfrak a}^{d+n+1} M
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
induziert dies eine Abbildung
\maabbeledisp {} { {\mathfrak a}^d / {\mathfrak a}^{d+1} \times {\mathfrak a}^n M /{\mathfrak a}^{n+1} M } {{\mathfrak a}^{d+n} M /{\mathfrak a}^{d+n+1} M
} { ([f],[v])} { [fv]
} {.}
Die Gesamtheit dieser Abbildung ergibt eine Abbildung
\maabbdisp {} { \operatorname{Gr}_{ {\mathfrak a} } R \times \operatorname{Gr}_{ {\mathfrak a} } M } { \operatorname{Gr}_{ {\mathfrak a} } M
} {,}
die
\mathl{\operatorname{Gr}_{ {\mathfrak a} } M}{} zu einem graduierten
\mathl{\operatorname{Gr}_{ {\mathfrak a} } R}{-}Modul macht.
Ein Erzeugendensystem von $M/ {\mathfrak a}M$ ergibt direkt ein Erzeugendensystem für den graduierten Modul.
Zumeist wird das Ideal ein maximales Ideal sein, insbesondere das maximale Ideal eines lokalen Ringes. Die beiden folgenden Lemmata zeigen, dass man bei der Bestimmung des assoziierten graduierten Ringes die Lokalisierung umgehen kann.
\inputfaktbeweis
{Noetherscher Ring/Maximales Ideal/Idealpotenz mal Modul/Restklassenmodul/Direkt und lokal/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {noetherscher}{}{}
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
${\mathfrak n}$ ein
\definitionsverweis {maximales Ideal}{}{}
und $M$ ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ = }{R_{\mathfrak n}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Lokalisierung}{}{}
an ${\mathfrak n}$ mit dem maximalen Ideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ = }{ {\mathfrak n}R_{\mathfrak n}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mathl{M_{\mathfrak n}}{} die Lokalisierung des Moduls.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}^n M_{\mathfrak n} /{\mathfrak m}^{n+1} M_{\mathfrak n}
}
{ \cong} { {\mathfrak n}^nM /{\mathfrak n}^{n+1} M
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nach
Aufgabe 14.10
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R/{\mathfrak n}
}
{ \cong }{ R_{\mathfrak n}/{\mathfrak m}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
so dass der gleiche
\definitionsverweis {Restklassenkörper}{}{}
vorliegt. Die natürlichen
$R$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismen}{}{}
\maabb {} {{\mathfrak n}^n} {{\mathfrak m}^n
} {}
und
\maabbdisp {} {M} {M_{\mathfrak n}
} {}
induzieren einen $R$-Modulhomomorphismus
\maabbdisp {} { {\mathfrak n}^n M } { {\mathfrak m}^n M_{\mathfrak m}
} {}
und einen
$K$-\definitionsverweis {Vektorraumhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} { {\mathfrak n}^n M /{\mathfrak n}^{n+1} M } { {\mathfrak m}^n M_{\mathfrak n} / {\mathfrak m}^{n+1} M_{\mathfrak n}
} {.}
Dieser ist surjektiv, da
$R$-\definitionsverweis {Modulerzeuger}{}{}
von ${\mathfrak n}^n M$ auf ein $R_{\mathfrak n}$-Erzeugendensystem von ${\mathfrak m}^n M_{\mathfrak m}$ abbilden, und diese auf ein $R_{\mathfrak n}/ {\mathfrak m}$-Erzeugendensystem von
\mathl{{\mathfrak m}^n M_{\mathfrak n} / {\mathfrak m}^{n+1} M_{\mathfrak n}}{} abbilden.
Zum Beweis der Injektivität sei
\mathl{x \in {\mathfrak n}^n M}{} ein Element, das rechts auf $0$ abgebildet wird. D.h. es gilt
\mathl{x \in {\mathfrak m}^{n+1} M_{\mathfrak n}}{} in der Lokalisierung $M_{\mathfrak n}$. Dies bedeutet, dass es Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y_1 , \ldots , y_r
}
{ \in }{ {\mathfrak n}^{n+1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ q_i
}
{ = }{ { \frac{ z_i }{ s_i } }
}
{ \in }{ M_{\mathfrak n}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {also mit \mathlk{s_i \notin {\mathfrak n}}{} und \mathlk{z_i \in M}{}} {} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} { y_1 { \frac{ z_1 }{ s_1 } } + \cdots + y_r { \frac{ z_r }{ s_r } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt. Dies bedeutet zurückübersetzt nach $M$, dass es ein Element
\mathl{s \notin {\mathfrak n}}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{sx
}
{ =} { y_1 w_1 + \cdots + y_rw_r
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für gewisse
\mathl{w_i \in M}{} gibt. Da $s$ nicht zum maximalen Ideal ${\mathfrak n}$ gehört, gibt es ein \mathkon { c \in R } { und } { g \in {\mathfrak n} }{ } mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g+cs
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir multiplizieren die obige Gleichung mit $c$ und erhalten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (1-g)x
}
{ =} {csx
}
{ =} {c { \left( y_1 w_1 + \cdots + y_r w_r \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bzw.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} { c { \left( y_1 w_1 + \cdots + y_r w_r \right) } +g x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dabei gehört die rechte Seite offensichtlich zu
\mathl{{\mathfrak n}^{n+1} M}{,} und damit definiert $x$ das Nullelement in
\mathl{{\mathfrak n}^{n} M/ {\mathfrak n}^{n+1} M}{.}
\inputfaktbeweis
{Kommutativer Ring/Modul/Ideal/Filtration/Assoziierter graduierter Modul/Lokalisierung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {noetherscher}{}{}
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
${\mathfrak n}$ ein
\definitionsverweis {maximales Ideal}{}{}
und $M$ ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ = }{R_{\mathfrak n}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Lokalisierung}{}{}
an ${\mathfrak n}$ mit dem maximalen Ideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ = }{ {\mathfrak n}R_{\mathfrak n}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mathl{M_{\mathfrak n}}{} die Lokalisierung des Moduls.}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine natürliche graduierte
$R/ {\mathfrak n} = S/{\mathfrak m}$-\definitionsverweis {Algebraisomorphie}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Gr}_{ {\mathfrak n} } M
}
{ =} { \operatorname{Gr}_{ {\mathfrak m} } M_{\mathfrak n}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt unmittelbar aus Lemma 17.5.
\zwischenueberschrift{Die Hilbert-Samuel-Multiplizität eines lokalen Ringes}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {noetherscher}{}{}
\definitionsverweis {lokaler Ring}{}{}
und $M$ ein
\definitionsverweis {endlich erzeugter}{}{}
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}
Dann nennt man die
\definitionsverweis {Multiplizität}{}{}
des
\definitionsverweis {assoziierten graduierten Moduls}{}{}
\mathl{\operatorname{Gr}_{ {\mathfrak m} } M}{}
die
\definitionswort {Hilbert-Samuel-Multiplizität}{}
von $M$.
}
Entsprechend wird die \definitionsverweis {Hilbert-Samuel-Funktion}{}{} und das \definitionsverweis {Hilbert-Samuel-Polynom}{}{} zu $M$ unter Bezug auf den assoziierten graduierten Moduls definiert. Insbesondere sind diese Konzepte für den lokalen Ring $R$ selbst definiert und die Hilbert-Samuel-Multiplizität liefert eine Invariante für lokale Ringe.
\inputbemerkung
{}
{
Entscheidend für die
\definitionsverweis {Hilbert-Samuel-Multiplizität}{}{}
eines endlich erzeugten Moduls $M$ über einem noetherschen lokalen Ring sind die
$R/ {\mathfrak m}$-\definitionsverweis {Vektorraumdimensionen}{}{}
von
\mathl{{\mathfrak m}^n M/ {\mathfrak m}^{n+1} M}{,} denn diese sind nach Definition die $n$-te Stufe des assoziierten graduierten Moduls. Es liegt eine standard-graduierte $R/ {\mathfrak m}$-Algebra
\mathl{\operatorname{Gr}_{ {\mathfrak m} } R}{} und darüber nach
Lemma 16.5
ein endlich erzeugter graduierter Modul
\mathl{\operatorname{Gr}_{ {\mathfrak m} } M}{} vor, so dass die Multiplizität wohldefiniert ist. Nach
Satz 16.15
ist die Multiplizität eine natürliche Zahl.
}
\inputfaktbeweis
{Noetherscher Ring/Maximales Ideal/Modul/Lokalisierung/Hilbert-Samuel-Funktion/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak n}
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {maximales Ideal}{}{}
in einem
\definitionsverweis {noetherschen Ring}{}{}
und es sei $M$ ein
\definitionsverweis {endlich erzeugter}{}{}
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die
\definitionsverweis {Hilbert-Samuel-Funktion}{}{}
des $R_{\mathfrak n}$-Moduls $M_{\mathfrak n}$ gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{H(n)
}
{ =} { \dim_{ R/{\mathfrak n} } { \left( {\mathfrak n}^n M/{\mathfrak n}^{n+1} M \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt unmittelbar aus Lemma 17.5.
\inputfaktbeweis
{Lokaler noetherscher Ring/Maximales Ideal/Modul/Hilbert-Samuel-Funktion/Kumulativ/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {noetherscher}{}{}
\definitionsverweis {lokaler Ring}{}{}
und $M$ ein
\definitionsverweis {endlich erzeugter}{}{}
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tilde{H}_{ \operatorname{Gr}_{ {\mathfrak m} } M } (n)
}
{ =} { \ell { \left( M/ {\mathfrak m}^n M \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
d.h. die
\definitionsverweis {kumulative Hilbertfunktion}{}{}
des
\definitionsverweis {assoziierten graduierten Moduls}{}{}
misst die
\definitionsverweis {Länge}{}{}
von
\mathl{M/ {\mathfrak m}^n M}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir betrachten die kurze exakte Sequenz von
\mathl{R}{-}Homomorphismen
\mathdisp {0 \longrightarrow {\mathfrak m}^{n} M/ {\mathfrak m}^{n+1} M \longrightarrow M/ {\mathfrak m}^{n+1} M \longrightarrow M/ {\mathfrak m}^{n} M \longrightarrow 0} { }
von $R$-Moduln endlicher Länge. Dabei gilt nach
Satz 28.7 (Kommutative Algebra)
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \ell { \left( M / {\mathfrak m}^{n+1} M \right) } - \ell { \left( M / {\mathfrak m}^{n} M \right) }
}
{ =} { \ell { \left( {\mathfrak m}^{n} M / {\mathfrak m}^{n+1} M \right) }
}
{ =} { \dim_{ R/ {\mathfrak m} } { \left( {\mathfrak m}^{n} M / {\mathfrak m}^{n+1} M \right) }
}
{ =} { H(n)
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \ell { \left( M / {\mathfrak m}^{n} M \right) }
}
{ =} { \sum_{i<n} H(i)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und das ist die Definition der kumulativen Hilbertfunktion.
\inputfaktbeweis
{Polynomring/Hyperfläche/Untergrad/Hilbert-Samuel-Multiplizität/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F
}
{ \in} {K[ X_1 , \ldots , X_n ]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein Polynom $\neq 0$ mit dem
\definitionsverweis {Untergrad}{}{}
$m$.}
\faktfolgerung {Dann ist die
\definitionsverweis {Hilbert-Samuel-Multiplizität}{}{}
des Hyperflächenringes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{ K[X_1 , \ldots , X_n ]_{ { \left( X_1 , \ldots , X_n \right) } }/(F)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gleich $m$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nach Voraussetzung hat $F$ die Gestalt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F
}
{ =} { F_m+F_{m+1} + \cdots
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ = }{ (X_1 , \ldots , X_n )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das maximale Ideal im Polynomring
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ = }{ K[X_1 , \ldots , X_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dabei gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F
}
{ \in} { {\mathfrak a}^m
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für ein weiteres Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \in }{{\mathfrak a}^{d-m}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {mit \mathlk{d \geq m}{}} {} {}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{GF
}
{ \in }{{\mathfrak a}^{d}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Daher liegt eine kurze exakte Sequenz
\mathdisp {0\stackrel{}{\longrightarrow}S/{\mathfrak a}^{d-m}\stackrel{\cdot F}{\longrightarrow}S/{\mathfrak a}^{d}
\mathdisplaybruch\stackrel{}{\longrightarrow}S/({\mathfrak a}^{d},F)=R/{\mathfrak m}^{d}\stackrel{}{\longrightarrow}0} { }
vor. Dabei folgt die Injektivität links aus einer direkten Gradbetrachtung
\zusatzklammer {siehe
Aufgabe 17.14} {} {.}
Die Dimension von
\mathl{S/{\mathfrak a}^d}{} ist nach
Aufgabe 4.7
gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \binom { d-1+n } { n }
}
{ =} { { \frac{ (d+n-1) \cdots d }{ n! } }
}
{ =} { { \frac{ d^n + { \frac{ n(n-1) }{ 2 } } d^{n-1} + \cdots }{ n! } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ergibt sich für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d
}
{ \geq }{m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Gleichheit
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \dim(R/{\mathfrak m}^d)
}
{ =} { { \frac{ d^n + { \frac{ n(n-1) }{ 2 } } d^{n-1} + \cdots }{ n! } } - { \frac{ (d-m)^n + { \frac{ n(n-1) }{ 2 } } (d-m)^{n-1} + \cdots }{ n! } }
}
{ =} { { \frac{ d^n + { \frac{ n(n-1) }{ 2 } } d^{n-1} + \cdots }{ n! } } - { \frac{ d^n - nm d^{n-1} + { \frac{ n(n-1) }{ 2 } } d^{n-1} + \cdots }{ n! } }
}
{ =} { { \frac{ nm d^{n-1} + \cdots }{ n! } }
}
{ =} { { \frac{ m d^{n-1} + \cdots }{ (n-1) ! } }
}
}
{}
{}{.}
Dies ist die Behauptung.
Wegen des letzten Satzes und wegen Satz 15.4 stimmt die Hilbert-Samuel-Multiplizität eines Hyperflächenringes mit der über das Schnittverhalten mit einer generischen Gerade definierte Multiplizität überein. Die Beziehung zwischen Multiplizität und Glattheit werden wir in Korollar 21.9 diskutieren.