Projektiver Raum/Kohärente Garbe/Endlichkeitssatz/Fakt/Beweis

Beweis

Für die getwisteten Strukturgarben ${}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}(\ell )$ ergibt sich die Aussage aus Fakt. Damit gilt sie auch für endliche direkte Summen von solchen Garben. Den allgemeinen Fall beweisen wir durch absteigende Induktion über den kohomologischen Index ${}i$. Wenn dieser oberhalb von ${}n$ liegt, so gibt es nach Fakt nur triviale Kohomologie (wenn ${}R$ endliche Dimension besitzt, so kann man auch mit Fakt argumentieren), was den Induktionsanfang sichert. Es sei also die Aussage für ein ${}i$ und jede kohärente Garbe bewiesen. Es sei ${}{\mathcal {F}}$ eine kohärente Garbe. Dann gibt es nach Fakt eine endliche direkte Summe ${}\bigoplus _{j\in J}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}(\ell _{j})$ und einen surjektiven ${}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{d}}$-Modulhomomorphismus

$\bigoplus _{j\in J}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}(\ell _{j})\longrightarrow {\mathcal {F}}.$

Es sei ${}{\mathcal {G}}$ der Kern dieser Abbildung, der nach Aufgabe

ebenfalls kohärent ist. Die zugehörige lange exakte Kohomologiesequenz zur Garbensequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {G}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\bigoplus _{j\in J}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}(\ell _{j})\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {F}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

ist

$\ldots \longrightarrow H^{i-1}({\mathbb {P} }_{R}^{n},\bigoplus _{j\in J}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}(\ell _{j})){\stackrel {\epsilon }{\longrightarrow }}H^{i-1}({\mathbb {P} }_{R}^{n},{\mathcal {F}}){\stackrel {\delta }{\longrightarrow }}H^{i}({\mathbb {P} }_{R}^{n},{\mathcal {G}})\longrightarrow \ldots .$

Dazu gehört die kurze exakte Sequenz von ${}R$-Moduln

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\operatorname {bild} \epsilon =\operatorname {kern} \delta \,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,H^{i-1}({\mathbb {P} }_{R}^{n},{\mathcal {F}})\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\operatorname {bild} \delta \,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0.$

Nach der Vorüberlegung bzw. der Induktionsvoraussetzung sind ${}H^{i-1}({\mathbb {P} }_{R}^{n},\bigoplus _{j\in J}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}(\ell _{j}))$ und ${}H^{i}({\mathbb {P} }_{R}^{n},{\mathcal {G}})$ endlich erzeugte ${}R$-Moduln und daher sind auch ${}\operatorname {bild} \epsilon$ und nach Fakt auch ${}\operatorname {kern} \delta$ endlich erzeugt. Nach Fakt ist auch ${}H^{i-1}({\mathbb {P} }_{R}^{n},{\mathcal {F}})$ endlich erzeugt.

Zur bewiesenen Aussage