Zahlbereich/Ideal/Norm/Textabschnitt
Definition
Zu einem Ideal in einem Zahlbereich heißt die (endliche) Anzahl des Restklassenringes die Norm von . Sie wird mit
bezeichnet.
Beispiel
Zu einem von verschiedenen Ideal mit ist die Norm einfach gleich , da ja der Restklassenring genau Elemente besitzt.
Lemma
Es sei ein Ideal in einem Zahlbereich .
Dann ist .
Beweis
Wir betrachten die Abbildung
Der Ring rechts hat nach Definition Elemente. Deshalb gehört diese Zahl zum Kern der Gesamtabbildung.
Die Norm eines Ideals berechnet man am besten, indem man nach und nach den Restklassenring vereinfacht. Ein entscheidender Schritt ist dabei, eine ganze Zahl
in dem Ideal zu finden, da man dann über dem endlichen Ring arbeiten und weiter vereinfachen kann. Dieses Verfahren hilft aufgrund der folgenden Aussage auch bei der Berechnung der Norm von Elementen.
Lemma
Es sei ein Zahlbereich und , .
Dann ist der Betrag der Norm von gleich der Norm des Hauptideals .
Beweis
Das Hauptideal ist das Bild des injektiven Gruppenhomomorphismus
Dieser wird unter einer Identifizierung (also der Wahl einer Ganzheitsbasis von ) durch die zu gehörende Multiplikationsmatrix beschrieben. Es liegt insgesamt dias kommutative Diagramm
mit vertikalen Isomorpien vor. Die Determinante von ist die Norm von , und die Anzahl der Elemente in der Restklassengruppe ist die Norm des Hauptideals. Daher folgt die Aussage aus Fakt.
Beispiel
Wir betrachten im quadratischen Zahlbereich zu das Ideal
Wir behaupten, dass es kein Hauptideal ist und verwenden dabei, dass die Norm dieses Ideals gleich ist. Wäre nämlich mit einem , so müsste nach Fakt auch
gelten. Allerdings ist die Norm von gleich und dies kann nicht gleich sein.
Die Norm
hat die Eigenschaft, dass oberhalb von nur Einheiten liegen. Auch für die Elemente aus , deren Norm gleich einer fixierten ganzen Zahl ist, gibt es eine wichtige Gesetzmäßigkeit.
Lemma
Es sei der Ganzheitsring einer endlichen Körpererweiterung und sei .
Dann gibt es endlich viele Elemente derart, dass jedes mit zu einem der assoziiert ist.
Beweis
Der Restklassenring ist endlich nach Fakt und Fakt. Wir behaupten, dass Elemente aus der gleichen Nebenklasse zu , die beide die Norm besitzen, zueinander assoziiert sind (für die wählen wir zu jeder Nebenklasse von einen Repräsentanten mit Norm aus, falls es überhaupt ein solches Element gibt). Es seien dazu mit
und mit . Dann ist in
und dies gehört zu , da nach Fakt zu gehört. Dies gilt auch, wenn man die Rollen von und vertauscht. Also teilen sich und gegenseitig und sind daher assoziiert.