Topologische Räume/Eigentliche Abbildung/Endlich/Textabschnitt

Definition

Eine stetige Abbildung ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ zwischen topologischen Räumen ${}X$ und ${}Y$ heißt eigentlich, wenn für jede kompakte Teilmenge ${}Z\subseteq Y$ auch das Urbild ${}\varphi ^{-1}(Z)$ kompakt ist.

Zu einer abgeschlossenen Teilmenge ${}Z\subseteq X$ ist die Einbettung ${}Z\rightarrow X$ eigentlich, da abgeschlossene Teilmengen von kompakten Mengen wieder kompakt sind. Zu einer offenen Teilmenge ${}U\subseteq X$ ist die Einbettung ${}U\rightarrow X$ im Allgemeinen nicht eigentlich: Wenn beispielsweise ein Punkt aus ${}U$ durch einen stetigen Weg mit einem Randpunkt von ${}U$ verbunden werden kann, der bis auf den Randpunkt ganz in ${}U$ verläuft, so ist das volle Bild des Weges kompakt, was nach Herausnahme des einen Punktes verloren geht. Das Konzept eigentlich wird im wesentlichen nur für Hausdorffräume ${}X$ und ${}Y$ verwendet, schon um sich keine Gedanken machen zu müssen, ob man kompakte Räume als hausdorffsch ansetzen möchte oder nicht.

Lemma

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine eigentliche Abbildung zwischen topologischen Räumen ${}X$ und ${}Y$. Es sei ${}Y$ hausdorffsch und lokal kompakt.

Dann ist ${}\varphi$ abgeschlossen.

Beweis

Es genügt zu zeigen, dass das Bild ${}\varphi (X)$ abgeschlossen in ${}Y$ ist. Sei ${}y\notin \varphi (X)$ und sei ${}y\in V=T\subseteq Y$ mit ${}V$ offen und ${}T$ kompakt. Dann ist nach Voraussetzung auch ${}\varphi ^{-1}(T)\subseteq X$ kompakt. Somit ist auch ${}\varphi (\varphi ^{-1}(T))$ kompakt und daher abgeschlossen. Wegen ${}y\notin \varphi (\varphi ^{-1}(T))$ ist ${}y\in V\cap {\left(Y\setminus \varphi (\varphi ^{-1}(T))\right)}$ eine offene Umgebung. Wäre

${}\varphi (x)\in V\cap {\left(Y\setminus \varphi (\varphi ^{-1}(T))\right)}\,$

für ein ${}x\in X$, so ist ${}x\notin \varphi ^{-1}(T)$ und ${}x\notin T$, waszu ${}x\in V$ einen Widerspruch darstellt. Also ist ${}V\cap {\left(Y\setminus \varphi (\varphi ^{-1}(T))\right)}$ eine offene Umgebung von ${}y$, die disjunkt zum Bild ist, und daher ist das Bild abgeschlossen.

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Lemma

Es sei ${}X$ ein kompakter topologischer Raum und ${}Y$ ein Hausdorffraum.

Dann ist eine stetige Abbildung ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eigentlich.

Beweis

Sei ${}Z\subseteq Y$ kompakt. Dann ist ${}Z$ nach Fakt abgeschlossen und daher ist das Urbild ${}\varphi ^{-1}(Z)$ abgeschlossen in ${}X$. Wegen der Kompaktheit von ${}X$ ist ${}\varphi ^{-1}(Z)$ nach Fakt selbst kompakt.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine eigentliche Abbildung zwischen topologischen Räumen ${}X$ und ${}Y$.

Dann ist für jede Teilmenge ${}Z\subseteq Y$ die eingeschränkte Abbildung

$\varphi ^{-1}(Z)\longrightarrow Z$

ebenfalls eigentlich.

Beweis

Dies ist klar, da für eine kompakte Teilmenge ${}T\subseteq Z$ das Urbild unter ${}\varphi$ mit dem Urbild unter ${}\varphi {|}_{\varphi ^{-1}(Z)}$ übereinstimmt.

$\Box$

Definition

Eine stetige Abbildung ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ zwischen topologischen Räumen ${}X$ und ${}Y$ heißt endlich, wenn sie eigentlich ist und alle Fasern endlich sind.

Eigentliche und insbesondere endliche Abbildungen sind in einem gewissen sind im Definitionsbereich vollständig. Ein typisches Phänomen ist, dass wenn man bei einer eigentlichen Abbildung einen Punkte aus dem Definitionsbereich herausnimmt, dann die Eigentlichkeit verlorengeht.

Beispiel

Die Abbildung

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto x^{2},$

ist eigentlich und hat nur endliche Fasern, ist also endlich. Die Eigentlichkeit beruht hier darauf, dass kompakte Mengen in ${}\mathbb {R}$ oder in ${}\mathbb {R} _{\geq 0}$ beschränkt und abgeschlossen sind und dass Urbilder beschränkter Mengen unter der Quadrierungsabbildung wieder beschränkt sind. Wenn man beispielsweise die ${}-1$ aus dem Definitionsbereich herausnimmt, so geht die Eigentlichkeit verloren. Beispielsweise ist das Urbild der kompakten Teilmenge ${}[0,1]$ die Menge ${}]-1,1]$, die wegen der fehlenden Grenze links nicht mehr kompakt ist.

Satz

Eine nichtkonstante Polynomfunktion

$f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$

ist eine endliche Abbildung.

Beweis

Die Endlichkeit der Fasern ergibt sich aus Fakt. Eine kompakte Teilmenge ${}Z\subseteq {\mathbb {C} }$ ist nach dem Satz von Heine-Borel beschränkt und abgeschlossen. Wegen der Stetigkeit der Polynomfunktion ist auch das Urbild wieder abgeschlossen. Die Beschränktheit des Urbildes folgt aus dem Beweis zu Fakt.

$\Box$