Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Vorlesung 25/latex
\setcounter{section}{25}
\zwischenueberschrift{Faktorielle Ringe}
\inputdefinition
{}
{
Ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
heißt \definitionswort {faktorieller Bereich}{,} wenn jede
\definitionsverweis {Nichteinheit}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sich als ein Produkt von
\definitionsverweis {Primelementen}{}{}
schreiben lässt.
}
\inputfaktbeweis
{Kommutative Ringtheorie/Verschiedene Charakterisierungen für faktoriell/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{.}}
\faktuebergang {Dann sind folgende Aussagen äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{ $R$ ist
\definitionsverweis {faktoriell}{}{.}
}{Jede Nichteinheit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besitzt eine Faktorzerlegung in
\definitionsverweis {irreduzible Elemente}{}{,}
und diese Zerlegung ist bis auf Umordnung und
\definitionsverweis {Assoziiertheit}{}{}
eindeutig.
}{Jede Nichteinheit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besitzt eine Faktorzerlegung in irreduzible Elemente, und jedes irreduzible Element ist ein
\definitionsverweis {Primelement}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
$(1) \Rightarrow (2)$. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Nichteinheit. Die Faktorisierung in Primelemente ist insbesondere eine Zerlegung in irreduzible Elemente, sodass also lediglich die Eindeutigkeit zu zeigen ist.
Dies geschieht durch Induktion über die minimale Anzahl der Primelemente in einer Faktorzerlegung. Wenn es eine Darstellung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ = }{p
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einem Primelement gibt, und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ = }{q_1 { \cdots } q_r
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine weitere Zerlegung in irreduzible Faktoren ist, so teilt $p$ einen der Faktoren $q_i$ und nach Kürzen durch $p$ erhält man, dass das Produkt der übrigen Faktoren rechts eine Einheit sein muss. Das bedeutet aber, dass es keine weiteren Faktoren geben kann. Es sei nun
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ = }{p_1 { \cdots } p_s
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und diese Aussage sei für Elemente mit kleineren Faktorisierungen in Primelemente bereits bewiesen. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f
}
{ =} {p_1 { \cdots } p_s
}
{ =} {q_1 { \cdots } q_r
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine weitere Zerlegung mit irreduziblen Elementen. Dann teilt wieder $p_1$ einen der Faktoren rechts, sagen wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p_1 u
}
{ = }{q_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann muss $u$ eine Einheit sein und wir können durch $p_1$ kürzen, wobei wir
\mathl{u^{-1}}{} mit $q_2$ verarbeiten können, was ein zu $q_2$ assoziiertes Element ergibt. Das gekürzte Element
\mathl{p_2 \cdots p_s}{} hat eine Faktorzerlegung mit
\mathl{s-1}{} Primelementen, sodass wir die Induktionsvoraussetzung anwenden können.
$(2) \Rightarrow (3)$. Wir müssen zeigen, dass ein irreduzibles Element auch prim ist. Es sei also $q$ irreduzibel und es teile das Produkt $fg$, sagen wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{qh
}
{ =} {fg
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für
$h,\, f$ und $g$
gibt es Faktorzerlegungen in irreduzible Elemente, sodass sich insgesamt die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ qh_1 { \cdots } h_r
}
{ =} { f_1 { \cdots } f_s g_1 { \cdots } g_t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ergibt. Es liegen also zwei Zerlegungen in irreduzible Element vor, die nach Voraussetzung im Wesentlichen übereinstimmen müssen. D.h. insbesondere, dass es auf der rechten Seite einen Faktor gibt, sagen wir $f_1$, der assoziiert zu $q$ ist. Dann teilt $q$ auch den ursprünglichen Faktor $f$.
$(3) \Rightarrow (1)$. Das ist trivial.
\inputfaktbeweis
{Hauptidealbereich/Faktoriell/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Ein
\definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{}}
\faktfolgerung {ist ein
\definitionsverweis {faktorieller Bereich}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt sofort aus Korollar 3.18 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)), Lemma 3.6 (Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)) und Satz 25.2.
\inputfaktbeweis
{Faktorieller Ring/Teilbarkeit/Charakterisierung mit Primexponenten/Fakt}
{Korollar}
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {faktorieller Ring}{}{}
und seien $a$ und $b$ Elemente $\neq 0$ mit Primfaktorzerlegungen
\mathdisp {a = u \cdot p_1^{r_1}\cdot p_2^{r_2} \cdots p_k^{r_k} \text{ und } b = v \cdot p_1^{s_1}\cdot p_2^{s_2} \cdots p_k^{s_k}} { }
\zusatzklammer {wobei die $u,v$
\definitionsverweis {Einheiten}{}{}
sind, die verschiedenen Primelemente nicht assoziiert sind und die Exponenten auch $0$ sein können} {} {.}
Dann gilt
\mathl{a {{|}} b}{} genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r_i
}
{ \leq }{s_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle Exponenten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ = }{ 1 , \ldots , k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{
Wenn die Exponentenbedingung erfüllt ist, so ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s_i -r_i
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und man kann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ b
}
{ =} { a { \left( vu^{-1} p_1^{s_1-r_1} \cdots p_k^{s_k-r_k} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
schreiben, was die Teilbarkeit bedeutet. Die Umkehrung folgt aus der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung in einem faktoriellen Ring.
\zwischenueberschrift{Faktorzerlegung in noetherschen Integritätsbereichen}
\inputfaktbeweis
{Noetherscher Integritätsbereich/Zerlegung in irreduzible Elemente/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {noetherscher}{}{}
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann besitzt jede
\definitionsverweis {Nichteinheit}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Faktorzerlegung in
\definitionsverweis {irreduzible Elemente}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nehmen wir an, dass es eine Nichteinheit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt, für die es keine Zerlegung in irreduzible Elemente gibt. Dann ist insbesondere $f$ nicht irreduzibel und somit gibt es eine Zerlegung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ = }{f_1 g_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
bei der die Faktoren keine Einheiten sind. Nach Voraussetzung besitzt zumindest ein Faktor, sagen wir $f_1$, keine Zerlegung in irreduzible Faktoren. Dabei gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(f)
}
{ \subset} { { \left( f_1 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei die Inklusion echt ist, da andernfalls $g_1$ eine Einheit wäre. So fortfahrend kann man eine unendliche Kette von
\definitionsverweis {Hauptidealen}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(f)
}
{ \subset} {{ \left( f_1 \right) }
}
{ \subset} {{ \left( f_2 \right) }
}
{ \subset} { \ldots
}
{ } {
}
}
{}{}{}
konstruieren. Dies widerspricht aber
Proposition 9.2 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)).
Mit einem ähnlichen Argument kann man die folgende Aussage beweisen.
{Noetherscher Integritätsbereich/Faktorzerlegung/Exponentschranke/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {noetherscher}{}{}
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f,g
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {Nichteinheiten}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es einen maximalen Exponenten $n$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ = }{g^n h
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 25.17. }
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten den Ring der stetigen reellwertigen Funktionen auf $\R$
\zusatzklammer {oder auf einer Intervallumgebung des Nullpunktes oder den Ring der Keime stetiger Funktionen} {} {.}
Die Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ \defeq} { \begin{cases} { \frac{ 1 }{ e^{1/x} } } \text{ für } x > 0\, , \\0 \text{ sonst} \, ,\end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist stetig. Für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{\N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mathl{{ \frac{ f }{ x^n } }}{} stetig im Nullpunkt fortsetzbar, da
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ e^{- 1/x} }{ x^n } }
}
{ =} { e^{-u} u^n
}
{ =} { { \frac{ u^n }{ e^u } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{u
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ x } }
}
{ \rightarrow} {\infty
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegen $0$ geht. Somit gilt in diesem Ring die faktorielle Zerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f
}
{ =} { x^n \cdot g_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für beliebiges $n$.
}
\inputfaktbeweis
{Noetherscher Integritätsbereich/Faktoriell/Primideale der Höhe 1/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {noetherscher}{}{}
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $R$ genau dann
\definitionsverweis {faktoriell}{}{,}
wenn jedes
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
in $R$ der
\definitionsverweis {Höhe}{}{}
$1$ ein
\definitionsverweis {Primhauptideal}{}{}
ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Sei zuerst $R$ faktoriell und ${\mathfrak p}$ ein Primideal der Höhe $1$. Dieses ist nicht das Nullideal und somit gibt es ein Element
\mathkor {} {f \neq 0} {} {f \in {\mathfrak p}} {.}
Dieses besitzt eine Faktorzerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f
}
{ =} {p_1 , \ldots , p_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in
\definitionsverweis {Primelemente}{}{}
und wegen der Primidealeigenschaft gibt es ein Primelement
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ \in }{ {\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann liegt die Primidealkette
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(p)
}
{ \subseteq} { {\mathfrak p}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
vor, und wegen der Höhenbedingung stimmen die beiden Ideale überein.
Sei umgekehrt jedes Primideal der Höhe $1$ ein Primhauptideal. Wegen
Lemma 25.5
und
Satz 25.2
ist lediglich zu zeigen, dass jedes irreduzible Element ein Primelement ist. Sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
irreduzibel und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{ {\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein minimales Primoberideal. Nach
dem Krullschen Hauptidealsatz
besitzt ${\mathfrak p}$ die Höhe $1$ und nach Voraussetzung ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}
}
{ =} { (p)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einem Primelement $p$. Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f
}
{ =} {gp
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und $g$ muss eine Einheit sein. Somit ist $f$ selbst prim.
\inputfaktbeweis
{Integritätsbereich/Primelement/Nenneraufnahme/Rückübersetzung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {noetherscher}{}{}
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Primelement}{}{.}}
\faktvoraussetzung {Es sei $R_p$
\definitionsverweis {faktoriell}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Element, das aufgefasst in $R_p$ prim ist.}
\faktfolgerung {Dann gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g
}
{ = }{hp^r
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in $R$ mit einer
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
oder einem Primelement $h$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir schreiben
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g
}
{ = }{hp^r
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit dem maximal möglichen Exponenten $r$, den es nach
Lemma 25.6
gibt, und behaupten, dass $h$ ein Primelement oder eine Einheit ist. Wir betrachten die Situation, wo $h$ keine Einheit ist, und müssen $h$ als Primelement nachweisen. Es teile $h$ ein Produkt, sagen wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ hc
}
{ =} { ab
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daraus ergibt sich in $R_p$, da $h$ wie $g$ prim in $R_p$ ist, dass $h$ einen der Faktoren in $R_p$ teilt. Es gibt also ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h { \frac{ d }{ p^s } }
}
{ =} { a
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h d
}
{ =} { a p^s
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in $R$. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist man fertig. Andernfalls teilt $p$, da es $h$ wegen der Maximalität des Exponenten nicht teilt, den anderen Faktor $d$ und so erhält man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h { \frac{ d }{ p } }
}
{ =} { a p^{s-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in $R$. Induktive Anwendung dieses Arguments liefert das Resultat.
\inputfaktbeweis
{Integritätsbereich/Primelement/Nenneraufnahme/Faktoriell/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {noetherscher}{}{}
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
und
\mathl{p \in R}{} ein
\definitionsverweis {Primelement}{}{.}}
\faktvoraussetzung {Es sei $R_p$
\definitionsverweis {faktoriell}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $R$ selbst faktoriell.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine von $0$ verschiedene
\definitionsverweis {Nichteinheit}{}{}
von $R$. In $R_p$ gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f
}
{ =} { { \frac{ g_1 }{ p^{n_1} } } \cdots { \frac{ g_s }{ p^{n_s} } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit $g_i$, die in $R_p$ prim sind
\zusatzklammer {ein Faktor kann eine Einheit sein} {} {.}
In $R$ gilt somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ p^n f
}
{ =} { g_1 \cdots g_s
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Nach
Lemma 25.9
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g_i
}
{ =} { h_i p^{r_i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit Primelementen oder Einheiten $h_i$. Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ p^n f
}
{ =} { p^{r+r_1 + \cdots + r_s} h_1 \cdots h_s
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da $p$ kein Teiler der $h_i$ ist, kann man $p^n$ vollständig wegkürzen und erhält eine Zerlegung von $f$ in Primfaktoren.
\inputfakt{Polynomring/Über faktoriellem Ring/Ist faktoriell/Fakt}{Satz}{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {faktorieller Bereich}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist auch der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{} $R[X]$ faktoriell.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
\zwischenueberschrift{Faktorialität regulärer Ringe}
\inputfaktbeweis
{Lokaler Ring/Regulär/Faktoriell/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Ein
\definitionsverweis {regulärer lokaler Ring}{}{}}
\faktfolgerung {ist
\definitionsverweis {faktoriell}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Der Ring ist ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
nach
Satz 21.5.
Wir beweisen die Faktorialität durch Induktion über die Dimension $d$ des Ringes. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist nichts zu zeigen, sei also die Faktorialität für lokale reguläre Ringe kleinerer Dimension bekannt. Es sei
\mathl{f \in {\mathfrak m} \setminus {\mathfrak m}^2}{.} Dann ist $R/(f)$ nach
Lemma 21.4
regulär und insbesondere ist
\mathl{R/(f)}{} ein Integritätsbereich. Somit ist $f$ ein Primelement von $R$. Nach
Lemma 25.10
genügt es zu zeigen, dass $R_f$ faktoriell ist. Dafür ist nach
Lemma 25.8
zu zeigen, dass jedes Primideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}
}
{ \neq }{ (f)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Höhe $1$ von $R$ in $R_f$ ein Hauptideal wird. Für jedes Primideal ${\mathfrak q}$ von $R_f$ ist $R_{\mathfrak q}$ eine Lokalisierung von $R$ und somit regulär nach
Satz 24.2.
Da die Dimension von $R_{\mathfrak q}$ kleiner als $d$ ist, können wir die Induktionsvoraussetzung anwenden und erhalten, dass ${\mathfrak p} R_{\mathfrak q}$ ein Hauptideal ist. Dies bedeutet, dass ${\mathfrak p}_f$ lokal in $R_f$ ein Hauptideal ist, und zwar vom Rang $1$. Nach
Korollar 23.8
ist ${\mathfrak p}_f$ ein
\definitionsverweis {projektiver}{}{}
$R_f$-Modul. Nach
Satz 24.1
gibt es eine endliche freie Auflösung
\mathdisp {0 \longrightarrow F_r \longrightarrow \cdots \longrightarrow F_1 \longrightarrow F_0 \longrightarrow {\mathfrak p} \longrightarrow 0} { . }
Dies führt mit der Nenneraufnahme an $f$ zu einer endlichen freien Auflösung
\mathdisp {0 \longrightarrow (F_r)_f \longrightarrow \cdots \longrightarrow (F_1)_f \longrightarrow (F_0)_f \longrightarrow {\mathfrak p}_f \longrightarrow 0} { }
auf $R_f$. Somit sind die Bedingungen von
Lemma Anhang 17.6
erfüllt und man erhält, dass ${\mathfrak p}_f$ durch einen freien $R_f$-Modul zu einem freien Modul ergänzt werden kann. Wegen der Rangeigenschaft folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}_f
}
{ = }{ R_f
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nach
Lemma Anhang 17.7,
es liegt also ein Hauptideal vor.
In der Dimension $1$ ist faktoriell und regulär äquivalent, siehe Satz 21.8 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)). In der Dimension $2$ gibt es neben den regulären Ringen nur noch einen \zusatzklammer {nach Komplettierung} {} {} weiteren faktoriellen Ring.
\inputfakt{E8-Singularität/Faktoriell/Fakt}{Satz}{}
{
\faktsituation {Der
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathl{{\mathbb C}[X,Y,Z]/ { \left( X^2+Y^3+Z^5 \right) }}{}}
\faktfolgerung {ist
\definitionsverweis {faktoriell}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
\inputbemerkung
{}
{
Es sei $V$ eine
\definitionsverweis {affine Varietät}{}{}
über einem
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossenen Körper}{}{}
$K$ mit einer
\definitionsverweis {isolierten Singularität}{}{}
im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Das offene Komplement
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ = }{V \setminus \{P\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\definitionsverweis {glatt}{}{,}
aber im Allgemeinen nicht mehr affin. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist $U$ eine
\definitionsverweis {komplexe Mannigfaltigkeit}{}{,}
ihre
\definitionsverweis {Fundamentalgruppe}{}{}
\zusatzklammer {die man die lokale Fundamentalgruppe von $V$ nennt} {} {}
ist ein wichtiges Maß für die Singularität, siehe die 9. und die 10. Vorlesung. Nach
Satz 21.6
und
Satz 25.12
sind die
\definitionsverweis {lokalen Ringe}{}{}
\mathl{{\mathcal O}_{V,Q}}{} für alle Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ \neq }{P
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {faktoriell}{}{.}
Ein jedes
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
der
\definitionsverweis {Höhe}{}{}
$1$ von $R$ ist daher in diesen lokalen Ringen nach
Lemma 25.8
ein
\definitionsverweis {Hauptideal}{}{.}
Es liegt also auf $U$
\zusatzklammer {aber im Allgemeinen nicht auf $V$} {} {}
ein
\definitionsverweis {lokal freier Modul}{}{}
vom Rang $1$ vor. Man spricht auch von \stichwort {invertierbaren Moduln} {} auf $U$ bzw., etwas geometrischer, von \stichwort {Geradenbündel} {} auf $U$. Die Menge all dieser invertierbaren Moduln auf $U$ bilden mit der Tensorierung als Verknüpfung und dem trivialen Objekt, dem freien Modul $R$, als neutralem Element, eine kommutative Gruppe, die die \stichwort {Picardgruppe} {} von $U$ heißt und die eine wichtige Invariante von $R$ ist. Sie ist
\zusatzklammer {bei $R$ normal} {} {}
genau dann trivial, wenn $R$ faktoriell ist, und ist insofern ein Maß dafür, wie weit die Singularität von der Faktorialität abweicht. Die Picardgruppe der $A_n$-Singularitäten ist beispielsweise
\mathl{\Z/(n+1)}{,} übrigens wie die Fundamentalgruppe, siehe
Satz 9.7
oder
Beispiel 10.3.
}