Riemannsche Mannigfaltigkeit/Kanonische Volumenform/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}M$ eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit der Dimension ${}n$. Zu ${}P\in M$ sei ${}\omega _{P}$ diejenige alternierende Form auf ${}T_{P}M$ (bzw. das entsprechende Element aus $\bigwedge ^{n}T_{P}^{*}M$), die jeder die Orientierung repräsentierenden Orthonormalbasis den Wert ${}1$ zuordnet. Dann heißt die ${}n$-Differentialform

$M\longrightarrow \bigwedge ^{n}T^{*}M,\,P\longmapsto \omega _{P},$

die kanonische Volumenform auf ${}M$.

Das zugehörige Maß zu dieser positiven Form heißt kanonisches Maß auf ${}M$. Wir bezeichnen es mit ${}\lambda _{M}$. Demnach ist ${}\lambda _{M}(M)$ das Gesamtmaß (der Flächeninhalt, das Volumen) von ${}M$.

Lemma

Es sei ${}M$ eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit und ${}\omega$ die kanonische Volumenform. Es sei

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

eine orientierte Karte mit ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen mit Koordinaten ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ mit der metrischen Fundamentalmatrix ${}G=(g_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$ und ${}g=\det G$.

Dann ist

${}\alpha _{*}\omega ={\sqrt {g}}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\,.$

Für eine messbare Teilmenge ${}T\subseteq U$ ist

${}\int _{T}\omega =\int _{\alpha (T)}{\sqrt {g}}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}=\int _{\alpha (T)}{\sqrt {g}}\,d\lambda ^{n}\,.$

Beweis

Gemäß der Definition müssen wir die Differentialform ${}{\left(\alpha ^{-1}\right)}^{*}\omega$ für jeden Punkt ${}Q\in V$ berechnen. Diese Form besitzt die Gestalt ${}c_{Q}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}$ und ist durch ihren Wert auf ${}e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n}$ festgelegt. Es ist

${\left(\alpha ^{-1}\right)}^{*}\omega {\left(Q,e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n}\right)}=\omega {\left(\alpha ^{-1}(Q),T_{Q}{\left(\alpha ^{-1}\right)}(e_{1})\wedge \ldots \wedge T_{Q}{\left(\alpha ^{-1}\right)}(e_{n})\right)}\,.$

Nach Definition der metrischen Fundamentalmatrix ist

${}g_{ij}(Q)=\left\langle T_{Q}{\left(\alpha ^{-1}\right)}(e_{i}),T_{Q}{\left(\alpha ^{-1}\right)}(e_{j})\right\rangle _{\alpha ^{-1}(Q)}\,.$

Nach Fakt ist

${}{\begin{aligned}\omega {\left(\alpha ^{-1}(Q),T_{Q}{\left(\alpha ^{-1}\right)}(e_{1})\wedge \ldots \wedge T_{Q}{\left(\alpha ^{-1}\right)}(e_{n})\right)}&={\left(\det {\left(\left\langle T_{Q}{\left(\alpha ^{-1}\right)}(e_{i}),T_{Q}{\left(\alpha ^{-1}\right)}(e_{j})\right\rangle \right)}_{1\leq i,j\leq n}\right)}^{1/2}\\&={\left(\det {\left(g_{ij}(Q)\right)}_{1\leq i,j\leq n}\right)}^{1/2}\\&={\sqrt {g(Q)}}.\,\end{aligned}}$

$\Box$

Satz

Es sei ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ offen und sei ${}M\subseteq G$ eine ${}n$-dimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit, die orientiert und mit der induzierten riemannschen Struktur und der kanonischen Volumenform ${}\omega$ versehen sei. Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und es sei

$\varphi \colon W\longrightarrow U$

ein Diffeomorphismus mit der offenen Menge ${}U\subseteq M$.

Dann ist ${}\varphi ^{-1}$ eine Karte von ${}M$, und auf ${}W$ gilt

${}{\begin{aligned}\varphi ^{*}{\left(\omega {|}_{U}\right)}&=\left(\det \left(\left\langle {\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{i}}}\\\vdots \\{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{i}}}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{j}}}\\\vdots \\{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{j}}}\end{pmatrix}}\right\rangle \right)_{1\leq i,j\leq n}\right)^{1/2}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\\&=\left(\det {\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{j}}}+\cdots +{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{j}}}\right)}_{1\leq i,j\leq n}\right)^{1/2}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}.\end{aligned}}$

Beweis

Die zweite Gleichung ergibt sich einfach durch Auswertung des Standardskalarproduktes auf dem ${}\mathbb {R} ^{m}$. Nach Definition der metrischen Fundamentalmatrix ist für ${}Q\in W$

${}{\begin{aligned}g_{ij}(Q)&=\left\langle T_{Q}(\varphi )(e_{i}),T_{Q}(\varphi )(e_{j})\right\rangle _{\varphi (Q)}\\&=\left\langle T_{Q}(\varphi )(e_{i}),T_{Q}(\varphi )(e_{j})\right\rangle \\&=\left\langle {\left(D\varphi \right)}_{Q}{\left(e_{i}\right)},{\left(D\varphi \right)}_{Q}{\left(e_{j}\right)}\right\rangle \\&=\left\langle {\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{i}}}(Q)\\\vdots \\{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{i}}}(Q)\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{j}}}(Q)\\\vdots \\{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{j}}}(Q)\end{pmatrix}}\right\rangle ,\end{aligned}}$

da ja der Tangentialraum ${}T_{\varphi (Q)}M$ das induzierte Skalarprodukt des ${}\mathbb {R} ^{m}$ trägt, da die Tangentialabbildung im lokalen Fall das totale Differential ist und da man dessen Einträge mit den partiellen Ableitungen ausdrücken kann. Daher ergibt sich die Behauptung aus Fakt.

$\Box$

Beispiel

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall und

$\varphi \colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$

eine reguläre differenzierbare Kurve, es sei also überall ${}\varphi '(t)\neq 0$. Ferner sei angenommen, dass ${}\varphi$ injektiv und dass das Bild ${}M=\varphi (I)$ von ${}I$ eine eindimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit einer offenen Teilmenge ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ ist. Dann gilt nach Fakt für die kanonische Form ${}\omega$ von ${}M$ (bzw. das kanonische Maß, das in diesem Fall ein Längenmaß ist) die Beziehung

${}{\begin{aligned}\varphi ^{*}\omega &={\left(\left\langle {\begin{pmatrix}\varphi '_{1}(t)\\\vdots \\\varphi '_{m}(t)\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\varphi '_{1}(t)\\\vdots \\\varphi '_{m}(t)\end{pmatrix}}\right\rangle \right)}^{1/2}dt\\&={\sqrt {(\varphi '_{1}(t))^{2}+\cdots +(\varphi '_{m}(t))^{2}}}dt\\&=\Vert {\varphi '(t)}\Vert dt.\end{aligned}}$

Somit gilt bei ${}I={]a,b[}$ für das Maß (also die Länge) von ${}M$ die Formel

${}\lambda _{M}(M)=\int _{a}^{b}{\sqrt {(\varphi '_{1}(t))^{2}+\cdots +(\varphi '_{m}(t))^{2}}}\,dt\,.$

Dies stimmt mit der in Fakt über die Theorie der rektifizierbaren Kurven erzielten Formel überein.