Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - Stetigkeitssequenzen K-Regularität

Einführung

Die folgende Aussage liefert einerseits die Negation der ${\mathcal {TKP}}$-Eigenschaft und andererseits sogar eine Charakterisierung der ${\mathcal {LC}}^{k}$-Regularität in kommutativen lokalkonvexe Algebren und der ${\mathcal {PC}}^{k}$-Regularität in kommutativen pseudokonvexe Algebren. Der Beweis des Satzes erfolgt analog zum Satz, der die TKP-Eigenschaft über Gaugefunktionale charakterisiert.

Stetigkeitssequenzen

Der Beweise des folgenden Satzes verwendet Stetigkeitssequenzen bei K-Regularität verwendet die Algebraerweiterung und ${\mathcal {K}}$-Regulärität dazu, die topologischen Eigenschaften von einem ${\mathcal {K}}$-regulären Element ${\textstyle z\in {\mathcal {G}}_{\mathcal {K}}(A)}$ in $A$ selbt darüber abzuleiten.

Satz: Stetigkeitssequenzen K-Regularität

Sei ${\textstyle (A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}})\in {\mathcal {K}}_{e}}$ und ${\textstyle z\in {\mathcal {G}}_{\mathcal {K}}(A)}$, dann gibt es für alle ${\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$, ein ${\textstyle \beta \in {\mathcal {A}}}$, eine Folge ${\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,k)}\right)_{k\in \mathbb {N} }}$ von Gaugefunktionalen mit Konstanten $D_{k}(\alpha )>0$ mit ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,0)}:=\left\|\cdot \right\|_{\alpha }}$, für die folgende Bedingungen gelten:

• (U1) ${\textstyle \left\|x\right\|_{\alpha }\leq \left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}\leq D_{k}(\alpha )\cdot \left\|x\right\|_{\beta }}$ für alle ${\textstyle x\in A}$ und ${\textstyle k\in \mathbb {N} _{0}}$,
• (U2) ${\textstyle \left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}\leq \left\|zx\right\|_{(\alpha ,k+1)}}$ für alle ${\textstyle x\in A}$ und ${\textstyle k\in \mathbb {N} _{0}}$.

Beweis

Seien ${\textstyle z\in {\mathcal {G}}_{\mathcal {T}}(A)}$, ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right),\left(B,\left\|\!\left|\cdot \right|\!\right\|_{\widetilde {\mathcal {A}}}\right)\in {\mathcal {T}}_{e}(\mathbb {K} )}$, ${\textstyle B}$ eine ${\textstyle {\mathcal {T}}}$-Erweiterung von ${\textstyle A}$ und ${\textstyle b\in B}$ sei das Inverse zu ${\textstyle z}$. Ohne Einschränkung sind die obigen Gaugefunktionalsysteme unital positiv.

Beweis 1: Äquivalentes Gaugefunktionalsystem

Man betrachtet das auf der Algebraerweiterung ${\textstyle B}$ definierte Gaugefunktionalsystem $\left\|\!\left|\cdot \right|\!\right\|_{\widetilde {\mathcal {A}}}$ und induziert damit ein Gaugefunktionalsystem ${\textstyle \left\|\!\left|\cdot \right|\!\right\|_{\widetilde {\mathcal {A}}}}$ auf $A$, das zu dem gegebenen Gaugefunktionalsystem $\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}$ äquivalent ist.

Beweis 2: Definition äquivalentes Gaugefunktionalsystem

Das von $B$ auf $A$ induzierte Gaugefunktionalsystem ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\widetilde {\mathcal {A}}}}$ wird mit dem Algebraisomorphismus $\tau :A\to A'\subset B$ definiert (siehe Algebraerweiterung) d.h.

$${\begin{array}{rccl}\left\|\cdot \right\|_{\widetilde {\alpha }}:&A&\longrightarrow &\mathbb {K} ,\\&x&\longmapsto &\left\|\!\left|\tau (x)\right|\!\right\|_{\widetilde {\alpha }}{\mbox{ mit }}{\widetilde {\alpha }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}}\\\end{array}}$$

Beweis 3: Homöomorphie - Äquivalenz Gaugefunktionalsystem

Da $\tau :A\to A'\subset B$ ein Algebraisomorphismus ist und $A'$ homöomorph zu $A$ ist, liefert die Stetigkeit von $\tau$ und $\tau ^{-1}$ die Äquivalenz der Gaugefunktionalsysteme ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\widetilde {\mathcal {A}}}}$ und ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$.

Beweis 4 - Stetigkeit der Multiplikation

Für alle ${\widetilde {\alpha }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}}$ gibt es ein ${\textstyle {\widetilde {\gamma }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}}}$, sodass für alle ${\textstyle x\in A}$ gilt

$$\left|\!\left\|x\cdot y\right\|\!\right|_{\widetilde {\alpha }}\leq \left|\!\left\|x\right\|\!\right|_{\widetilde {\gamma }}\cdot \left|\!\left\|y\right\|\!\right|_{\widetilde {\gamma }}$$

Für alle ${\widetilde {\gamma }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}}$ gibt es ein ${\textstyle {\widetilde {\beta }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}}}$, sodass für alle ${\textstyle x\in A}$ gilt

$$\left|\!\left\|x\cdot y\right\|\!\right|_{\widetilde {\gamma }}\leq \left|\!\left\|x\right\|\!\right|_{\widetilde {\beta }}\cdot \left|\!\left\|y\right\|\!\right|_{\widetilde {\beta }}$$

Beweis 5 - Definition von Stetigkeitssequenzen

Nun sei $b\in B$ das multiplikativ inverse Element zu $z\in A$ dann definiert man damit folgendes System ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{{\widetilde {\mathcal {A}}}\times \mathbb {N} _{0}}}$ mit den ${\mathcal {K}}$-Gaugefunktionalen mit ${\widetilde {\beta }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}}$.

$${\begin{array}{rcl}\left\|\cdot \right\|_{({\widetilde {\alpha }},n)}:A&\longrightarrow &\mathbb {K} ,\\x&\longmapsto &\displaystyle \max _{k\in \{0,...,n\}}\left|\!\left\|z^{k}\right\|\!\right|_{\widetilde {\gamma }}\cdot \left\|\!\left|b^{n}\cdot x\right|\!\right\|_{\widetilde {\gamma }}\end{array}}$$

Beweis 6 - Ungleichung U1 über Gaugefunktionale

Man erhält über die Stetigkeit der Multiplikation folgende Ungleichungen:

${\begin{array}{rcl}\left\|x\right\|_{\widetilde {\alpha }}&=&\left|\!\left\|x\right\|\!\right|_{\widetilde {\alpha }}=\left|\!\left\|z^{n}\cdot b^{n}\cdot x\right\|\!\right|_{\widetilde {\alpha }}\\&\leq &\left|\!\left\|z^{n}\right\|\!\right|_{\widetilde {\gamma }}\cdot \left|\!\left\|b^{n}\cdot x\right\|\!\right|_{\widetilde {\gamma }}\\&\leq &\left|\!\left\|z^{n}\right\|\!\right|_{\widetilde {\gamma }}\cdot \left\|x\right\|_{({\widetilde {\alpha }},n)}\\&\leq &\displaystyle \max _{k\in \{0,...,n\}}\left|\!\left\|z^{k}\right\|\!\right|_{\widetilde {\gamma }}\cdot \left\|x\right\|_{({\widetilde {\alpha }},n)}=\left\|x\right\|_{({\widetilde {\alpha }},n)}\\&\leq &\underbrace {\left|\!\left\|b^{n}\right\|\!\right|_{\widetilde {\beta }}} _{=:D_{n}({\widetilde {\alpha }})}\cdot \left|\!\left\|x\right\|\!\right|_{\widetilde {\beta }}=D_{n}({\widetilde {\alpha }})\cdot \left\|x\right\|_{\widetilde {\beta }}\end{array}}$

Beweis 7 - Unitale Positivität

Unter Verwendung der Unitalen Positivität der verwendeten Gaugfunktionalsysteme erhält man insbesondere:

$${\begin{array}{rcl}0&<&\left\|e_{A}\right\|_{\widetilde {\alpha }}=\left\|z^{n}\cdot e_{A}\right\|_{({\widetilde {\alpha }},n)}=\left\|z^{n}\right\|_{({\widetilde {\alpha }},n)}\\0&<&\left\|e_{A}\right\|_{\widetilde {\alpha }}\leq \underbrace {\left|\!\left\|b^{n}\right\|\!\right|_{\widetilde {\beta }}} _{D_{n}({\widetilde {\alpha }})=}\cdot \left|\!\left\|e_{A}\right\|\!\right|_{\widetilde {\beta }}=\underbrace {D_{n}({\widetilde {\alpha }})} _{>0}\cdot \underbrace {\left\|e_{A}\right\|_{\widetilde {\beta }}} _{>0}\end{array}}$$

Beweis 8 - Ungleichung U2 über Gaugefunktionale

Für diese ${\widetilde {\alpha }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}}$ gibt es eine Konstante $D_{k}({\widetilde {\alpha }})>0$ und ein ${\widetilde {\beta }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}}$

${\begin{array}{rcl}\left\|x\right\|_{({\widetilde {\alpha }},n)}&=&\displaystyle \max _{k\in \{0,...,n\}}\left|\!\left\|z^{k}\right\|\!\right|_{\widetilde {\gamma }}\cdot \left\|\!\left|b^{n}\cdot x\right|\!\right\|_{\widetilde {\gamma }}\\&=&\displaystyle \max _{k\in \{0,...,n\}}\left|\!\left\|z^{k}\right\|\!\right|_{\widetilde {\gamma }}\cdot \left\|\!\left|b^{n+1}\cdot z\cdot x\right|\!\right\|_{\widetilde {\gamma }}\\&\leq &\displaystyle \max _{k\in \{0,...,n+1\}}\left|\!\left\|z^{k}\right\|\!\right|_{\widetilde {\gamma }}\cdot \left\|\!\left|b^{n+1}\cdot z\cdot x\right|\!\right\|_{\widetilde {\gamma }}\\&=&\left\|z\cdot x\right\|_{({\widetilde {\alpha }},n+1)}\end{array}}$

Beweis 9 - Äquivalenz der Gaugefunktionalsysteme

Insgesamt gilt die folgende Abschätzung durch die Äquivalenz der Gaugefunktionalsysteme auch für das gegebene Gaugefunktionalsystem $\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}$, denn für alle $\alpha \in {\mathcal {A}}$ gibt es eine Konstante $C_{1}>0$ und eine ${\widetilde {\alpha }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}}$ mit

$\left\|\cdot \right\|_{\alpha }\leq C_{1}\cdot \left\|\cdot \right\|_{\widetilde {\alpha }}$

Beweis 10 - Äquivalenz der Gaugefunktionalsysteme

Dann gibt es wieder mit der Äquivalenz der Gaugefunktionalsysteme ${\widetilde {\beta }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}}$ gibt es ein $\beta \in {\mathcal {A}}$ eine Konstante $C_{2}>0$ mit

$\left\|\cdot \right\|_{\widetilde {\alpha }}\leq C_{2}\cdot \left\|\cdot \right\|_{\beta }$

Beweis 11 - Ungleichung U1 mit Äquivalenz

Insgesamt erhält man für alle $\alpha \in {\mathcal {A}}$ gibt es ein $\beta \in {\mathcal {A}}$ und Konstanten $D_{k}(\alpha )>0$, sodass für alle $x\in A$:

${\begin{array}{rcl}\left\|x\right\|_{\alpha }&\leq &C_{1}\cdot \left\|x\right\|_{\widetilde {\alpha }}\\&\leq &\underbrace {C_{1}\cdot \left\|x\right\|_{({\widetilde {\alpha }},n)}} _{=:\left\|x\right\|_{(\alpha ,n)}}=\left\|x\right\|_{(\alpha ,n)}\\&\leq &D_{k}({\widetilde {\alpha }})\cdot \left\|x\right\|_{\widetilde {\beta }}\\&\leq &\underbrace {D_{k}({\widetilde {\alpha }})\cdot C_{2}} _{D_{k}(\alpha ):=}\cdot \left\|x\right\|_{\beta }=D_{k}(\alpha )\cdot \left\|x\right\|_{\beta }\\\end{array}}$

Beweis 12 - Ungleichung U2 mit Äquivalenz

Insgesamt erhält man für alle $\alpha \in {\mathcal {A}}$ gibt es ein $\beta \in {\mathcal {A}}$ und Konstanten $D_{k}(\alpha )>0$ die analoge Ungleichung für das Gaugefunktionalsystem $\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}$ für alle $x\in A$:

${\begin{array}{rcl}\left\|x\right\|_{(\alpha ,n)}&=&C_{1}\cdot \left\|x\right\|_{({\widetilde {\alpha }},n)}\\&\leq &\underbrace {C_{1}\cdot \left\|z\cdot x\right\|_{({\widetilde {\alpha }},n+1)}} _{\left\|z\cdot x\right\|_{(\alpha ,n+1)}}=\left\|z\cdot x\right\|_{(\alpha ,n+1)}\end{array}}$

Beweis 13

Insgesamt gelten nun die beiden Ungleichungen:

• (U1) ${\textstyle \left\|x\right\|_{\alpha }\leq \left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}\leq D_{k}(\alpha )\cdot \left\|x\right\|_{\beta }}$ für alle ${\textstyle x\in A}$ und ${\textstyle k\in \mathbb {N} _{0}}$,
• (U2) ${\textstyle \left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}\leq \left\|zx\right\|_{(\alpha ,k+1)}}$ für alle ${\textstyle x\in A}$ und ${\textstyle k\in \mathbb {N} _{0}}$.

Damit folgt die Behauptung. $\Box$

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• Satz - TKP und Gaugefunktionale - (Foliensatz)
• Satz - KP-TNT-Summen - (Foliensatz)

Siehe auch

• Algebraerweiterung
• Topologisch kleine Potenzen
• Topologische Nullteiler
• Kleine Potenzen
• LC-Regularität
• PC-Regularität

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