Es sei
ein
offenes reelles Intervall.
Eine
Differentialgleichung
der Form
-
wobei
-
eine
Matrix
ist, deren Einträge allesamt
Funktionen
-
sind, heißt homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung oder homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem.
Es handelt sich also um die Differentialgleichung zum
Vektorfeld
-
Dieses Vektorfeld ist zu jedem fixierten Zeitpunkt
eine
lineare Abbildung
-
Ausgeschrieben liegt das Differentialgleichungssystem
-
vor. Es gibt immer die Nulllösung, also die konstante Abbildung mit dem Nullvektor als Wert, diese nennt man auch die triviale Lösung.
Für lineare Differentialgleichungssysteme gibt es wieder eine inhomogene Variante.
Es sei
ein
offenes reelles Intervall.
Eine
Differentialgleichung
der Form
-
wobei
-
eine
Matrix
ist, deren Einträge allesamt
Funktionen
-
sind und wobei
-
eine Abbildung ist, heißt inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung oder inhomogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem. Die Abbildung heißt dabei Störabbildung.
Insgesamt liegt das Differentialgleichungssystem
vor.
Die explizite Lösbarkeit eines solchen Systems hängt natürlich von der Kompliziertheit der beteiligten Funktionen
und
ab. In der folgenden Situation kann man das System auf einzelne eindimensionale lineare inhomogene Differentialgleichungen zurückführen und dadurch sukzessive lösen.
Es sei
ein
offenes Intervall
und es liege eine
inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung
der Form
-
mit
stetigen Funktionen
und
und den Anfangsbedingungen
-
vor.
Dann lässt sich diese Gleichung lösen, indem man sukzessive unter Verwendung der zuvor gefundenen Lösungen die
inhomogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen in einer Variablen,
nämlich
-
-
-
-
-
löst.
Beweis
Das ist trivial.
Die Lösungen eines solchen linearen Differentialgleichungssystems in oberer Dreiecksgestalt stehen also in Bijektion zu den Lösungen der linearen inhomogenen Differentialgleichungen in einer Ortsvariablen, wobei die Störfunktionen jeweils mit den anderen Lösungen in der beschriebenen Weise zusammenhängen. Insbesondere übertragen sich Existenz- und Eindeutigkeitsaussagen.
Auch wenn man ein homogenes System lösen möchte, so muss man in den Einzelschritten inhomogene Differentialgleichungen lösen.