Normierter Raum/Abzählbare Topologie/Separabilität/Einführung/Textabschnitt

Lemma

Ein metrischer Raum

besitzt genau dann eine abzählbare Basis der Topologie, wenn er eine abzählbare dichte Teilmenge besitzt.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Definition

Ein normierter ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum heißt separabel, wenn seine Topologie eine abzählbare Basis besitzt.

Lemma

Für einen normierten ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum ${}V$ sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}V$ ist separabel.
2. ${}V$ besitzt eine abzählbare dichte Teilmenge.
3. ${}V$ besitzt einen dichten Untervektorraum mit abzählbarer Dimension.

Beweis

Die Äquivalenz von (1) und (2) ergibt sich aus Fakt. Wenn (2) erfüllt ist, so besitzt natürlich der durch eine abzählbare dichte Punktmenge erzeugte Untervektorraum ${}U$ eine abzählbare Basis und ${}U$ ist dicht. Es sei (3) erfüllt mit

${}U=\langle v_{n},\,n\in \mathbb {N} \rangle \,$

und dicht. Wir nehmen ${}{\mathbb {K} }=\mathbb {R}$ an und behaupten, dass der ${}\mathbb {Q}$-Vektorraum ${}T=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }\mathbb {Q} v_{n}$, der nach Fakt abzählbar ist, eine dichte Teilmenge von ${}V$ ist. Es sei dazu ${}Q\in U{\left(Q,\epsilon \right)}\subseteq V$ eine offene Umgebung eines Punktes ${}Q\in V$. Es gibt dann ein Element

${}u=\sum _{n\in E}a_{n}v_{n}\in U\,$

mit ${}E\subseteq \mathbb {N}$ endlich mit ${}m$ Elementen und ${}d{\left(Q,u\right)}=\delta <\epsilon$. Es sei ${}S$ eine obere Schranke für ${}\Vert {v_{n}}\Vert$, ${}n\in E$. Wenn man in ${}u$ die reellen Koeffizienten ${}a_{n}$ durch rationale Koeffizienten ${}b_{n}$ mit

${}\vert {b_{n}-a_{n}}\vert <{\frac {\epsilon -\delta }{mS}}\,$

ersetzt, so erhält man das Element ${}\sum _{n\in E}b_{n}v_{n}\in T$ innerhalb von ${}U{\left(Q,\epsilon \right)}$. Es ist ja

${}{\begin{aligned}\Vert {Q-\sum _{n\in E}b_{n}v_{n}}\Vert &\leq \Vert {Q-\sum _{n\in E}a_{n}v_{n}}\Vert +\Vert {\sum _{n\in E}b_{n}v_{n}-\sum _{n\in E}a_{n}v_{n}}\Vert \\&\leq \delta +\sum _{n\in E}\vert {b_{n}-a_{n}}\vert \Vert {v_{n}}\Vert \\&<\delta +\epsilon -\delta \\&=\epsilon .\end{aligned}}$

$\Box$

Wenn ein dichter Untervektorraum mit abzählbarer Dimension vorliegt, so gibt es davon eine Basis der Form ${}f_{1},f_{2},\ldots$. In vielen Beispielen, insbesondere, wenn ein separabler Hilbertraum vorliegt, lässt sich eine solche „dichte Basis“ des Gesamtraumes explizit angeben, siehe beispielsweise Fakt, Fakt und Fakt.