Die Äquivalenz folgt aus
Fakt
und die Implikation aus
Fakt.
Es bleibt also zu zeigen, wobei wir explizit eine Stammfunktion zum Vektorfeld angeben. Es sei
ein Punkt derart, dass bezüglich
sternförmig
ist. Wir definieren über das
Wegintegral
zu zum linearen Verbindungsweg
-
also
-
Wir müssen zeigen, dass der
Gradient
zu gleich ist, d.h. es ist
-
zu zeigen. Dafür können wir
annehmen und wir schreiben statt . Mit diesen Bezeichnungen und Voraussetzungen ist
Dabei beruht die zweite Gleichung auf
der Vertauschbarkeit von Integration und Differentiation
(angewendet auf die stetig differenzierbare Funktion
, ),
die vierte Gleichung auf
Aufgabe,
die fünfte Gleichung auf der Integrabilitätsbedingung, die sechste Gleichung auf der
Kettenregel
und der Produktregel und die siebte Gleichung auf der
Newton-Leibniz-Formel.