Vektorfelder/Zeitabhängig/Lipschitz Bedingung/Textabschnitt
Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ein reelles Intervall, eine offene Menge und
ein Vektorfeld auf . Man sagt, dass das Vektorfeld einer Lipschitz-Bedingung genügt, wenn es eine reelle Zahl mit
für alle und gibt.
Die reelle Zahl nennt man auch eine Lipschitz-Konstante für das Vektorfeld .
Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ein reelles Intervall, eine offene Menge und
ein Vektorfeld auf . Man sagt, dass das Vektorfeld lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt, wenn es zu jedem Punkt eine offene Umgebung
derart gibt, dass das auf eingeschränkte Vektorfeld einer Lipschitz-Bedingung genügt.
Die folgende Aussage liefert ein wichtiges und leicht überprüfbares hinreichendes Kriterium, wann ein Vektorfeld lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt.
Es sei ein reelles offenes Intervall, eine offene Menge und
ein Vektorfeld auf derart, dass die partiellen Ableitungen nach existieren und stetig sind.
Dann genügt lokal einer Lipschitz-Bedingung.
Sei
ein Punkt in und seiist. Dieses ist eine abgeschlossene Umgebung von und daher kompakt. Da die partiellen Ableitungen nach Voraussetzung stetig sind, gibt es nach Fakt eine gemeinsame Schranke mit
für alle . Daher gibt es für die Matrizen eine Schranke mit
Man kann daher zu jedem festen Zeitpunkt Fakt anwenden und erhält für die Abschätzung