Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Vorlesung 24

Die Menge der effektiven Divisoren bilden mit der natürlichen Addition ein kommutatives Monoid, aber keine Gruppe, da ja die Koeffizienten ${}n_{\mathfrak {p}}$ alle nichtnegativ sind. Lässt man auch negative ganze Zahlen zu, so gelangt man zum Begriff des Divisors, die eine Gruppe bilden. Auch den Begriff des Hauptdivisors kann man so erweitern, dass er nicht nur für ganze Elemente aus ${}R$, sondern auch für rationale Elemente, also Elemente aus dem Quotientenkörper ${}Q(R)$, definiert ist.

Definition

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich. Ein Divisor ist eine formale Summe

$\sum _{\mathfrak {p}}n_{\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {p}},$

die sich über alle Primideale ${}{\mathfrak {p}}\neq 0$ aus ${}R$ erstreckt und wobei ${}n_{\mathfrak {p}}$ ganze Zahlen mit ${}n_{\mathfrak {p}}=0$ für fast alle ${}{\mathfrak {p}}$ sind.

Für einen diskreten Bewertungsring lässt sich die Ordnung ${}\operatorname {ord} \colon R\setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {N}$, ${}q\longmapsto \operatorname {ord} (q)$, zu einer Ordnungsfunktion auf dem Quotientenkörper fortsetzen,

$\operatorname {ord} \colon Q(R)\setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {Z} ,\,q\longmapsto \operatorname {ord} (q),$

siehe Aufgabe 24.1.

Definition

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und ${}q\in Q(R)$, ${}q\neq 0$. Dann heißt die Abbildung, die jedem Primideal ${}{\mathfrak {p}}\neq 0$ in ${}R$ die Ordnung ${}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(q)$ zuordnet, der durch ${}q$ definierte Hauptdivisor. Er wird mit ${}\operatorname {div} {\left(q\right)}$ bezeichnet und als formale Summe

${}\operatorname {div} {\left(q\right)}=\sum _{\mathfrak {p}}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(q)\cdot {\mathfrak {p}}\,$

geschrieben.

Die Menge der Divisoren bildet eine additive freie Gruppe, die wir mit ${}\operatorname {Div} (R)$ bezeichnen. Sie enthält die Gruppe der Hauptdivisoren als Untergruppe (siehe Aufgabe 24.2), die wir mit ${}H$ bezeichnen. Da wir im letzten Abschnitt eine Bijektion zwischen effektiven Divisoren und von null verschiedenen Idealen (und von effektiven Hauptdivisoren mit von null verschiedenen Hauptidealen) gestiftet haben, liegt die Frage nahe, welche (Ideal-ähnlichen) Objekte den Divisoren entsprechen. Wir wollen also wissen, durch welche Objekte wir das Fragezeichen im folgenden Diagramm ersetzen müssen.

${\begin{matrix}\operatorname {Ideale} (R)&{\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}&\operatorname {E-Div} (R)\\\downarrow &&\downarrow \\?&{\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}&\operatorname {Div} (R)\end{matrix}}$

Da wir einen Divisor ${}D$ stets schreiben können als ${}D=E-F$ mit effektiven Divisoren ${}E$ und ${}F$, liegt die Vermutung nahe, nach etwas wie dem Inversen (bezüglich der Multiplikation) eines Ideals zu suchen.

Definition

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich mit Quotientenkörper ${}Q(R)$. Dann nennt man einen endlich erzeugten ${}R$- Untermodul ${}{\mathfrak {f}}$ des ${}R$- Moduls ${}Q(R)$ ein gebrochenes Ideal.

Lemma

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich mit Quotientenkörper ${}Q(R)$ und sei ${}{\mathfrak {f}}\subseteq Q(R)$ eine Teilmenge. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}{\mathfrak {f}}$ ist ein gebrochenes Ideal.
2. Es gibt ein Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ in ${}R$ und ein Element ${}r\in R$, ${}r\neq 0$, sodass

   ${}{\mathfrak {f}}={\frac {\mathfrak {a}}{r}}={\left\{{\frac {a}{r}}\mid a\in {\mathfrak {a}}\right\}}\,$

   gilt.

Beweis

Es sei zunächst ${}{\mathfrak {f}}$ ein gebrochenes Ideal. Dann ist

${}{\mathfrak {f}}=R{\left({\frac {a_{1}}{r_{1}}},\ldots ,{\frac {a_{n}}{r_{n}}}\right)}\,.$

Nach Übergang zu einem Hauptnenner kann man annehmen, dass ${}r=r_{1}=\ldots =r_{n}$ ist. Dann hat man mit dem Ideal ${}{\mathfrak {a}}=(a_{1},\ldots ,a_{n})$ eine Beschreibung der gewünschten Art. Ist umgekehrt ${}{\mathfrak {f}}={\frac {\mathfrak {a}}{r}}$, so ist dies natürlich ein endlich erzeugter ${}R$- Untermodul von ${}Q(R)$.

$\Box$

Wie für Ideale spielen diejenigen gebrochenen Ideale, die von einem Element erzeugt sind, eine besondere Rolle.

Definition

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich mit Quotientenkörper ${}Q(R)$. Dann nennt man ein gebrochenes Ideal der Form ${}{\mathfrak {f}}=Rq$ mit ${}q\in Q(R)$ ein gebrochenes Hauptideal.

Aus Lemma 24.4 ergibt sich sofort, dass für einen Hauptidealbereich jedes gebrochene Ideal ein gebrochenes Hauptideal ist.

Definition

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich mit Quotientenkörper ${}Q(R)$. Dann definiert man für gebrochene Ideale ${}{\mathfrak {f}}$ und ${}{\mathfrak {g}}$ das Produkt ${}{\mathfrak {f}}\cdot {\mathfrak {g}}$ als den von allen Produkten erzeugten ${}R$-Untermodul von ${}Q(R)$, also

${}{\mathfrak {f}}\cdot {\mathfrak {g}}:=R\langle gf:\,f\in {\mathfrak {f}},\,g\in {\mathfrak {g}}\rangle \,,$

wobei die Produkte in ${}Q(R)$ zu nehmen sind.

Wird das gebrochene Ideal ${}{\mathfrak {f}}$ als ${}R$-Modul von ${}f_{1},\ldots ,f_{n}$ erzeugt und wird das gebrochene Ideal ${}{\mathfrak {g}}$ von ${}g_{1},\ldots ,g_{m}$ erzeugt, so wird das Produkt ${}{\mathfrak {f}}{\mathfrak {g}}$ von den Produkten ${}f_{i}g_{j}$, ${}1\leq i\leq n,1\leq j\leq m$, erzeugt. Also ist das Produkt in der Tat wieder endlich erzeugt und damit ein gebrochenes Ideal. Für Ideale stimmt natürlich das Idealprodukt mit dem hier definierten Produkt von gebrochenen Idealen überein. Das Produkt von gebrochenen Hauptidealen ist wieder ein gebrochenes Hauptideal. Man kann direkt zeigen, oder aber den Bijektionssatz weiter unten benutzen, dass die Menge der von null verschiedenen gebrochenen Ideale eine Gruppe bilden, und die von null verschiedenen gebrochenen Hauptideale darin eine Untergruppe.

Ein gebrochenes Ideal ${}{\mathfrak {f}}$ ist ein sogenannter invertierbarer Modul. D.h. es ist lokal isomorph zum Ring selbst. Mit diesen Formulierungen ist folgendes gemeint: Für ein maximales Ideal (also für ein von null verschiedenes Primideal) ${}{\mathfrak {p}}$ ist ${}{\mathfrak {f}}R_{\mathfrak {p}}={\mathfrak {f}}_{\mathfrak {p}}$ (dies ist die Lokalisierung eines Moduls an einem Primideal) ein endlich erzeugter ${}R_{\mathfrak {p}}$-Modul (${}\neq 0$), der zugleich im Quotientenkörper liegt. Solche Moduln sind isomorph zu ${}R_{\mathfrak {p}}$. Siehe Aufgabe 24.9.

Definition

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und

${}D=\sum _{\mathfrak {p}}n_{\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {p}}\,$

ein Divisor (wobei ${}{\mathfrak {p}}$ durch die Menge der Primideale ${}\neq 0$ läuft). Dann nennt man

${\left\{f\in Q(R)\mid \operatorname {div} {\left(f\right)}\geq D\right\}}$

das gebrochene Ideal zum Divisor ${}D$. Es wird mit ${}\operatorname {Id} (D)$ bezeichnet.

Das folgende Lemma zeigt, dass man in der Tat ein gebrochenes Ideal erhält, und dass diese Definition mit der früheren Definition ***** verträglich ist.

Lemma

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und ${}D=\sum _{\mathfrak {p}}n_{\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {p}}$ ein Divisor.

Dann ist die Menge ${}{\left\{f\in Q(R)\mid \operatorname {div} {\left(f\right)}\geq D\right\}}$ ein gebrochenes Ideal.

Ist ${}D$ ein effektiver Divisor, dann ist das so definierte gebrochene Ideal ein Ideal und stimmt mit dem Ideal überein, das einem effektiven Divisor gemäß der Definition ***** zugeordnet wird.

Beweis

Es sei ${}{\mathfrak {f}}={\left\{f\in Q(R)\mid \operatorname {div} {\left(f\right)}\geq D\right\}}$. Gemäß der Konvention, dass ${}\operatorname {div} {\left(0\right)}=\infty$ zu interpretieren ist, ist ${}0\in {\mathfrak {f}}$. Für zwei Elemente ${}f_{1},f_{2}\in Q(R)$ mit ${}\operatorname {div} {\left(f_{1}\right)},\operatorname {div} {\left(f_{2}\right)}\geq D$ gilt

${}\operatorname {div} {\left(f_{1}+f_{2}\right)}\geq {\min {\left(\operatorname {div} {\left(f_{1}\right)},\operatorname {div} {\left(f_{2}\right)}\right)}}\geq D\,$

und

${}\operatorname {div} {\left(rf\right)}=\operatorname {div} {\left(r\right)}+\operatorname {div} {\left(f\right)}\geq D\,$

für ${}r\in R$, da ja ${}\operatorname {div} {\left(r\right)}$ effektiv ist. Also liegt in der Tat ein ${}R$-Modul vor.

Bevor wir die endliche Erzeugtheit nachweisen, betrachten wir die zweite Aussage. Es sei also ${}E$ ein effektiver Divisor. Wir haben zu zeigen, dass

${}{\left\{f\in Q(R)\mid \operatorname {div} {\left(f\right)}\geq E\right\}}={\left\{f\in R\mid \operatorname {div} {\left(f\right)}\geq E\right\}}\,$

ist, wobei die Inklusion ${}\supseteq$ klar ist. Es sei also ${}f\in Q(R)$ und angenommen, der zugehörige Hauptdivisor ${}\operatorname {div} {\left(f\right)}$ sei ${}\geq E$. Dann ist ${}\operatorname {div} {\left(f\right)}$ insbesondere effektiv. Die Effektivität bedeutet ${}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)\geq 0$ für jedes von ${}0$ verschiedene Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ und dies bedeutet ${}f\in R_{\mathfrak {p}}$. Das heißt, dass ${}f$ zu jedem diskreten Bewertungsring zu jedem maximalen Ideal von ${}R$ gehört. Dies bedeutet aber nach Satz 22.9, dass ${}f\in R$ ist.

Zum Nachweis der endlichen Erzeugtheit bemerken wir, dass es zu jedem Divisor ${}D$ ein ${}r\in R$ derart gibt, dass ${}D'=D+\operatorname {div} {\left(r\right)}$ effektiv ist. Das zu ${}D'$ gehörige gebrochene Ideal ist dann ein Ideal, also endlich erzeugt, und dies überträgt sich auf das gebrochene Ideal zu ${}D$.

$\Box$

Definition

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und ${}{\mathfrak {f}}\neq 0$ ein von ${}0$ verschiedenes gebrochenes Ideal. Dann nennt man den Divisor

${}\operatorname {div} ({\mathfrak {f}})=\sum _{\mathfrak {p}}m_{\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {p}}\,$

mit

${}m_{\mathfrak {p}}=\operatorname {min} \left(\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f){|}f\in {\mathfrak {f}},\,f\neq 0\right)\,$

den Divisor zum gebrochenen Ideal ${}{\mathfrak {f}}$.

Da das gebrochene Ideal ${}{\mathfrak {f}}$ nach Definition endlich erzeugt ist, muss man das Minimum nur über eine endliche Menge nehmen. Insbesondere ist der zugehörige Divisor wohldefiniert. Für ein Ideal stimmt diese Definition offensichtlich mit der alten überein.

Lemma

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Es sei ${}{\mathfrak {f}}$ ein gebrochenes Ideal mit einer Darstellung ${}{\mathfrak {f}}={\frac {\mathfrak {a}}{h}}$ mit ${}h\in R$ und einem Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$. Dann ist

   ${}\operatorname {div} {\left({\mathfrak {f}}\right)}=\operatorname {div} {\left({\mathfrak {a}}\right)}-\operatorname {div} {\left(h\right)}\,.$

2. Zu einem Divisor ${}D$ gibt es ein ${}h\in R$ derart, dass ${}D+\operatorname {div} {\left(h\right)}$ effektiv ist.
3. Zu einem Divisor ${}D$ mit ${}E=D+\operatorname {div} {\left(h\right)}$ effektiv ist

   ${}\operatorname {Id} (D)={\frac {\operatorname {Id} (E)}{h}}\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe 24.10.

$\Box$

Auch die Einzelheiten des Beweises des folgenden Satzes überlassen wir dem Leser, siehe Aufgabe 24.11.

Satz

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich. Dann sind die Zuordnungen

${\mathfrak {f}}\longmapsto \operatorname {div} ({\mathfrak {f}})\,\,\,{\text{ und }}\,\,\,D\longmapsto \operatorname {Id} (D)$

zueinander inverse Abbildungen zwischen der Menge der von ${}0$ verschiedenen gebrochenen Ideale und der Menge der Divisoren. Diese Bijektion ist ein Isomorphismus von Gruppen.

Beweis

Wir haben zu zeigen, dass die hintereinandergeschalteten Abbildungen jeweils die Identität ergeben. Dies kann man mittels Lemma 24.10 auf den effektiven Fall zurückführen. Die Zuordnung ${}{\mathfrak {f}}\mapsto \operatorname {div} ({\mathfrak {f}})$ führt die Multiplikation von gebrochenen Idealen in die Addition von Divisoren über, da dies an jedem diskreten Bewertungsring ${}R_{\mathfrak {p}}$ gilt. Wegen der Bijektivität liegt dann auch links eine Gruppe vor und die Abbildungen sind Gruppenisomorphismen.

$\Box$

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