Skalarprodukt/K/Orthogonalität/Einführung/Textabschnitt

Mit einem Skalarprodukt kann man die Eigenschaft zweier Vektoren, aufeinander senkrecht zu stehen, ausdrücken.

Definition

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}{\mathbb {K} }$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Man nennt zwei Vektoren ${}v,w\in V$ orthogonal zueinander (oder senkrecht), wenn

${}\left\langle v,w\right\rangle =0\,$

ist.

Bemerkung  

Dass die über das Skalarprodukt definierte Orthogonalität der anschaulichen Orthogonalität entspricht, kann man sich folgendermaßen klar machen. Zu orthogonalen Vektoren ${}u,v\in V$ gilt, dass ${}v$ zu den beiden Punkten ${}u$ und ${}-u$ den gleichen Abstand besitzt. Es ist ja

${}{\begin{aligned}\Vert {v-u}\Vert ^{2}&=\left\langle v-u,v-u\right\rangle \\&=\left\langle v,v\right\rangle +\left\langle u,u\right\rangle \\&=\left\langle v+u,v+u\right\rangle \\&=\Vert {v+u}\Vert ^{2}.\end{aligned}}$

Die Umkehrung gilt ebenfalls, siehe Aufgabe.

Pythagoras von Samos lebte im sechsten vorchristlichen Jahrhundert. „Sein“ Satz war aber schon tausend Jahre früher in Babylon bekannt.

Wir rufen uns den Satz des Pythagoras in Erinnerung.

Der folgende Satz ist der Satz des Pythagoras, genauer die Skalarproduktversion davon, die trivial ist. Die Beziehung zum klassischen, elementar-geometrischen Satz des Pythagoras ist diffizil, da es nicht selbstverständlich ist, dass unser über das Skalarprodukt eingeführter Orthogonalitätsbegriff und unser ebenso eingeführter Längenbegriff mit dem entsprechenden intuitiven Begriff übereinstimmt. Dass unser Normbegriff der wahre Längenbegriff ist, beruht wiederum auf dem Satz des Pythagoras in einem cartesischen Koordinatensystem, was den klassischen Satz voraussetzt.

Satz

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Es seien ${}u,v\in V$ Vektoren, die aufeinander senkrecht stehen.

Dann ist

${}\Vert {u+v}\Vert ^{2}=\Vert {u}\Vert ^{2}+\Vert {v}\Vert ^{2}\,.$

Beweis

Es ist

${}\Vert {u+v}\Vert ^{2}=\left\langle u+v,u+v\right\rangle =\left\langle u,u\right\rangle +2\left\langle u,v\right\rangle +\left\langle v,v\right\rangle =\Vert {u}\Vert ^{2}+\Vert {v}\Vert ^{2}\,.$

$\Box$

Definition

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt und ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum. Dann heißt

${}U^{\perp }={\left\{v\in V\mid \left\langle v,u\right\rangle =0{\text{ für alle }}u\in U\right\}}\,$

das orthogonale Komplement von ${}U$.

Das orthogonale Komplement zu einem Untervektorraum ist selbst wieder ein Untervektorraum, siehe Aufgabe. Wenn ein Erzeugendensystem von ${}U$ gegeben ist, so gehört ein Vektor ${}v\in V$ bereits dann zum orthogonalen Komplement von ${}U$, wenn er auf allen Vektoren des Erzeugendensystems senkrecht steht, siehe Aufgabe.

Beispiel

Es sei ${}V=\mathbb {R} ^{n}$ mit dem Standardskalarprodukt versehen. Zum eindimensionalen Untervektorraum ${}\mathbb {R} e_{i}$ zum Standardvektor ${}e_{i}$ besteht das orthogonale Komplement aus allen Vektoren ${}{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{i-1}\\0\\x_{i+1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}$, deren ${}i$-ter Eintrag ${}0$ ist. Zum eindimensionalen Untervektorraum ${}\mathbb {R} v$ zu einem Vektor

${}v={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}\neq 0\,$

kann man das orthogonale Komplement bestimmen, indem man den Lösungsraum der linearen Gleichung

${}a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=0\,$

bestimmt. Der Orthogonalraum

${}U=(\mathbb {R} v)^{\perp }={\left\{{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\mid a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=0\right\}}\,$

besitzt die Dimension ${}n-1$, es handelt sich also um eine sogenannte Hyperebene. Man nennt dann ${}v$ einen Normalenvektor für die Hyperebene ${}U$.

Zu einem Untervektorraum ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, der durch eine Basis (oder ein Erzeugendensystem) ${}v_{i}={\begin{pmatrix}a_{i1}\\\vdots \\a_{in}\end{pmatrix}}$, ${}i=1,\ldots ,k$, gegeben ist, bestimmt man das orthogonale Komplement als Lösungsraum des linearen Gleichungssystems

${}A{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}=0\,,$

wobei ${}A={\left(a_{ij}\right)}$ die aus den ${}v_{i}$ (als Zeilen) gebildete Matrix ist.