Schema/Faktorieller Ring/Picardgruppe/Einführung/Textabschnitt
Lemma
Es sei ein faktorieller Integritätsbereich. Dann gelten die folgenden Aussagen.
- Zu , , ist genau dann, wenn mit dem Exponenten in der Primfaktorzerlegung von vorkommt.
- Zwei Hauptideale und stimmen genau dann überein, wenn für jedes Primelement in der Lokalisierung die Ideale und übereinstimmen.
Beweis
Satz
Die Picardgruppe eines faktoriellen Integritätsbereiches
ist trivial.
Beweis
Es sei ein Ideal, das invertierbar sei, und sei
eine offene Überdeckung derart, dass ein Hauptideal ist. Es ist insbesondere zu jedem Primelement das Ideal ein Hauptideal und damit von der Form , da ein diskreter Bewertungsring ist. Dabei sind die nur für endlich viele Primelemente von verschieden. Zu einem Element , . gibt es nämlich nur endlich viele Primteiler und für die anderen Primelemente ist eine Einheit in . Wir behaupten, dass mit dem von erzeugten Hauptideal übereinstimmt. Da man die Gleichheit von Idealen lokal zu einer Überdeckung testen kann, können wir in argumentieren. Die Aussage folgt dann aus Fakt.
Lemma
Es sei ein noetherscher faktorieller Integritätsbereich und eine offene Teilmenge.
Dann ist die Picardgruppe von trivial.
Beweis
Es sei
wir führen Induktion über , wobei der Induktionsanfang nach Fakt klar ist. Wir können also davon ausgehen, dass auf trivial ist. Wir ziehen Bemerkung heran, somit ist die invertierbare Garbe durch eine Einheit über festgelegt. Nach Fakt ist die Strukturgarbe und damit auch die Garbe der Einheiten im faktoriellen Fall besonders einfach, ein Element ist genau dann eine Einheit auf , wenn gilt. Daher sind Einheiten auf offenen Mengen generell von der Form mit Primelementen , einer Einheit aus und . Dabei ist eine Einheit auf
genau dann, wenn die beteiligten (also die mit einem Exponenten ) die teilen. Dies bedeutet, dass das Element oder aber alle Elemente teilt. In jedem Fall kann man als ein Produkt von Einheiten über und Einheiten über schreiben. Mit diesen Einheiten kann man die Garbe trivialisieren.
Korollar
Es sei ein noethersches integres Schema und eine offene Teilmenge. Für jeden Punkt sei der lokale Ring faktoriell.
Dann lässt sich jede invertierbare Garbe auf zu einer invertierbaren Garbe auf fortsetzen.
Beweis
Es sei eine invertierbare Garbe auf und es sei ein Punkt. Es sei eine offene affine Umgebung von , wobei dem Primideal entspreche. Nach Voraussetzung ist faktoriell. Wir betrachten die (injektiven) Schemamorphismen
Die offene Menge hat mit und mit einen nichtleeren Durchschnitt, sagen wir , da der generische Punkt von dem Nullideal von entspricht. Die zurückgezogene Garbe auf ist wegen Fakt trivial und rührt von einem -Modul und auch von einem -Modul her. Aufgrund der Trivialisierbarkeit gibt es einen -Modulisomorphismus
Dieses Isomorphismus kann man auf eine offene Umgebung ausdehnen. Somit ist eine Ausdehnung von auf gefunden. Daher können wir die offene Menge durch zunehmend größere offene Menge, auf der eine Ausdehnung existiert, ersetzen. Dieser Prozess endet wegen noethersch beim Gesamtraum.
Unter der vorstehenden Voraussetzung ist also der natürliche Einschränkungshomomorphismus
surjektiv.