Restklassengruppen/Kommutativ/Z mod n/Einführung/Textabschnitt

Bei der folgenden Konstruktion denke man an die Gruppe ${}\mathbb {Z}$ zusammen mit der Untergruppe ${}\mathbb {Z} n$ aller Vielfachen zu einer fixierten Zahl ${}n$, also an die Situation ${}\mathbb {Z} n\subseteq \mathbb {Z}$, oder an die Situation eines Untervektorraumes ${}U\subseteq K^{n}$, siehe Aufgabe.

Definition

Es sei ${}(G,0,+)$ eine kommutative Gruppe und ${}H\subseteq G$ eine Untergruppe. Für Elemente ${}x,y\in G$ setzen wir ${}x\sim _{H}y$ (und sagen, dass ${}x$ und ${}y$ äquivalent sind), wenn ${}x-y\in H$.

In dem eingangs erwähnten Beispiel sind zwei ganze Zahlen äquivalent, wenn ihre Differenz ein Vielfaches von ${}n$ ist. Diese Äquivalenzrelation wurde schon in Beispiel betrachtet. Wir sichern zuerst, dass wirklich in voller Allgemeinheit eine Äquivalenzrelation vorliegt.

Lemma

Es sei ${}(G,0,+)$ eine kommutative Gruppe, ${}H\subseteq G$ eine Untergruppe und ${}\sim _{H}$ die durch ${}H$ auf ${}G$ definierte Relation.

Dann liegt eine Äquivalenzrelation vor, und die Äquivalenzklasse zu ${}0$ ist gerade ${}H$.

Beweis

Wegen

${}x-x=0\in H\,$

ist die Relation reflexiv. Mit ${}x-y\in H$ ist auch ${}y-x\in H$, da Untergruppen unter dem Negativen abgeschlossen sind, was die Symmetrie der Relation bedeutet. Mit ${}x\sim _{H}y$ und ${}y\sim _{H}z$, also ${}x-y,y-z\in H$, ist auch

${}x-z=(x-y)+(y-z)\in H\,,$

da Untergruppen unter der Addition abgeschlossen sind, und somit ist auch ${}x\sim _{H}z$. Damit ist die Relation auch transitiv. Die Äquivalenz von ${}x$ mit ${}0$ bedeutet ${}x-0=x\in H$, so dass die letzte Aussage auch klar ist.

$\Box$

Die Äquivalenzklassen heißen in dieser Situation auch die Nebenklassen der Relation. Sie haben die Gestalt

${}[x]=x+H={\left\{x+h\mid h\in H\right\}}\,,$

sie bestehen also aus allen Elementen, die man von ${}x$ aus durch Addition mit einem Element aus ${}H$ erreichen kann. Man kann sich dabei ${}H$ als einen mehr oder weniger restriktiven Vorrat an Sprungmöglichkeiten oder Bewegungsmöglichkeiten vorstellen, und die Äquivalenz zwischen ${}x$ und ${}y$ bedeutet, dass man von ${}x$ nach ${}y$ mit einem erlaubten Sprung gelangen kann.

Satz

Es sei ${}(G,0,+)$ eine kommutative Gruppe, ${}H\subseteq G$ eine Untergruppe und ${}G/H$ die Quotientenmenge zur durch ${}H$ definierten Äquivalenzrelation auf ${}G$ mit der kanonischen Projektion

$q\colon G\longrightarrow G/H,\,g\longmapsto [g].$

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Gruppenstruktur auf ${}G/H$ derart, dass ${}q$ ein Gruppenhomomorphismus ist.

Beweis

Da die kanonische Projektion zu einem Gruppenhomomorphismus werden soll, muss die Verknüpfung durch

${}[x]+[y]=[x+y]\,$

gegeben sein, was bereits die Eindeutigkeit sichert. Wir müssen also zeigen, dass durch diese Vorschrift eine wohldefinierte Verknüpfung auf ${}G/H$ definiert ist, die unabhängig von der Wahl der Repräsentanten ist. D.h. wir haben für $[x]=[x']$ und $[y]=[y']$ zu zeigen, dass ${}[x+y]=[x'+y']$ ist. Nach Voraussetzung können wir $x'=x+h$ und $y'=y+h'$ mit ${}h,h'\in H$ schreiben. Damit ist

${}x'+y'=(x+h)+(y+h')=x+y+(h+h')\,$

und somit ist ${}[x+y]=[x'+y']$. Aus der Wohldefiniertheit der Verknüpfung auf ${}G/H$ und der Surjektivität der kanonischen Projektion folgen die Gruppeneigenschaften und die Homomorphieeigenschaft der Projektion.

$\Box$

Definition

Es sei ${}(G,0,+)$ eine kommutative Gruppe und ${}H\subseteq G$ eine Untergruppe. Die Quotientenmenge

$G/H$

mit der aufgrund von Fakt eindeutig bestimmten Gruppenstruktur heißt Restklassengruppe von ${}G$ modulo ${}H$. Die Elemente ${}[g]\in G/H$ heißen Restklassen. Für eine Restklasse ${}[g]$ heißt jedes Element ${}g'\in G$ mit ${}[g']=[g]$ ein Repräsentant von ${}[g]$.

Beispiel

Die Untergruppen der ganzen Zahlen sind nach Fakt von der Form ${}\mathbb {Z} n$ mit ${}n\geq 0$. Die Restklassengruppen werden mit

$\mathbb {Z} /(n)$

bezeichnet (sprich „${}\mathbb {Z}$ modulo ${}n$“). Bei ${}n=0$ ist das einfach ${}\mathbb {Z}$ selbst, bei ${}n=1$ ist das die triviale Gruppe. Im Allgemeinen ist die durch die Untergruppe ${}\mathbb {Z} n$ definierte Äquivalenzrelation auf ${}\mathbb {Z}$ dadurch gegeben, dass zwei ganze Zahlen ${}a$ und ${}b$ genau dann äquivalent sind, wenn ihre Differenz ${}a-b$ zu ${}\mathbb {Z} n$ gehört, also ein Vielfaches von ${}n$ ist. Daher ist (bei ${}n\geq 1$) jede ganze Zahl zu genau einer der ${}n$ Zahlen

$0,1,2,\ldots ,n-1$

äquivalent (oder, wie man auch sagt, kongruent modulo ${}n$), nämlich zum Rest, der sich bei Division durch ${}n$ ergibt. Diese Reste bilden also ein Repräsentantensystem für die Restklassengruppe, und diese besitzt ${}n$ Elemente. Diese werden im Allgemeinen mit ${}{\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {2}},\ldots ,{\overline {n-1}}$ bezeichnet. Dabei ist ${}{\overline {0}}$ das neutrale Element, das negative Element zu ${}{\overline {k}}$ ist ${}{\overline {n-k}}$ und die Summe ${}{\overline {i}}+{\overline {k}}$ ist ${}{\overline {i+k}}$ bzw. ${}{\overline {i+k-n}}$, falls ${}i+k\geq n$ ist. Die Tatsache, dass die Restklassenabbildung

$\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(n),\,a\longmapsto [a]=a\!\!\!\mod n,$

ein Homomorphismus ist, kann man auch so ausdrücken, dass der Rest einer Summe von zwei ganzen Zahlen nur von den beiden Resten, nicht aber von den Zahlen selbst, abhängt.