Meromorphe Funktion/Residuum/Eigenschaften/Textabschnitt

Das Residuum ${}\operatorname {Res} _{P}\left(f\right)$ zu einer holomorphen Funktion ${}f$ auf ${}U\setminus \{P\}$ im Punkt ${}P$ ist insbesondere für jede auf ${}U$ definierte meromorphe Funktion definiert und besitzt dort gewisse zusätzliche Eigenschaften. Nach Aufgabe ist

${}f(z)={\frac {g(z)}{(z-P)^{m}}}\,$

für ein ${}m$ mit einer holomorphen Funktion ${}g$ und das Residuum kann aus der Potenzreihe von ${}g$ abgelesen werden. Daher kann das Residuum auch mit der Ableitung berechnet werden.

Lemma

Es sei ${}f$ eine meromorphe Funktion auf einer offenen Menge ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ und sei ${}P\in U$ ein Punkt. Es sei ${}m\in \mathbb {N}$ zumindest so groß wie die Polordnung von ${}f$ in ${}P$ und sei

${}f(z)={\frac {g(z)}{(z-P)^{m}}}\,$

mit einer holomorphen Funktion ${}g$ auf ${}U$.

Dann ist

${}\operatorname {Res} _{P}\left(f\right)={\frac {g^{(m-1)}(P)}{(m-1)!}}\,.$

Beweis

Wir schreiben

${}f(z)={\frac {g(z)}{(z-P)^{m}}}\,$

mit der holomorphen Funktion

${}g(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-P)^{n}\,.$

Dann besitzt ${}f$ die Laurent-Reihe

${}f(z)=(z-P)^{-m}{\left(\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-P)^{n}\right)}={\left(\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-P)^{n-m}\right)}\,$

und das Residuum von ${}f$ in ${}P$ ist gleich ${}c_{m-1}$. Somit ist

${}\operatorname {Res} _{P}\left(f\right)=c_{m-1}={\frac {g^{(m-1)}(P)}{(m-1)!}}\,$

nach Fakt.

$\Box$

Zu einer nullstellenfreien differenzierbare Funktion ${}f$ nennt man ${}{\frac {f'}{f}}$ die logarithmische Ableitung von ${}f$, siehe Aufgabe für den Grund für diese Bezeichnung.

Lemma

Es sei ${}f\neq 0$ eine meromorphe Funktion auf einer offenen Menge ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$.

Dann ist die (Nullstellen)-Ordnung von ${}f$ in einem Punkt ${}P\in U$ gleich

$\operatorname {Res} _{P}\left({\frac {f'}{f}}\right).$

Beweis

Wir können ${}P=0$ annehmen, es sei

${}f(z)=\sum _{n=k}^{\infty }c_{n}z^{n}\,$

die Laurent-Entwicklung von ${}f$ im Nullpunkt mit ${}c_{k}\neq 0$, d.h. ${}k$ ist die Ordnung von ${}f$ im Nullpunkt. Es ist dann

${}f'(z)=\sum _{n=k}^{\infty }nc_{n}z^{n-1}\,.$

Der Ansatz

${}{\begin{aligned}f\cdot (kz^{-1}+b_{0}z+b_{1}z^{1}+\ldots )&=(c_{k}z^{k}+c_{k+1}z^{k+1}+\ldots )(kz^{-1}+b_{0}z+b_{1}z^{1}+\ldots )\\&=kc_{k}z^{k-1}+(k+1)c_{k+1}z^{k}+\ldots \\&=f'\end{aligned}}$

zeigt, dass die meromorphe Funktion ${}{\frac {f'}{f}}$ mit ${}kz^{-1}$ beginnt und daher das Residuum ${}k$ besitzt.

$\Box$

Die vorstehende Aussage kann man auch als Korollar zu der folgenden Aussage erhalten.

Lemma

Es sei ${}f\neq 0$ eine meromorphe Funktion auf einer offenen Menge ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ und es sei ${}h$ eine holomorphe Funktion auf ${}U$.

Dann ist

${}\operatorname {ord} _{P}{\left(f\right)}\cdot h(P)=\operatorname {Res} _{P}\left({\frac {h(z)f'(z)}{f(z)}}\right)\,.$

Beweis

Es sei ${}k=\operatorname {ord} _{P}{\left(f\right)}$ die Ordnung von ${}f$ in ${}P$. Dann ist

${}f={\left(z-P\right)}^{k}g(z)\,$

mit einer in ${}P$ holomorphen Funktion ${}g$ mit ${}g(P)\neq 0$. Mit der Produktregel ist

${}h(z){\frac {f'(z)}{f(z)}}=h(z){\frac {k{\left(z-P\right)}^{k-1}g(z)+{\left(z-P\right)}^{k}g'(z)}{{\left(z-P\right)}^{k}g(z)}}=h(z){\left(k\cdot {\frac {1}{z-P}}+{\frac {g'(z)}{g(z)}}\right)}\,.$

Hierbei ist ${}{\frac {g'(z)}{g(z)}}$ holomorph und daher kann man aus der rechten Seite direkt die Laurent-Reihe im Punkt ${}P$ ablesen, sie ist nämlich ${}{\frac {k\cdot h(P)}{z-P}}+$ eine Potenzreihe. Daher ist das Residuum der linken Seite im Punkt ${}P$ gleich ${}k\cdot h(P)$.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}f\neq 0$ eine meromorphe Funktion auf einer offenen Menge ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$.

Dann ist für ${}P\in U$

${}\operatorname {ord} _{P}{\left(f\right)}\cdot P=\operatorname {Res} _{P}\left({\frac {zf'(z)}{f(z)}}\right)\,.$

Beweis

Dies folgt aus Fakt mit der Funktion ${}h(z)=z$.

$\Box$

Beachte, dass in der vorstehenden Aussage eine Gleichheit von komplexen Zahlen ausgesprochen wird.