Uneigentliches Integral/Vergleichskriterium für Reihen/Textabschnitt

Lemma

Es sei ${}I=[1,\infty ]$ ein rechtsseitig unbeschränktes Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige fallende Funktion mit ${}f(x)\geq 0$ für alle ${}x\in I$.

Dann existiert das uneigentliche Integral

$\int _{1}^{\infty }f(t)\,dt$

genau dann, wenn die Reihe

$\sum _{n=1}^{\infty }f(n)$

konvergiert.

Beweis

Wenn das uneigentliche Integral existiert, so betrachten wir die Abschätzung

${}\sum _{n=2}^{k}f(n)\leq \int _{1}^{k}f(t)\,dt\,,$

die darauf beruht, dass die linke Seite das Treppenintegral zu einer unteren Treppenfunktion für ${}f$ auf ${}[1,k]$ ist. Da die rechte Seite beschränkt ist, gilt dies auch für die linke Seite, sodass wegen ${}f(n)\geq 0$ die Reihe konvergiert.
Ist umgekehrt die Reihe konvergent, so betrachten wir die Abschätzung

${}\int _{1}^{k}f(t)\,dt\leq \sum _{n=1}^{k-1}f(n)\,,$

die gilt, da die rechte Seite das Treppenintegral zu einer oberen Treppenfunktion ist. Wegen ${}f(t)\geq 0$ ist die Integralfunktion ${}x\mapsto \int _{1}^{x}f(t)\,dt$ wachsend und beschränkt, da die rechte Seite wegen der Konvergenz der Reihe beschränkt ist. Daher besitzt die Integralfunktion für ${}x\mapsto \infty$ einen Grenzwert und das uneigentliche Integral existiert.

$\Box$

Beispiel

Die Funktion

$f\colon [1,\infty ]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto {\frac {1}{t}},$

ist streng fallend. Daher ist die Funktion ${}g$, die für ${}x$ mit ${}k\leq x<k+1$ (${}k\in \mathbb {N}$) durch ${}{\frac {1}{k}}$ definiert ist, eine „Majorante“ für ${}f$, also ${}g(t)\geq f(t)$. Auf jedem Intervall ${}[1,n]$ liefert ${}g$ eine obere Treppenfunktion zu ${}f$. Ebenso liefert die durch ${}{\frac {1}{k+1}}$ bei ${}k\leq x<k+1$ definierte Funktion ${}h$ eine untere Treppenfunktion für ${}f$. Daher gelten die Abschätzungen

${}\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{k}}\geq \int _{1}^{n}{\frac {1}{t}}\,dt\geq \sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{k+1}}\,.$

Das Integral in der Mitte besitzt den Wert ${}\ln n$. Daraus ergibt sich mit Fakt ein neuer Beweis, dass die harmonische Reihe divergiert.

Die blaue Fläche stellt die Eulersche Konstante dar, die Darstellung ist überhöht.

Die Differenz zwischen der linken und der rechten Summe ist ${}1-{\frac {1}{n}}$. Daher ist die Differenz

$\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{k}}-\ln n$

für jedes ${}n$ positiv, mit ${}n$ wachsend und nach oben beschränkt. Daher existiert für ${}n\rightarrow \infty$ der Limes, und dieser Limes ändert sich nicht, wenn man vorne in der Summe bis ${}n$ aufsummiert anstatt bis ${}n-1$. Wir setzen

${}\gamma :=\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln n\right)}\,$

und nennen sie die eulersche Konstante (oder Mascheronische Konstante). Ihr numerischer Wert ist ungefähr

${}\gamma =0{,}5772156649\dotso \,.$

Es ist ein offenes mathematisches Problem, ob diese Zahl rational ist oder nicht.