Stetige Kurve/Integralkurve/Einführung/Textabschnitt

Für eine stetige Kurve

$g\colon I\longrightarrow V$

in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum definieren wir für ${}a,b\in I$ das Integral ${}\int _{a}^{b}g(s)ds$ komponentenweise, d.h. man wählt eine Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ von ${}V$ und drückt die stetige Kurve durch ihre Komponentenfunktionen ${}g_{1},\ldots ,g_{n}$ aus. Dann setzt man

${}\int _{a}^{b}g(s)ds:={\left(\int _{a}^{b}g_{1}(s)ds\right)}v_{1}+\cdots +{\left(\int _{a}^{b}g_{n}(s)ds\right)}v_{n}\,.$

Das Ergebnis ist ein Vektor in ${}V$, der unabhängig von der gewählten Basis ist, siehe Aufgabe. Wenn man die untere Intervallgrenze ${}a$ fixiert und die obere Intervallgrenze ${}b=t$, so bekommt man eine Integralkurve

$I\longrightarrow V,\,t\longmapsto \int _{a}^{t}g(s)\,ds.$

Diese Integralkurve (oder Stammkurve) kann man wieder ableiten und erhält die Ausgangskurve zurück, d.h. es gilt wieder der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung.

Es gilt die folgende Integralabschätzung.

Satz

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und

$g\colon [a,b]\longrightarrow V$

eine stetige Abbildung.

Dann gilt

${}\Vert {\int _{a}^{b}g(t)\,dt}\Vert \leq \int _{a}^{b}\Vert {g(t)}\Vert \,dt\,.$

Beweis

Wenn ${}\int _{a}^{b}g(t)\,dt=0$ ist, so ist nichts zu zeigen. Es sei also

${}\int _{a}^{b}g(t)\,dt=v\neq 0\,.$

Es sei ${}u_{1}:={\frac {v}{\Vert {v}\Vert }}$. Das ergänzen wir zu einer Orthonormalbasis ${}u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n}$ von ${}V$. Es seien ${}g_{1},g_{2},\ldots ,g_{n}$ die Koordinatenfunktionen von ${}g$ bezüglich dieser Basis. Dann besteht aufgrund unserer Basiswahl die Beziehung

${}{\begin{aligned}v&=\int _{a}^{b}g(t)\,dt\\&={\left(\int _{a}^{b}g_{1}(t)\,dt\right)}u_{1}+\cdots +{\left(\int _{a}^{b}g_{n}(t)\,dt\right)}u_{n}\\&={\left(\int _{a}^{b}g_{1}(t)\,dt\right)}u_{1},\end{aligned}}$

da ja ${}v$ ein Vielfaches von ${}u_{1}$ ist und somit die anderen Koeffizienten gleich ${}0$ sind. Daher ist

${}{\begin{aligned}\Vert {\int _{a}^{b}g(t)\,dt}\Vert &=\vert {\int _{a}^{b}g_{1}(t)\,dt}\vert \\&\leq \int _{a}^{b}\vert {g_{1}(t)}\vert \,dt\\&\leq \int _{a}^{b}{\sqrt {(g_{1}(t))^{2}+\cdots +(g_{n}(t))^{2}}}\,dt\\&=\int _{a}^{b}\Vert {g_{1}(t)u_{1}+\cdots +g_{n}(t)u_{n}}\Vert \,dt\\&=\int _{a}^{b}\Vert {g(t)}\Vert \,dt.\end{aligned}}$

$\Box$

Bemerkung  

Die Abschätzung aus Fakt ist im Allgemeinen recht grob. Wenn beispielsweise ${}g=f'$ die Ableitung einer stetig differenzierbaren Kurve

$f\colon [a,b]\longrightarrow V$

ist, so ist die rechte Seite nach Fakt gleich

${}\int _{a}^{b}\Vert {g(t)}\Vert \,dt=\int _{a}^{b}\Vert {f'(t)}\Vert \,dt=L_{a}^{b}(f)\,,$

also die Kurvenlänge von ${}f$. Die linke Seite ist hingegen

${}\Vert {\int _{a}^{b}g(t)\,dt}\Vert =\Vert {f(b)-f(a)}\Vert \,.$

Die Abschätzung ist also in diesem Fall trivial, da ja die Kurvenlänge nach Definition das Supremum der Längen der interpolierenden Streckenzüge ist, und ${}\Vert {f(b)-f(a)}\Vert$ ist die Länge der direkten Strecke.

Bemerkung  

Aus Fakt kann man Fakt für eine stetig differenzierbare Kurve

$f\colon I\longrightarrow V$

gewinnen. Mit ${}g=f'$ ist nämlich

${}\Vert {f(b)-f(a)}\Vert =\Vert {\int _{a}^{b}g(t)\,dt}\Vert \leq \int _{a}^{b}\Vert {g(t)}\Vert \,dt=(b-a)\Vert {g(c)}\Vert =(b-a)\Vert {f'(c)}\Vert \,$

für ein gewisses ${}c\in [a,b]$, dessen Existenz aus dem Mittelwertsatz der Integralrechnung (in einer Variablen) folgt.